4.2.3 三角函数的叠加及其应用-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

2.3　三角函数的叠加及其应用 [学习目标]　1.理解叠加公式的推导过程.2.能利用叠加公式进行化简、变形，通过利用叠加公式解决三角函数的图象和性质问题． 导语 波的叠加从数学来看就是三角函数的叠加，两个三角函数叠加后是一个什么函数呢？ 一、三角函数的叠加 问题1　sin 15°＋cos 15°的值为多少？写出求解过程． 提示　原式＝sin 15°·cos 30°＋cos 15°·sin 30° ＝sin(15°＋30°)＝sin 45°＝. 问题2　由asin x＋bcos x能否得到·sin(x＋φ)，它的探究过程是什么？ 提示　能． asin x＋bcos x ＝ 　　　　　↓　　　　　　↓ 　　　　 cos φ　　　　　sin φ ＝(cos φsin x＋sin φcos x) ＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 知识梳理 1．一般地，当a，b不同时为0时，asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝来确定)． 2．常用的叠加公式 (1)sin α±cos α＝sin； (2)cos α±sin α＝cos； (3)sin α±cos α＝2sin； (4)cos α±sin α＝2cos. 例1　(1)求值：cos ＋sin ＝________. 答案　 解析　原式＝2 ＝2sin ＝. (2)当函数y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝________. 答案　 解析　y＝2sin， ∵0≤x≤2π， ∴－≤x－≤， ∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2. 反思感悟　一般地，对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值． 跟踪训练1　(1)已知sin＝，则cos x＋cos的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x ＝sin＝. (2)若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是________． 答案　[－1，3] 解析　sin x－cos x＝m－1， 即2＝m－1， 即2sin＝m－1， ∵sin∈[－1，1]． ∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3. 二、利用三角函数的叠加公式求值 例2　函数f(x)＝sin x＋cos x在区间上的最小值为________． 答案　1 解析　由已知得，f(x)＝sin x＋cos x＝2sin. 因为0≤x≤，所以≤x＋≤， 所以≤sin≤1，所以1≤f(x)≤2， 所以f(x)在区间上的最小值为1. 反思感悟　对于形如sin α±cos α，sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用三角函数的叠加公式化简为只含有一个三角函数的形式． 跟踪训练2　函数f(x)＝－sin x＋cos x在区间上的值域是________． 答案　[0，] 解析　由已知得，f(x)＝－sin x＋cos x＝2sin. 因为－≤x≤，所以0≤－x≤， 所以0≤sin≤，所以0≤f(x)≤， 所以函数f(x)的值域是[0，]． 三、利用三角函数的叠加公式求解综合问题 例3　已知函数f(x)＝sin＋cos 2x(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)作出f(x)在区间[0，π]上的图象． 解　(1)因为f(x)＝sin＋cos 2x ＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x ＝cos 2x＋sin 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期是T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)由(1)知f(x)＝sin. x 0 π 2x＋ π 2π f(x) 1 0 －1 0 所以f(x)在区间[0，π]上的图象如图． 反思感悟　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质．解题时注意观察角、三角函数名、式子结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 跟踪训练3　已知函数f(x)＝cos－sin 2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当x∈时，求f(x)的值域． 解　(1)因为f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期是T＝＝π. (2)因为－≤x≤， 所以－≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1. 所以当x∈时，f(x)的值域为. 1．知识清单： (1)叠加公式的推导． (2)叠加公式的应用． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：写错辅助角、写错函数名称． 1．已知2sin 2x－2cos 2x＝a，则(　　) A．2sin＝a B．2sin＝a C．2sin＝a D.sin＝a 答案　A 解析　因为2sin 2x－2cos 2x＝a， 所以2＝a， 所以2sin＝a. 2．函数y＝4sin＋3cos的最小正周期是(　　) A．6π B．2π C. D. 答案　C 解析　∵y＝4sin＋3cos＝5sin(其中tan φ＝)， ∴T＝. 3．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，c＝，则a，b，c的大小关系为________．(用“<”连接) 答案　a<c<b 解析　因为a＝sin 59°，b＝sin 61°，c＝sin 60°，y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，所以a<c<b. 4．化简：sin 15°－cos 15°＝________. 答案　－ 解析　sin 15°－cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－. 1．sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10° ＝sin 40°cos 10°－sin 50°sin 10° ＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10° ＝sin(40°－10°)＝sin 30°＝. 2.的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　(cos 75°＋sin 75°)＝×cos(75°－45°)＝cos 30°＝. 3．在△ABC中，A＝15°，则sin A－cos(B＋C)的值为(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A， 所以原式＝sin A－cos(π－A)＝sin A＋cos A＝2sin(A＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝. 4．已知函数f(x)＝sin＋sin，则f(x)的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案　A 解析　∵f(x)＝sin＋sin ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x. ∴f(x)为奇函数． 5．已知f(x)＝sin－cos，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)的值为(　　) A．2 B. C．1 D．0 答案　B 解析　因为f(x)＝sin－cos ＝2sin＝2sin x， 所以f(x)的周期为6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝f(2 023)＝f(1)＝. 6．(多选)设函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的最大值为 D．y＝f(x)的图象关于点对称 答案　BCD 解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，最小正周期为＝π，故选项A不正确； 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝， 所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称， 故选项B正确； f(x)的最大值为，故选项C正确； 令2x＋＝kπ(k∈Z)， 所以当k＝2时，x＝，所以y＝f(x)的图象关于点对称，故选项D正确． 7．化简：sin＋cos＝________. 答案　sin 解析　sin＋cos ＝ ＝sin ＝sin. 8．已知cos＝－，则cos x＋cos的值为________. 答案　－1 解析　cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝×＝－1. 9．已知函数y＝sin ＋cos ，x∈R. (1)求当y取得最大值时相应的x的集合； (2)该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到y＝sin x(x∈R)的图象？ 解　y＝sin ＋cos ＝2sin. (1)当＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝4kπ＋，k∈Z时，y取得最大值，所以x的集合为. (2)y＝2sin y＝2sin y＝2sin xy＝sin x. 10．已知函数f(x)＝cos－sin. (1)求f(x)的最小值； (2)若函数y＝f(x)图象的两个相邻对称轴之间的距离为，求其单调递增区间． 解　(1)∵f(x)＝cos－sin ＝cos ωx＋sin ωx－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx＝sin， ∴f(x)的最小值为－1. (2)∵函数y＝f(x)图象的两个相邻对称轴之间的距离为， ∴f(x)的最小正周期为π， 即＝π，得ω＝2， ∴f(x)＝sin. 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， ∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 11．(多选)已知函数y＝cos x的图象与函数y＝sin x＋c的图象没有公共点，则实数c的值可以为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案　AD 解析　函数y＝cos x的图象与函数y＝sin x＋c的图象没有公共点，即方程cos x＝sin x＋c无解，也就是－c＝sin x－cos x无解， 设h(x)＝sin x－cos x＝sin，x∈R， 则h(x)∈[－，]， 所以c＜－或c＞. 12．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　方法一　f(x)＝5cos x＋12sin x ＝13＝13sin(x＋α)， 其中sin α＝，cos α＝， 由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)， 得θ＝2kπ－－α(k∈Z)， 所以cos θ＝cos ＝cos ＝－sin α＝－. 方法二　由f(x)＝13sin(x＋φ)，知函数的最小值为－13. 依题意5cos θ＋12sin θ＝－13，① ①式与sin2θ＋cos2θ＝1联立，解得cos θ＝－. 13．将函数f＝cos 2x－sin 2x的图象向左平移m个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则实数m的值可能为________．(填序号) ①；②；③；④. 答案　②④ 解析　由题意得f＝cos 2x－sin 2x＝cos，图象向左平移m个单位长度， ∴g(x)＝f(x＋m)＝cos关于y轴对称， ∴2m＋＝kπ(k∈Z)，解得m＝－(k∈Z)， 故当k＝1时，m＝；当k＝2时，m＝. 14．若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则α＋β＝___，cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝____. 答案　－　 解析　由题意知α＋β＝－. 所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos(α＋β)－sin(α＋β) ＝2 ＝2sin＝2sin＝2sin ＝. 15．(多选)已知a＝，b＝，则下列选项中可能成立的是(　　) A. B.＝1 C.▪＝1 D.＝6 答案　ABD 解析　a＋b＝， a－b＝， |a＋b|2＝(cos θ＋cos φ)2＋(sin θ＋sin φ)2＝2＋2(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝2＋2cos(θ－φ)， 2＝2＋2＝2－2＝2－2cos， 若θ＝φ＋，此时2＝2＝2，故，故A可能正确； 若θ＝φ＋，此时2＝1，＝1，故B可能正确； (a＋b)·(a－b)＝cos2θ－cos2φ＋sin2θ－sin2φ＝－＝1－1＝0，故C一定不正确； 2＝2＋2＝16＋25－40＝41－40cos， 当cos＝时，2＝36，故＝6，故D可能正确． 16．函数f(x)＝asin x＋bcos x称为向量＝(a，b)的“相伴函数”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数h(x)＝2sin－cos，求证：h(x)∈S； (2)记＝(0，2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)＝f(x)＋2|sin x|－1，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围． (1)证明　因为h(x)＝2sin－cos ＝－sin x＋cos x， 所以函数h(x)是向量＝的相伴函数，所以h(x)∈S. (2)解　因为f(x)＝2cos x， 所以g(x)＝2cos x＋2|sin x|－1 ＝ 则g(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又g(0)＝1，g＝3，g(π)＝－3，g＝3，g(2π)＝1， 所以若函数g(x)与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，则实数k的取值范围为[1，3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$