6.1 平面向量的概念 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

§6.1　平面向量的概念 第六章　平面向量及其应用 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别. 3.理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念. 请同学们阅读课本第6页阅读与思考(大约3分钟)，同学们，从向量的发展史来看，向量的出现对解决平面几何问题有重大的意义，尤其到现在在数学、物理、计算机科学等方面的应用非常广泛，对于我们数学来说，主要是作为一种工具，用来解决平面几何和空间几何问题，物理中我们也了解了矢量与标量之分，大家知道在计算机科学方面有哪些应用吗？比如说对于大家手机中的某款APP，打开后，所显示的内容稍有不同，这是因为大家兴趣、爱好等方面的不同，后台会有不同的推送，这就是向量在大数据中的应用. 导语 三、相等向量与共线向量 一、向量的概念及几何表示 二、零向量和单位向量 课时对点练 随堂演练 内容索引 向量的概念及几何表示 一 问题1　在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ 提示　面积、质量只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向. 1.向量的概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量. (2)数量：只有 没有 的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 . 以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 . 大小 方向 方向 方向 大小 起点 方向 长度 知识梳理 7 (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量 的大小称为向量 的 或称 )，记作 . ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用 ). 长度 模 知识梳理 8 注意点： (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段. (4)向量不能比较大小，它的模可以比较大小. 知识梳理 9 10 作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 反思感悟 11 跟踪训练1　在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量. ∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点. 12 ∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点. 13 二 零向量和单位向量 向量名称 定义 零向量 长度为 的向量，记作__ 单位向量 长度等于 的向量 0 0 1个单位长度 注意点： (1)零向量不能说没有方向，它的方向是任意的. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同. 知识梳理 15 例2　(多选)下列说法中，正确的是 A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量的长度都为0 C.单位向量方向相同 D.单位向量的长度都相等 √ √ 对于AB，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确； 对于C，D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确. 16 解决向量有关的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 反思感悟 17 跟踪训练2　下列说法中正确的是 A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 √ 零向量的模为0，故A不正确； 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，不止一个，故B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确； 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确. 18 三 相等向量与共线向量 提示　大小相等，方向相同. 20 提示　大小不等，方向相同. 21 平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度 且方向 的向量；向量a与b相等，记作a＝b 相同或相反 平行 相等 相同 注意点： 在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性. 知识梳理 22 例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. 因为E，F分别是AC，AB的中点， 又因为D是BC的中点， 23 24 25 相等向量与共线向量的探求方法 (1)相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 反思感悟 26 跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. 在▱ABCD和▱ABDE中， 27 6 28 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量). 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)给出下列物理量，其中是向量的是 A.质量 B.速度 C.加速度 D.功 速度、加速度既有大小，又有方向，是向量；质量、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量. 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 √ 所以BA＝CD且BA∥CD， 所以四边形ABCD为平行四边形. 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 A错，共线的两个单位向量的方向可能相反； B错，相等向量的起点和终点都可能不相同； C错，直线AB与CD可能重合； D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线. 4.(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 ∵A，O，C三点在一条直线上， 课时对点练 五 1.下列命题中正确的有 A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 B.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.若|a|>|b|，则a>b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 温度没有方向，所以不是向量，故A错； 由共线向量的定义可知，共线的向量，起点不同，终点可能相同，故B错； 向量不可以比较大小，故D错； 若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是 A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列能使a∥b成立的是 A.a＝b B.|a|＝|b| C.a与b方向相反 D.|a|＝0或|b|＝0 √ √ √ A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60° 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形， 9.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∵CB＝DA，∴MB＝DN. 11.(多选)下列说法正确的有 A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.若a＝b，b＝c，则a＝c C.若a∥b，则a与b的方向相同或相反 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A选项，若b＝0，a，c均为非零向量，则a∥b，b∥c成立，但a∥c不一定成立，A错； 对于B选项，若a＝b，b＝c，则a＝c，B对； 对于C选项，若b＝0，a≠0，则b的方向任意，C错； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ②当点C位于点C5或C6时，   ||   ||     ，， 例1　某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝 西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点 D.试分别作出向量，和. 根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段＝4，＝6，＝4， 则向量，和如图所示. ∵＝3，点A在点O北偏西45°方向， (1)＝3，点A在点O北偏西45°方向； ∵＝2＝，点B在点O正南方向， (2)＝2，点B在点O正南方向. 问题2　如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 问题3　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ (1)写出与共线的向量； 所以EF∥BC，EF＝BC. 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)写出模与的模相等的向量； 模与的模相等的向量有，，，，. (3)写出与相等的向量. 与相等的向量有，. ∴＝. (1)与向量相等的向量为 ； ， ∵＝，＝， (2)若||＝3，则||＝ . 由(1)知，＝， ∴E，D，C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6. 2.若＝，则四边形ABCD的形状为 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 因为＝， 3.(多选)下列说法错误的为 A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 C.若∥，则一定有直线AB∥CD D.若向量，共线，则点A，B，C必在同一直线上 A.＝ B.∥ C.与共线 D.＝ ∴∥，B正确； ∵AB∥CD，∴与共线，C正确； ∵与方向不同，∴二者不相等，D错误. ∵与方向相同，长度相等，∴A正确； 2.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是 A.＝ B.||＝|| C.> D.< ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 5.设O是△ABC的外心，则，，是 因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||. A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与不共线 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确； 而在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝ ||，因此选项C正确； 由于＝，因此与共线，因此选项D不正确. 7.如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km. 由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南60°方向行走了 2 km. ∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC， ∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形. 8.在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为 . (1)与的模相等的向量有多少个？ 与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ 存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. (3)与共线的向量有几个？ 由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 10.如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝. ∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC， ∴＝，即CB＝DA， 又＝，∴CN＝MA，CN∥MA， ∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA. 又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，∴＝. D.若，共线，则A，B，C三点共线 对于D选项，若，共线且AB，BC共点B，则A，B，C三点共线，D对. 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于 A.1 B. C. D.2 则||＝||＝×2＝1. 由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°， 13.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝ . 与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行. 14.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与共线的向量为 ；与的模相等的向量为 . ，，，，， ，，， ，，，， ，，，，，，，，，， A.||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝ 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； 画出所有的向量，如图所示. (2)求||的最大值与最小值. ||取得最小值＝； ||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. $$