1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 [学习目标]　1.会用“五点(画图)法”“图象变换法”作余弦函数的图象.2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图象解简单的三角不等式． 导语 在上节课中，我们知道正弦函数y＝sin x的图象是通过等分单位圆，平移正弦线而得到的．在精确度要求不高时，可以采用“五点法”画图，那么对于余弦函数y＝cos x的图象，是不是也可以用同样的方法得到呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图象与性质． 一、余弦函数的图象 问题1　类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y＝cos x的图象． 提示　在区间[0,2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π列表(如表)． x 0 cos x 1 0 － － x π 2π cos x －1 － － 0 1 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝cos x性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0,2π]上y＝cos x的图象(如图)． 由周期性可知，函数y＝cos x在区间[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象(如图)． 问题2　类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y＝cos x的图象有哪五个关键点？ 提示　(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 知识梳理 1．余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线． 2．要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象． 3．根据诱导公式sin＝cos x可知，只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图)． 注意点： (1)y＝cos x，x∈[0,2π]上的五点是指图象的最高点、最低点以及与x轴的交点． (2)y＝cos x的图象可由y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到，图象仍然夹在y＝±1之间． 例1　用“五点(画图)法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解　列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示． 反思感悟　作形如y＝acos x＋b，x∈[0,2π]的图象时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线顺次连线成图． 跟踪训练1　用“五点(画图)法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0,2π]的简图． 解　∵x∈[0,2π]，∴令x＝0，，π，，2π，列表得： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x＋1 3 1 －1 1 3 描点，连线，如图所示． 二、余弦函数的性质 由cos(－x)＝cos x，得余弦函数y＝cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴．观察余弦曲线，探究下面的问题． 问题3　除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何表示？ 提示　y＝cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x＝kπ(k∈Z)． 问题4　余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 提示　余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为(k∈Z)． 知识梳理 函数 y＝cos x 定义域 R 图象 最大(小)和值域 当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为1； 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为－1.值域是[－1,1] 周期性 是周期函数，2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 奇偶性 偶函数 对称轴 x＝kπ，k∈Z 对称中心 ，k∈Z 例2　(1)求f(x)＝的定义域． 解　要使函数有意义，则2cos x－1≥0， ∴cos x≥， ∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的定义域为. (2)求下列函数的值域． ①y＝－cos2x＋cos x；②y＝. 解　①y＝－2＋. ∵－1≤cos x≤1， ∴当cos x＝时，ymax＝； 当cos x＝－1时，ymin＝－2. ∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是. ②y＝＝－1. ∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3， ∴≤≤1， ∴≤≤4，∴≤－1≤3， 即≤y≤3. ∴函数y＝的值域为. 反思感悟　求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性． (2)cos x的单调性． (3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数． 跟踪训练2　已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．4 B．4－2 C．6 D．4＋2 答案　C 解析　因为函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6. 三、余弦函数单调性的应用 例3　(1)函数y＝3－2cos x的单调递增区间为____________________． 答案　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 解析　y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)， 得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． (2)比较cos与cos的大小． 解　cos＝cos＝cos π， cos＝cos＝cos π， ∵π<π<π<2π， ∴cos π<cos π，即cos<cos. 延伸探究　本例(1)改为函数y＝3－2cos(－x)，x∈[－4,4]的单调递增区间为_____________． 答案　[－4，－π]，[0，π] 解析　y＝3－2cos(－x)＝3－2cos x，y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反， 由函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)， 得y＝3－2cos(－x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)． 由[－4,4]∩[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)＝[－4，－π]∪[0，π]， 得函数y＝3－2cos(－x)，x∈[－4,4]的单调递增区间为[－4，－π]，[0，π]． 反思感悟　单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小． 跟踪训练3　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________________．(用“>”连接) 答案　cos 1>cos 2>cos 3 解析　由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 1．知识清单： (1)五点(画图)法． (2)余弦函数的性质． (3)余弦函数单调性的应用． 2．方法归纳：数形结合、换元法． 3．常见误区：单调区间漏写k∈Z，求值域时，忽视cos x本身具有的范围． 1．函数f(x)＝cos x的最大值为(　　) A. B．1 C. D. 答案　D 2．函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的单调性是(　　) A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B．在，上单调递增，在上单调递减 C．在[π，2π]上单调递增，在[0，π]上单调递减 D．在上单调递增，在，上单调递减 答案　A 解析　函数y＝－cos x的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．∵x∈[0,2π]，∴y＝－cos x在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减． 3．比较大小： (1)cos 15°________cos 35°； (2)cos________cos. 答案　(1)>　(2)< 解析　(1)∵0°<15°<35°<90°， 且当0°≤x≤90°时，y＝cos x单调递减， ∴cos 15°>cos 35°. (2)∵－<－<－<0， 且y＝cos x在上单调递增， ∴cos<cos. 4．函数y＝的定义域为______________________________________________. 答案　 解析　要使函数有意义，则－2cos x≥0， 即cos x≤， 余弦函数y＝cos x的图象如图所示： ∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域是 . 1．函数y＝－2cos x＋3的值域为(　　) A．[1,5] B．[－5,1] C．[－1,5] D．[－3,1] 答案　A 2．在x∈(0,2π)上，满足cos x>sin x的x的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　作出y＝sin x和y＝cos x在上的函数图象，如图所示， 根据函数图象可得满足cos x>sin x的x的取值范围为∪. 3．(多选)在区间上，下列函数单调递减的是(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝－sin x D．y＝－cos x 答案　ABC 解析　由正弦、余弦函数的单调性判断可知选ABC. 4．下列函数中，最小正周期为2π的是(　　) A．y＝|cos x| B．y＝cos|x| C．y＝|sin x| D．y＝sin|x| 答案　B 解析　由图象知y＝|cos x|与y＝|sin x|的最小正周期为π， y＝sin|x|不是周期函数，y＝cos|x|的最小正周期为2π. 5．已知函数f(x)＝cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为(　　) A. B. C．0 D. 答案　D 解析　当φ＝时，f(x)＝cos＝－sin x，其定义域为R， 且f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，f(x)为奇函数． 6．(多选)已知函数f(x)＝2cos x＋1，下列结论正确的为(　　) A．函数f(x)的值域为[－1,3] B．函数y＝f 为奇函数 C．函数的一条对称轴为x＝π D．函数的一个对称中心为 答案　ACD 解析　对于A，因为cos x∈[－1,1]，所以f(x)∈[－1,3]，故A正确； 对于B，设g(x)＝f ＝2cos＋1＝－2sin x＋1， 因为g＝－2sin＋1＝3， g＝－2sin ＋1＝－1，g≠－g， 所以g(x)不是奇函数，即函数y＝f 不是奇函数，故B不正确； 对于C，因为f(π)＝2cos π＋1＝－1，所以函数的一条对称轴为x＝π，故C正确； 对于D，因为f ＝2cos ＋1＝1，所以函数的一个对称中心为，故D正确． 7．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为____________________________． 答案　∪∪ 解析　由题意，得x满足不等式组 即作出y＝cos x的图象，如图所示． 由图可得－5≤x<－或－<x<或<x≤5. 所以定义域为∪∪. 8．方程x2＝cos x的实数解有________个． 答案　2 解析　作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解． 9．求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域. 解　y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－. ∵x∈，∴cos x∈. 从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝； 当cos x＝，即x＝时，ymin＝－. ∴函数的值域为. 10．已知函数y＝cos x＋|cos x|. (1)画出函数的图象； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)求出这个函数的单调递增区间． 解　(1)y＝cos x＋|cos x| ＝ 函数图象如图所示． (2)由图象知这个函数是周期函数， 且最小正周期是2π. (3)由图象知函数的单调递增区间为，k∈Z. 11．已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都单调递减，那么区间I可以是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　A项，y＝sin x在上单调递增； C项，y＝cos x在上单调递增； D项，y＝cos x，y＝sin x在上单调递增，故选B. 12．已知函数f(x)＝－cos2x＋cos x＋a＋1，a∈R，若对区间上任意x，都有f(x)≤1成立，则实数a的最大值为(　　) A．－ B．0 C．2 D. 答案　A 解析　∵f(x)≤1在上恒成立， ∴a≤cos2x－cos x＝2－在上恒成立． ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴2－≥－， 当且仅当cos x＝， 即x＝时，等号成立，∴a≤－， 则实数a的最大值为－. 13．(多选)对于函数f(x)＝下列说法正确的是(　　) A．该函数是以π为最小正周期的周期函数 B．当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1 C．该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称 D．当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ 答案　CD 解析　画出f(x)在[0,2π]上的图象如图所示． 由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π， 当x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时， 该函数都取得最小值－1，故AB错误． 由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称， 当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤， 故CD正确． 14．若函数f(x)＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为________________________． 答案　∪∪ 解析　当x>0时，由cos x>0，且x∈[－2π，2π]， 解得0<x<或<x≤2π； 当x<0时，由cos x<0，且x∈[－2π，2π]， 解得－<x<－， 故不等式xf(x)>0的解集为∪∪. 15．函数f(x)＝3|cos x|在[－π，π]上的单调递增区间为__________________． 答案　， 解析　∵y＝|cos x|的单调递增区间为(k∈Z)， 与[－π，π]取交集得，. 故函数f(x)＝3|cos x|的单调递增区间为和. 16．已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，求角A的取值范围． 解　①当0<A<时，cos A>0. 由f(cos A)≤0＝f ，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 得0<cos A≤，解得≤A<. ②当<A<π时，cos A<0. ∵f(x)为R上的奇函数， f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增， f ＝－f ＝0， ∴由f(cos A)≤0＝f ，得cos A≤－， ∴≤A<π. ③当A＝时，cos A＝0， ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(0)≤0成立． 综上所述，角A的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$