6.2.1 向量的加法运算 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第六章　§6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 学习目标 导语 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算. 一、向量加法的三角形法则 二、向量加法的平行四边形法则 课时对点练 三、共线向量的加法与向量加法的运算律 随堂演练 内容索引 四、向量加法的实际应用 向量加法的三角形法则 一 问题1　两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示　不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法. 问题2　如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 三角形 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”. 知识梳理 8 例1　如图所示， (1)a＋b＝ ； (2)c＋d＝ ； (3)a＋b＋d＝ ； (4)c＋d＋e＝ . c f f g 9 反思感悟 10 √ 11 向量加法的平行四边形法则 二 问题5　四边形ABCD的形状如何？ 提示　平行四边形. 提示　相等. 1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量 (OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则. 平行四边形 2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 3.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 注意点： 运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. 知识梳理 15 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； 16 (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 17 方法一　(三角形法则)如图④所示， 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 18 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 19 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系   区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 反思感悟 20 跟踪训练2　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. 21 22 0 23 共线向量的加法与向量加法的运算律 三 问题6　请结合课本例1，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？ 提示　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|< |a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 问题7　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 如图2，不难证明满足结合律. 1.一般地，我们有|a＋b|≤ ，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立. 2.(加法交换律)a＋b＝ ； (加法结合律)a＋(b＋c)＝ . |a|＋|b| b＋a (a＋b)＋c 知识梳理 27 例3　(1)已知a，b均为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法中正确的是 A.a∥b，且a与b的方向相同 B.a，b是方向相反的向量 C.|a|＝|b|，且a与b的方向相反 D.a，b无论什么关系均可 因为|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a与b方向相同时取等号). √ 28 (2)化简： 29 30 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 反思感悟 31 32 向量加法的实际应用 四 34 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度， 以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图， ∴∠AOC＝60°， ∴小船的实际航行速度的大小为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行. 35 延伸探究　在静水中船的速度的大小为20 m/min，水流的速度的大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 36 作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成角α，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件， 从而船与水流方向成120°的角. 所以船是沿与水流的方向成120°角的方向行进. 37 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 反思感悟 38 跟踪训练4　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 39 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°， ∠FCG＝180°－120°＝60°. 40 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量三角不等式. (4)向量加法的运算律. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 根据平面向量的加法运算，得 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 D错误，当且仅当a，b方向相同时成立. √ √ 1 2 3 4 √ 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又|a＋b|＝2(km)，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 所以△ABC为等腰直角三角形. √ 以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)， 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处，此时水流的速度为6 km/h，测得小船正以6 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D， 则四边形ACBD为平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 A.a∥b B.a＋b＝a C.a＋b＝b D.|a＋b|<|a|＋|b| √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的； B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a和b的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同； D错，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 如图所示，延长AG交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为 . 因为e为单位向量， 所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线， 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同.因此，位移可以看作位移与合成的，即可以看作与的和. 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则. 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点，即＋＋…＋＝. 跟踪训练1　点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋ ＋等于 A. B. C. D.0 ＋＋＝＋＝. 问题3　如图，作AD綉BC，向量与是什么关系？ 提示　＝. 问题4　由向量加法的三角形法则可知，＋＝，则＋与相等吗？ 首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示. 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求. 首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝a＋b. 则＝＋＝a＋b＋c即为所求. (1)＋＝ ； 因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. 长度为的长度的2倍， 故＋＝. (2)＋＝ ； 因为＝，故＋与方向相同， (3)＋＝ . 因为＝， 故＋＝＋＝0. 提示　如图1，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b. 又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a.所以满足交换律. ＝(＋)＋＝＋＝0. ①＋； ②＋＋； ＋＝＋＝. ＋＋＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝0. ③＋＋＋＋. ＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ 跟踪训练3　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋| ＝ . 2 |＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2. 例4　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为 10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度. 过平面内任意一点O作＝a，＝b， 则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度. ∴||＝＝20(km/h)， ∵tan∠AOC＝＝， 四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10， ||＝|v船|＝20， 所以cos α＝＝＝，所以α＝60°， ||＝||cos 60°＝10×＝5(N). 则＋＝. ∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)， ∴A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N. 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示， ＝＋＝. ＋＋＝(＋)＋ 1.化简＋＋等于 A. B. C. D. 所以|＋|＝||＝AC＝. 2.正方形ABCD的边长为1，则|＋|为 A.1 B. C.3 D.2 在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝， B错误，＋＝0； 3.(多选)下列等式不正确的是 A.a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b B.＋＝0 C.＝＋＋ D.|a＋b|＝|a|＋|b| 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于 A. B. C. D. ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝. ＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 1.＋＋＋＋等于 A. B. C. D. ＋＋＝＋＋＝＋＝. 2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于 A.0 B. C. D. ＋＋＝＋(＋)＝＋0＝. 3.如图所示，在▱ABCD中，＋＋等于 A. B. C. D. 4.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示 A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1＋)km 如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°. 由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝， 5.若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是 则＋＝， 6.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于 A. B. C. D. 由和的模相等，方向相同， 得＝，即＋＝. (1)＋＋＝ ； (2)＋＋＝ . 易知|＋|＝||＝1， 8.在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝ ，|＋|＝ . 则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. ＋＋＝＋＝. (1)＋＋； ＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋； ＋＋＝＋＋＝＋＝. (3)＋＋. 设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图， ∴就是小船在静水中的速度. 在Rt△BAC中，||＝6 km/h，||＝6 km/h， ∴||＝||＝＝6(km/h). ∴小船在静水中速度的大小为6 km/h. 由题意得，a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0， 11.(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有 故AC正确. 12.(多选)下列说法错误的有 A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b 的方向相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同 C.若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|－|b| C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0； 13.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是 ＋＝， 则＋＝，＋＝0， 14.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝ . ∴＋＋＝0. 在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝， ||即|a＋e|最大，最大值是3. 16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0. 由题意知，＝＋， ＝＋，＝＋. 由平面几何知识可知，＝，＝， 所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋(＋) ＝(＋＋＋)＋0 ＝＋＋＝＋＋＝0. $$