8.6.2直线与平面垂直第2课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直（2） 　　一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说 直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α． 垂足 垂面 垂线 温故知新 【回顾1】直线与平面垂直的定义？ 【回顾2】直线与平面垂直的判定定理？ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 2 　　下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论． 　　根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α 内的直线的关系．但由定义，a 与α内的所有直线都垂直．所以可以探究a，α与其他直线或平面的关系． 　　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢? 3 【探究】 （1）如图1，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系? （2）如图2，已知直线a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗? 图1 b α a 图2 垂直于同一个平面的两条直线平行． 互相平行 4 证明：假设a与b不平行，记b∩α＝O． 过O作直线b′∥a，则b与b′是交于点O的两条不同的直线． 记b与b′确定的平面为β． 设α∩β＝c，则有a⊥c，b⊥c． ∵ b′∥a，∴ b′⊥c． 这与“平面β内，过一点O有且仅有一条直线与c垂直”相矛盾． β 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行． 5 【练】判断下列结论 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ √ √ √ 6 【总结】证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 【例1】在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 【练】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 【总结】证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 【例2】如图，直线 l // α．求证：直线l上各点到平面α的距离相等． 证明：过直线l上任意两点A，B，分别作平面α的垂线AA1，BB1， 由直线和平面垂直的性质定理可知AA1∥BB1． 设AA1和BB1确定的平面为β，易知α∩β＝A1B1． ∵l∥α， ∴l∥A1B1． ∴四边形AA1B1B为矩形． ∴AA1＝BB1 ． 垂足分别为A1，B1． 因为直线A，B为直线l任意的两点，所以直线l上各点到平面α的距离相等． 11 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.由上例我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 例如：在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的上、下底面间的距离. 【练习】正方体ABCD- A'B'C'D'的棱长为2，求平面BA'C'到平面ACD'的距离． 13 如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 平面的斜线 斜足 斜线在平面上的射影 直线与平面所成的角 直线与平面所成角 14 直线与平面所成的角的取值范围 ： 一条平面的斜线与所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°； 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0° ； 综上，直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°． 15 【例3】在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线A'B和平面A'DCB'的所成的角． 16 【变式】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1 的中点. 求D1E与平面ADE所成的角正弦值. ①定义法 ②等体积法 求斜线和平面所成的角的一般步骤： 1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角； 2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影） 3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小． 18 【练习1】（多选）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，则下列结论正确的有（ ） A．线段PA，PB，PC，PO中，线段PO最短； B．若PA=PB=PC，则OA=OB=OC； C．若OA=OB=OC，则PA=PB=PC； D．若PA=PB=PC，则PA，PB，PC和平面α所成的角相等． 【性质】过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段 （1）垂线段和斜线段中，垂线段最短； （2）若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等； （3）若斜线在面内的射影长相等，则斜线段长相等． ABCD 19 【变式1】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC， 1．若PA=PB=PC，则点O为△ABC的 心； 2．若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的 点； 3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O为△ABC的 心． 外 中 垂 【变式2】正四面体的侧棱与底面所成的角的正弦值为： . 20 平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小． PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角 【补充探究】如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？ 21 $$