6.4.2 向量在物理中的应用举例 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.4.2　向量在物理中的 　　　 应用举例 第六章　§6.4　平面向量的应用 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用. 学习目标 导语 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰. 一、向量与力 二、向量与速度、加速度、位移 课时对点练 三、向量与功 随堂演练 内容索引 向量与力 一 6 如图，由已知条件可知DM与铅垂方向成45°角， CM与铅垂方向成60°角. 设A处所受力为FA，B处所受力为FB，物体的重力为G. 因为∠EMC＝60°，∠EMD＝45°， 则有|FA|cos 45°＋|FB|cos 60°＝|G|＝100， ① 且|FA|sin 45°＝|FB|sin 60°， ② 7 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 反思感悟 8 跟踪训练1　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功. 9 如图所示，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系， 10 向量与速度、加速度、位移 二 12 如图所示， 根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中， 13 ∴∠EAD＝30°. ∴该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. 14 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，主要借助于向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. 反思感悟 15 60 30° 16 如图所示， 17 向量与功 三 例3　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 19 如图所示，设木块的位移为s， 所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 20 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角). 反思感悟 21 跟踪训练3　一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J. －40 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). 即三个力的合力做的功为－40 J. 22 1.知识清单： (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解的问题. (2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不能将物理问题转化为向量问题. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 由向量的加法法则可知逆风行驶的速度为v1＋v2.人的速度和风速方向相反，故选C. √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 A.7 B.10 C.14 D.70 √ 1 2 3 4 4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形， 所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°，即θ的值为120°. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.如果一架飞机从点A向东飞行200 km到达点B，再向南飞行300 km到达点C，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么 A.s>|a| B.s<|a| C.s＝|a| D.s与|a|不能比较大小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为 A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 √ 因为F1＋F2＝(1,2lg 2)， 所以W＝(F1＋F2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于 A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1,2) D.(1,2) √ ∵F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)， ∴F1＋F2＋F3＝(－1，－2)， 为要使物体保持平衡，只需F4＝－(－1，－2)＝(1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小约为400 N，则该学生的体重约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2， ≈1.732) A.63 kg B.69 kg C.75 kg D.81 kg √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，|F1|＝|F2|＝400 N，夹角θ＝60°， 所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)， 所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是 A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 √ 根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设F与s的夹角为θ，由W＝F·s， 又θ∈[0，π]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为 h. 如图，v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12， 0.5 ∴该船到达B处所需的时间为0.5 h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1，F2分别对质点所做的功； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J). ∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求F1，F2的合力F对质点所做的功. ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J). ∴合力F对质点所做的功为－102 J. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在A的正北方向，若游船正好到达A′处，则cos θ等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为α，如图所示. 要使得游船正好到达A′处， 则|v1|cos α＝|v2|， 又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一个物体受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|＝3 N，|F2|＝4 N，则F1与F3夹角的余弦值 是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为物体处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0. 因此F3＝－(F1＋F2)， 设F1与F3的夹角是θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为 J，重力所做的功为 J(g＝9.8 m/s2). 0 98 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则支持力对物体m所做的功为 W1＝F·s＝|F|·|s|cos 90°＝0(J)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是 A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵θ增大，cos θ减小， ∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大， ∴船的浮力减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝100(4t2－96t＋900). 解得12≤t≤24. 所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 例1　如图，用两根长分别为5 m和10 m的绳子，将100 N的物体 M吊在水平屋顶AB上，平衡后，物体M距屋顶的距离恰好为5 m，求 A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). 由①②得|FA|＝(150－50)N， 所以A处所受力的大小为(150－50)N. ∴合力F所做的功W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24(J). ∴合力F所做的功为24 J. 则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)， ∴F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4). 又位移s＝(4，4)， 例2　有一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样航行可使它从A码头最快到达B码头？用时多少？ 设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达B码头， ||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°， ∴||＝＝2， 又AB＝， ∴用时0.5 h，易知sin∠EAD＝， 跟踪训练2　某人从点O向正东方向走30 m到达点A，再向正北方向走30 m到达点B，则此人的位移的大小是 m，方向是北偏东 . ＝＝60(m)， tan∠BOA＝＝＝， 所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 此人的位移是＝＋，且⊥， 则||＝ 则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为 |F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)， 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J. 又∵＝(－1,4)， ∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40(J)， 1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为 A.v1－v2 B.v1＋v2 C.|v1|－|v2| D. 两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝ ＝＝5(N). 2.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为 A.5 N B.5 N C.5 N D.5 N F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70. 则＝＋， 作＝F1，＝F2，＝－G(图略)， 在△ABC中，两边之和大于第三边，即s＝||＋||>||＝|a|. ∴|v|＝＝＝2(m/s). 4.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s 所以|G|＝400(N)， 则该学生的体重约为40≈40×1.732≈69(kg). 7.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m， 且力F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于 . 得250＝10×50cos θ，∴cos θ＝. ∴θ＝. ∴|v实际|＝＝＝16(km/h). ∴所需时间t＝＝0.5(h). ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15) W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15) W＝F·＝(F1＋F2)· 如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度. 因为＋＝， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25， 对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，可知这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N. A.40 N B.10 N C.20 N D. N A. B.－ C. D.－ 即cos α＝＝， ＝－cos α＝－. － 于是|F3|＝＝ ＝＝， 又F2＝－(F1＋F3)，所以|F2|＝ ＝ ＝＝4， 解得cos θ＝－. 物体m的位移大小为|s|＝≈(m)， 重力对物体m所做的功为 W2＝G·s＝|G||s|cos 53°≈5×9.8××0.6＝98(J). 设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ， 则|F|cos θ＝|f |，∴|F|＝. 16.如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ ∵＝＋， ∴2＝(＋)2 ＝||2＋||2＋2· ＝||2＋||2－2||||cos(θ－45°) ＝3002＋(20t)2－2×300×20t× 依题意得2≤(60＋10t)2， $$