第1章 三角函数 章末复习课-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

一、三角函数的化简与求值 1．三角函数的化简与求值主要用到了任意角三角函数的定义，三角函数的诱导公式的知识，其中熟练掌握诱导公式是关键所在． 2．通过三角函数的化简与求值，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1　已知角α的终边经过单位圆上的点P. (1)求sin α的值； (2)求·的值． 解　(1)∵点P在单位圆上， ∴由正弦的定义得sin α＝－. (2)原式＝·＝＝， 由余弦的定义得cos α＝，故原式＝. 反思感悟　解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值． 跟踪训练1　化简：··. 解　·· ＝·· ＝··＝·· ＝··＝1. 二、三角函数的图象与性质 1．三角函数的图象与性质主要是借助于正弦函数的图象与性质，利用整体思想研究y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质和三角函数的图象变换，这是三角函数中的核心内容． 2．通过研究三角函数的图象与性质，促进直观想象和数学运算素养的提升． 例2　将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图象． (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值． 解　(1)函数y＝sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图象上的点的横坐标缩短为原来的，得到y＝sin x－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin－1的图象， ∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6. 由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 得6k－≤x≤6k＋，k∈Z， ∴函数y＝f(x)的单调递增区间是，k∈Z. (2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值． ∵当x∈[3,4]时，x－∈， ∴sin∈，∴f(x)∈. ∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为. 反思感悟　研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且在上单调递减，求ω的取值范围． 解　因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， 所以φ＝，故f(x)＝cos＝－sin ωx， 要使得f(x)在上单调递减，只需y＝sin ωx在上单调递增， 因为x∈，所以ωx∈，其中－<0，>0， 结合正弦函数图象可知－≥－，≤， 解得ω≤， 综上，ω∈. 三、数形结合思想在三角函数中的应用 1．在三角函数学习和解题过程中，善于运用数形结合的方法寻找解题的突破口，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图促解题，用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果． 2．通过数形结合的方法，促进直观想象和核心素养的提升． 例3　如果关于x的方程sin2x－(2＋a)sin x＋2a＝0在x∈上有两个实数根，求实数a的取值范围． 解　sin2x－(2＋a)sin x＋2a＝0， 即(sin x－2)(sin x－a)＝0. ∵sin x－2≠0，∴sin x＝a， 因此此题转化为求在x∈上， sin x＝a有两个实数根时a的取值范围． 由y＝sin x，x∈与y＝a的图象(图略)知，≤a<1. 故实数a的取值范围是. 反思感悟　数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想． 跟踪训练3　方程lg|x|＝sin的实数根的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　由≤1得－1≤lg|x|≤1， 即≤|x|≤10，方程lg|x|＝sin实根的个数就是函数y＝lg|x|与y＝sin图象公共点的个数，当x>0时，两函数图象如图所示， 两图象有3个公共点，同理，当x<0时，两图象也有3个公共点， 故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根，故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$