5.1.2 复数的几何意义-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

1.2　复数的几何意义 [学习目标]　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 导语　19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础． 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 一、复平面 知识梳理 任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点(a，b)一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对应的． 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用点Z(a，b)表示．这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．显然，实轴的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 注意点： (1)实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点表示实数0. (2)复数z＝a＋bi用点Z(a，b)表示．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i. 例1　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围． 解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0， 解得m＝－2或m＝4. (2)由题意得解得2<m<4. (3)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． (2)列出方程：此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 跟踪训练1　求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在实轴上方(不包括实轴)； (2)在实轴负半轴上． 解　(1)∵点Z在实轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2. (2)若复数z的对应点Z在实轴负半轴上， 则解得m＝1. 二、复数的几何意义 问题　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．我们能不能用平面向量来表示复数？ 提示　可以． 知识梳理 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 注意点： (1)复数的实质是有序实数对． (2)复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系如图所示． 例2　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解　记O为复平面的原点， 由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)． 设＝(x，y)， 则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)． 由题意知，＝， 所以即 故点D对应的复数为－3－2i. 反思感悟　复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练2　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 答案　C 解析　由复数的几何意义，可得 ＝(5，－4)，＝(－5，4)， 所以＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)， 所以＋对应的复数为0. (2)已知平面直角坐标系中，O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 答案　B 解析　向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2)． 由向量减法的坐标运算可得向量＝－ ＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 三、复数的模 知识梳理 1．定义：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模． 2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|. 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝. 例3　(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|等于(　　) A．3 B. C. D. 答案　B 解析　因为1＋xi＝(2－y)－3i， 所以解得 则|x＋yi|＝|－3＋i|＝＝. (2)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ ①|z|<3；②|z|＝4. 解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝. ①由题意知<3，x2＋y2<9. 所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆的内部，不包括边界． ②|z|＝＝4，x2＋y2＝16. 所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，4为半径的圆． 反思感悟　复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． (3)复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点O之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题． 跟踪训练3　(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(　　) A．z1>z2 B．z1<z2 C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2| 答案　D 解析　|z1|＝|5＋3i|＝＝， |z2|＝|5＋4i|＝＝. 因为<，所以|z1|<|z2|. (2)已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1，3) D．(1，10) 答案　A 解析　因为0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)， 所以|z|＝∈(1，)． 四、共轭复数 知识梳理 1．定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 3．结论：(1)表示两个共轭复数的点关于实轴对称，且||＝|z|. (2)任意一个实数的共轭复数仍是它本身． 例4　(1)(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　) A．纯虚数z的共轭复数是－z B．若z1－z2＝0，则z1＝2 C．若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1－z2＝0，则z1与2互为共轭复数 答案　AD 解析　对于A，根据共轭复数的定义，所以A是真命题； 对于B，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝2，当z1，z2是虚数时，z1≠2，所以B是假命题； 对于C，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题； 对于D，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与2互为共轭复数，所以D是真命题． (2)已知i为虚数单位，若复数z＝1－i，则||2等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　C 解析　因为z＝1－i， 所以||2＝|z|2＝2＝4. 反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 跟踪训练4　已知复数z在复平面内对应的点与复数3－2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数z的共轭复数等于(　　) A．3＋2i B．2－3i C．－3－2i D．－3＋2i 答案　D 解析　因为复数3－2i在复平面内对应的点为(3，－2)，关于虚轴对称的点为(－3，－2)， 所以复数z在复平面内对应的点为(－3，－2)， 即z＝－3－2i， 所以＝－3＋2i. 1．知识清单： (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系． (2)复数的模及几何意义． (3)共轭复数． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合法． 3．常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小． 1．复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)位于第三象限． 2．(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　AC 解析　依题意可得＝2， 解得m＝1或m＝3. 3．向量a＝(3，4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数＝________，||＝________. 答案　3－4i　5 4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________． 答案　2＋4i 解析　因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6，5)，B(－2，3)，又C为线段AB的中点，所以C(2，4)，所以点C对应的复数是2＋4i. 1．已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则等于(　　) A. B. C. D．5 答案　C 解析　依题意得，|z1|＝＝，|z2|＝＝1，所以＝. 2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．2＋i C．1－2i D．－1＋2i 答案　C 解析　由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量对应的复数为1－2i. 3．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，则得 即a＝－1， 则复数a－ai＝－1＋i在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限． 4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　) A．－1＋i B．1＋i C．－1＋i或1＋i D．－2＋i 答案　A 解析　因为z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i. 5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合是(　　) A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 答案　A 解析　∵|z|2－2|z|－3＝0， ∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3， ∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心， 3为半径的一个圆． 6．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数是(　　) A．2 B．－2i C.－3i D．3＋i 答案　B 解析　复数3－i对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，对应的点为(0，－2)，则所得向量对应的复数为－2i. 7．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数(a，b∈R)，则a＝________，b＝________. 答案　2　4 解析　因为z1与z2互为共轭复数， 所以a＝2，b＝4. 8．若复数z在复平面内对应的点在y＝2x的图象上，且|z|＝，则复数z＝________________. 答案　1＋2i或－1－2i 解析　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝，得＝， 解得a＝±1， 故z＝1＋2i或z＝－1－2i. 9．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 解　(1)设向量对应的复数为 z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)， 则点B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点A的坐标为(2，1)． 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. (2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. 10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积． 解　|w|＝ ＝＝|z|， 而1≤|z|≤，故≤|w|≤2. 所以w对应点的集合是以原点O为圆心，和2为半径的两圆所夹的圆环(含圆环的边界)， 其面积为S＝π[22－()2]＝2π. 11．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　) A．|z|＝ B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为－1＋2i D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上 答案　AC 解析　|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确． 12．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因为A，B为锐角三角形的两个内角， 所以A＋B>， 即A>－B，sin A>cos B， 所以cos B－tan A ＝cos B－<cos B－sin A<0， 又tan B>0， 所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限． 13．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，已知A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i，2＋i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i B．2＋2i C．2－2i D．3＋6i 答案　D 解析　由题意得点A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，－1)，(2，1)， 设点D的坐标为(x，y)， 由＝，得(x－1，y－3)＝(2，2)， ∴x－1＝2，y－3＝2， 解得x＝3，y＝5，故D(3，5)，∴＝(3，6)， 则对应的复数为3＋6i. 14．若复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 答案　5 解析　由题意知，点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线， 则＝，解得a＝5. 15．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.若复数z对应的点Z在y＝x的图象上，则θ＝________________. 答案　或 解析　因为点A，B对应的复数分别是 z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，所以点A，B的坐标分别是(sin2θ，1)，(－cos2θ，cos 2θ)， 所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)， 所以对应的复数是z＝－1＋(－2sin2θ)i. 所以点Z的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x， 得－2sin2θ＝－， 即sin2θ＝，所以sin θ＝±. 又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或. 16．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值． 解　(1)由题意得|z|＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. (2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2，2)． 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上， 所以2m＋n＝2. 又mn>0， 所以＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当＝， 即n2＝2m2时等号成立． 又2m＋n＝2且mn>0， 所以取等号时m＝2－，n＝2－2. 综上，＋的最小值为＋， 取得最小值时m＝2－，n＝2－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$