第五章 1.2 复数的几何意义-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．2　复数的几何意义 [素养目标]　1.通过具体问题，了解复平面的建立，理解复数的几何意义．　2.理解复数的模的意义及其与向量模的关系，并能求复数的模．　3.培养学生直观想象、数学运算的学科素养． 探究点一　复数与复平面内点的关系 [基础梳理] 1．复平面 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用平面直角坐标系内的一个点Z(a，b)来表示，如图： 2．复数与复平面内点的对应关系 复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系： 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． [互动探究] 　设复数z＝(a＋1)＋(2－a2)i，对应的点Z满足下列关系，求实数a的范围． (1)点Z在第二象限； (2)点Z在直线y＝2x上． 解：(1)若满足点Z在第二象限，则须有 解得－＜a＜－1. (2)若点Z在y＝2x上，则有2－a2＝2(a＋1)， 即a＝0或a＝－2. 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　　 [跟踪训练] 1．复数z＝2x＋(y2－2y＋1)i(x，y∈R)，表示的点在(　　) A．第一象限 B．第一象限或实轴 C．第一象限或原点 D．第一象限或实轴正半轴 解析：D　设a＝2x＞0，b＝y2－2y＋1≥0，所以点Z(a，b)在第一象限或实轴正半轴上，故选D． 2．若复数z＝a2－3＋2ai对应的点在直线y＝－x上，则实数a的值为 ． 解析：复数z＝a2－3＋2ai在复平面内对应的点的坐标为(a2－3，2a)，因为它在直线y＝－x上，所以2a＝－(a2－3)，即a2＋2a－3＝0，解得a＝－3或a＝1. 答案：－3或1 探究点二　复数与复平面内向量的关系 [基础梳理] 1．复数与复平面内点的对应关系 复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量．相等的向量表示同一个复数． 2．复数的几何意义 [互动探究] 　(1)向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i　　　　　　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i 解析：C　因为向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，所以＝(5，－4)，＝(－5，4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以＋对应的复数是0. (2)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是 ． 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与， 所以＝(4，3)，＝(－2，－5)． 又因为＝－＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i. 答案：－6－8i (3)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解：记O为复平面的原点，由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)． 设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)， ＝(－5，－5)． 由题知，＝， 所以即 故点D对应的复数为－3－2i. 1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． 2．解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　　 [跟踪训练] 3．已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a的值为 ． 解析：依题意可知＝(－3，4)，＝(2a，1)， 因为⊥，所以·＝0， 即－6a＋4＝0，解得a＝. 答案： 4．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1)． 根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i. (2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.探究点三　复数的模的应用 [基础梳理] 1．复数的模 (1)定义：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模． (2