6.6.3 球的表面积和体积-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

6.3　球的表面积和体积 [学习目标]　1.了解球的表面积与体积公式，并能求球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题． 导语 牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作“牟合方盖”．它也是我国古代数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式，他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误，虽然最终并没有实现，但是这个发现有着重要的意义．二百多年后，中国伟大的数学家祖冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题．“牟合方盖”的提出，充分体现了古人丰富的想象能力，以及为解决问题建立模型的智慧．刘徽是1 700多年前的人，祖氏父子是1 500多年前的人，以千年前的社会知识水平，思考这种问题，简直令人叹为观止，这种智慧的光芒，震古烁今． 一、球的表面积与体积 知识梳理 球的表面积与体积公式 条件 球的半径为R 表面积公式 S＝4πR2 体积公式 V＝πR3 例1　(1)已知球的表面积为16π，求它的体积； (2)已知球的体积为，求它的表面积． 解　(1)设球的半径为r，则由已知得4πr2＝16π， 所以r＝2， 所以球的体积V＝πr3＝. (2)设球的半径为R，则由已知得πR3＝， 所以R＝4， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×42＝64π. 反思感悟　求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件，把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方． 跟踪训练1　若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的(　　) A．3倍 B．3倍 C．9倍 D．9倍 答案　C 解析　设球的半径为R，体积扩大到原来的27倍后，其半径为R′.则V＝πR3，V′＝πR′3＝27V＝27×πR3， ∴R′＝3R.∴S′＝4πR′2＝36πR2，又S＝4πR2， ∴S′＝9S. 二、球的截面 知识梳理 用一个平面α去截半径为R的球O. (1)若平面α经过球心O，则截线是以球心O为圆心的圆，称为球的大圆． (2)若平面α不经过球心O，如图，不妨设OO′⊥α于点O′，记OO′＝d，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，所以O′P＝，此时截线是以点O′为圆心，以r＝为半径的圆，称为球的小圆． 例2　已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的半径． 解　∵AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，B＝90°. ∵球心O在截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，即是Rt△ABC的外接圆的圆心， ∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)． 设O′C＝r，OC＝R，则球的半径为R，截面圆半径为r， 在Rt△O′CO中， 由题设知sin∠O′CO＝＝， ∴∠O′CO＝30°，∴＝cos 30°＝， 即R＝r，① 又2r＝AC＝30，∴r＝15，代入①得R＝10. ∴球的半径为10. 反思感悟　(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 跟踪训练2　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的半径为________ cm. 答案　5 解析　如图，作出球的一个截面， 则MC＝8－6＝2(cm)， BM＝AB＝×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm， 则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴球的半径为5 cm. 三、与球有关的切、接问题 知识梳理 (1)球的切线：与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点可以作无数多条球的切线． (2)几何体的外接球：球面经过多面体的所有顶点的球，叫做多面体的外接球；球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球，叫做旋转体的外接球． (3)几何体的内切球：与多面体(旋转体)的各个面都相切的球，叫做多面体(旋转体)的内切球． 例3　(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为2，故球的半径为1，其体积是×π×13＝. (2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为________． 答案　9π 解析　设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c， 则解得 ∴外接球半径为＝， ∴外接球表面积为4π×2＝9π. 延伸探究 1．本例(2)条件改为在三棱锥A－BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，且AB＝，AC＝1，AD＝，CD＝2，求它的外接球的体积． 解　由CD2＝AC2＋AD2， 得AC⊥AD. 又AB⊥AC，AB⊥AD， ∴可以以AB，AC，AD为棱补形为长方体，长方体的外接球即为三棱锥A－BCD的外接球， 其半径为＝， ∴外接球的体积为×3＝. 2．本例(2)条件改为已知正四面体的棱长为，求该正四面体的外接球的表面积． 解　正四面体可看作由正方体的各面对角线围成， 由正四面体的棱长为知，正方体的棱长为1， 则正方体的外接球就是此正四面体的外接球，正方体的外接球直径等于正方体的体对角线， 所以正四面体的外接球的半径为. 所以外接球的表面积为4π×2＝3π. 反思感悟　(1)正方体的内切球：球的半径为r1＝(a为正方体的棱长)． (2)与正方体的各条棱相切的球：球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝a(a为正方体的棱长)． (3)长方体的外接球：长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝. 跟踪训练3　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为(　　) A．153π B．160π C．169π D．360π 答案　C 解析　方法一　如图，由题意得BC＝5，AO1＝BC＝， OO1＝AA1＝6， 则球的半径r＝OA＝ ＝＝. S球＝4πr2＝169π. 方法二　由题意知，AB，AC，AA1三条棱两两垂直，所以该几何体可以补成长方体，故该几何体的外接球直径为2R＝＝＝13， 则R＝，所以S球＝4πR2＝169π. 1．知识清单： (1)球的表面积与体积． (2)球的截面． (3)与球有关的切、接问题． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：几何体的外接球与内切球易混淆而致误． 1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 答案　D 解析　设圆柱的高为h， 则πR2h＝3×πR3，解得h＝4R. 2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 答案　B 解析　如图，设截面圆的圆心为O′， M为截面圆上任一点， 则OO′＝，O′M＝1. ∴OM＝＝. 即球的半径为.∴V＝π×()3＝4π. 3．正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　) A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9 答案　C 解析　设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为， ∴V内＝π×3＝，正方体的外接球的半径为a，∴V外＝π×3＝， ∴V内∶V外＝1∶3. 4．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的______倍，表面积变为原来的______倍． 答案　8　4 解析　球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3， 表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后， 球的体积为V2＝π×(2R)3＝πR3， 表面积为S2＝4π×(2R)2＝16πR2. 所以＝＝8，＝＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍． 1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 答案　C 解析　设三个球的半径由小到大依次为r1，r2，r3， 则r1∶r2∶r3＝1∶2∶3， ∴V3＝πr＝×27πr＝36πr， V1＋V2＝πr＋πr＝×9πr＝12πr， ∴V3＝3(V1＋V2)． 2．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(　　) A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 答案　D 解析　由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3. 3.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 答案　C 解析　设球的半径为r cm，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3. 4．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　C 解析　如图，根据题意知，OO1＝4 cm，O1A＝3 cm， ∴OA＝R＝＝5(cm)， 故球的体积V＝πR3＝(cm3)． 5．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为(　　) A．(2＋4)cm2 B．(8＋16)cm2 C．(4＋8)cm2 D．(16＋32)cm2 答案　B 解析　∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，∴球的直径为正四棱柱的体对角线，且体对角线长为4 cm，又正四棱柱的底面边长为2 cm，∴正四棱柱的底面对角线长为2cm，∴正四棱柱的高为＝2(cm)，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝(8＋16)cm2. 6．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为(　　) A．16π B．32π　 C．36π D．48π 答案　C 解析　设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，因为球心到截面的距离为1，所以有r2＝R2－1， 则圆锥体积V＝×1×(R2－1)π＝，解得R＝3，故球的表面积为4πR2＝36π. 7．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________． 答案　 解析　设大、小两球半径分别为R，r， 则 所以 所以体积和为πR3＋πr3＝. 8．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为________． 答案　72 解析　设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，即长方体的表面积为S＝2ab＋2ac＋2bc， 又由于2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2 ＝2(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c时取等号， 而a2＋b2＋c2＝36， 所以该长方体表面积的最大值为72. 9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积． 解　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 该组合体的体积V＝πr3＋πr2l ＝π×13＋π×12×3＝. 10．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，求球O的表面积． 解　如图所示，CD是截面圆的直径． ∴2·π＝π，即CD＝2， 设球O的半径为R， ∵AH∶HB＝1∶2， ∴AH＝×2R＝R， ∴OH＝R－R＝R， 由OD2＝OH2＋HD2， 得R2＝R2＋1， ∴R2＝，∴S球＝4πR2＝π. 11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，得r＝，d＝， 所以≈， 解得V≈. 12．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为(　　) A．1 B．7 C．1或7 D．8 答案　C 解析　由题意得两平行截面圆的半径分别为3和4.若两个平行截面在球心同侧，如图①， 则两个截面间的距离为－＝1； 若两个平行截面在球心异侧，如图②， 则两个截面间的距离为＋＝7. 13．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为________． 答案　6π 解析　在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者有相同的外接球，长方体的体对角线就是球的直径． ∵侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，， ∴AB·AC＝， AD·AC＝，AB·AD＝， ∴AB＝，AC＝1，AD＝， ∴球的直径为＝， ∴球的半径为， ∴三棱锥外接球的表面积为4π×＝6π. 14．如图，圆锥型容器内盛有水，水深3 dm，水面直径为2 dm，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________dm3. 答案　 解析　如图，设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为r，此时铁球与水的体积和为·π·(r)2·3r＝3πr3. 原来水的体积为·π·()2·3＝3π， 铁球的体积为πr3， 则3π＋πr3＝3πr3， 解得r3＝， 所以铁球的体积V＝×＝. 15．将一个长、宽分别为a，b(0<b<a)的长方形铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________． 答案　 解析　设切去正方形的边长为x，x∈， 则该长方体外接球半径的平方r2＝[(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2]＝[9x2－4(a＋b)x＋a2＋b2]，在x∈存在最小值时，必有<， 解得<，又0<b<a，所以>1， 故的取值范围是. 16.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°) 解　如图①，过点C作CO1⊥AB于点O1，旋转后得到的几何体如图②所示，由已知得∠BCA＝90°， ①　　　　　　　② ∵∠BAC＝30°，AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R. ∴S球＝4πR2， ＝π×R×R＝πR2， ＝π×R×R＝πR2， ∴S几何体表＝S球＋＋ ＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2. 又∵V球＝πR3， ＝·AO1·π·CO＝πR2·AO1， ＝·BO1·π·CO＝πR2·BO1， ∴V几何体＝V球－(＋)＝πR3. 学科网（北京）股份有限公司 $$