4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 [学习目标]　1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 导语 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式． 一、两角和与差的余弦公式 问题1　设α，β为两个任意角，你能判断cos(α－β)＝cos α－cos β恒成立吗？ 提示　cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°，一般不成立． 问题2　如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A，B，则向量，的坐标分别是什么？其数量积是什么？ 提示　＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)． ·＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题3　问题2中向量，的夹角为θ，根据数量积定义·等于什么？θ与α，β有什么关系？由此可得什么结论？ 提示　·＝||||cos θ＝cos θ＝cos(α－β)，α－β＝2kπ±θ，k∈Z. 可得结论：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题4　注意到α＋β＝α－(－β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？ 提示　cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 知识梳理 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 Cα－β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 Cα＋β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 注意点： (1)公式巧记为：余余正正符号反． (2)公式中的α，β均为任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． (3)注意公式的逆用，如cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝cos[(α＋β)－α]＝cos β. 例1　求下列各式的值： (1)cos ； (2)cos cos －cos sin . 解　(1)cos ＝cos＝－cos ＝－cos＝－cos ＝－ ＝－ ＝－. (2)原式＝cos cos －cossin ＝cos cos －sin sin ＝cos ＝cos ＝－. 反思感悟　两角差(和)的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差(和)的余弦值，利用两角差(和)的余弦公式直接展开求解． (2)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差(和)，然后利用两角差(和)的余弦公式求解． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 解　(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°) ＝. 二、给值求值 例2　(1)已知cos α－2cos β＝－，sin α－2sin β＝，则cos(α－β)＝________. 答案　 解析　由 得 两式相加，得5－4cos(α－β)＝， 所以cos(α－β)＝. (2)已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． 解　因为α，β∈， 所以0<α＋β<π， 由cos(α＋β)＝－， 得sin(α＋β)＝， 又sin α＝，所以cos α＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． (3)若通过对条件等式的运算，得到coscos，sinsin等结构的值，可考虑把它们看作整体，直接代入公式求解． 跟踪训练2　已知sin＝－，α∈，则cos α＝________. 答案　 解析　∵α∈，∴α＋∈， ∴cos＝＝ ＝， ∴cos α＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝×＋× ＝. 三、给值求角 例3　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 解　由cos α＝，0<α<，得 sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝ ＝＝. ∵β＝α－(α－β)， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 反思感悟　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． 跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 解　∵α，β均为锐角， ∴sin α＝，sin β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 又sin α<sin β，∴0<α<β<， ∴－<α－β<0. 故α－β＝－. 1．知识清单： (1)两角和与差的余弦公式的推导． (2)给角求值，给值求值，给值求角． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：求角时忽视角的范围． 1．sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45° ＝－(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°) ＝－cos(15°＋45°)＝－cos 60°＝－. 2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos 60°＝. 3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　因为α，β为锐角， cos α＝，cos(α＋β)＝－， 所以sin α＝， sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－×＋×＝. 4．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为______． 答案　 解析　原式＝cos 20°＋cos 60°－cos 80°－cos 40° ＝＋cos 20°－cos 40°－cos 80° ＝＋cos 20°－cos(60°－20°)－cos(60°＋20°) ＝＋cos 20°－cos 60°cos 20°－sin 60°sin 20°－cos 60°cos 20°＋sin 60°sin 20° ＝＋cos 20°－2cos 60°cos 20°＝. 1．(多选)下列各式化简正确的是(　　) A．cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos 100° B．cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45° D．cos＝cos α＋sin α 答案　ABC 2．已知sin α＝，α∈，则cos等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　由题意可知cos α＝， cos ＝cos ＝cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. 3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵α为锐角，且cos α＝， ∴sin α＝＝. ∵β为第三象限角，且sin β＝－， ∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋× ＝－. 4．(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　AC 解析　对比公式特征知，cos φ＝，sin φ＝－， 故φ＝－，都合适． 5．若α∈(0，π)，且cos＝，则cos α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为α∈(0，π)且cos＝， 所以sin＝. cos α＝cos ＝×＋×＝. 6．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，则cos C等于(　　) A. B.　 C.或 D．－ 答案　A 解析　在△ABC中，cos B＝， ∴sin B＝＞sin A＝， ∴A＜B＜，∴cos A＝. ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B) ＝sin Asin B－cos Acos B ＝×－×＝. 7．已知sin α＝，α是第二象限角，则tan α＝________________________________， cos(α＋60°)＝__________. 答案　－　 解析　因为sin α＝，α是第二象限角， 所以cos α＝－， 所以tan α＝＝－， cos(α＋60°)＝cos αcos 60°－sin αsin 60° ＝－×－× ＝. 8．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos(α－β)＝________. 答案　 解析　由cos α－cos β＝两边平方得， (cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.① 由sin α－sin β＝－两边平方得， (sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.② ①＋②得 2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝，∴cos(α－β)＝. 9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值． 解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－， 得sin(α－β)＝. 由α＋β∈，且cos(α＋β)＝， 得sin(α＋β)＝－. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝×＋×＝－1. 又∵α＋β∈，α－β∈， ∴2β∈. ∴2β＝π，则β＝. 10．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求β的值． 解　因为α∈，tan α＝4， 所以sin α＝4cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得sin α＝，cos α＝. 因为α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. 又0<β<，所以β＝. 11．函数f(x)＝cos－cos是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 答案　D 解析　因为f(x)＝cos－cos ＝－ ＝－sin x， 所以函数f(x)的最小正周期为＝2π. 又f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 12．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　因为sin α－sin β＝1－， 所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－.① 又因为cos α－cos β＝， 所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝.② 所以①＋②得2cos(α－β)＝， 所以cos(α－β)＝. 13．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B，3sin B)．若a，b的夹角为，则A－B＝________. 答案　± 解析　cos ＝ ＝ ＝cos Acos B＋sin Asin B ＝cos(A－B)． 又－＜A－B＜， ∴A－B＝±. 14．已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝________，cos A＝________. 答案　　 解析　在△ABC中， 因为cos B＝－<0， 所以B为钝角， 则sin B＝， 所以A＋B∈， 由sin(A＋B)＝， 得cos(A＋B)＝－， 所以cos A＝cos [(A＋B)－B] ＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B ＝－×＋×＝. 15．化简：＝________. 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 16．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f ＝－， f ＝，求cos(α－β)的值． 解　(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π， 所以10π＝，所以ω＝. (2)因为f ＝－， 所以2cos ＝2cos＝－， 所以sin α＝， 又因为f ＝， 所以2cos ＝2cos β＝， 所以cos β＝，因为α，β∈， 所以cos α＝，sin β＝， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$