1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [学习目标]　1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义，会求给定角的正弦值、余弦值.2.会求角的三角函数值.3.会判断正弦、余弦函数值的符号． 导语 在初中，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适用于任意角的三角函数的定义．这节课就让我们一起探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义吧． 一、任意角的正弦函数和余弦函数 问题1　单位圆O上的点P以A为起点按逆时针方向旋转，如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，交单位圆于点P(u，v)．当α＝时，点P的坐标是什么？当α＝时，点P的坐标又是什么？ 提示　当α＝时，点P的坐标是； 当α＝时，点P的坐标是(0,1)． 问题2　一般地，给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示　一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标u还是纵坐标v，都是唯一确定的．所以点P的横坐标u和纵坐标v都是角α的函数． 知识梳理 1．对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v＝sin α；把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，记作u＝cos α. 2．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以v＝sin α，u＝cos α分别是以角α为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的正弦、余弦函数． 二、利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 问题3　已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ 提示　如图所示，根据相似三角形可得，sin α＝，cos α＝. 知识梳理 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝. 注意点： (1)r的值恒大于零． (2)角α的正弦、余弦函数值的大小与在终边上的点的位置无关． 例1　已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值． 解　由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)， 此时sin θ＝＝. 当x＝－1时，P(－1,3)， 此时sin θ＝＝. 综上，sin θ的值为. 延伸探究　在本例中，将“cos θ＝x”改为“sin θ＝”，求x的值． 解　∵|OP|＝， ∴sin θ＝＝， 解得x2＝1，∴x＝±1. 反思感悟　(1)已知角α终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值的方法 ①先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． ②在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解　r＝＝5|a|. (1)若a>0，则r＝5a，角α是第二象限角， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝－＝1； (2)若a<0，则r＝－5a，角α是第四象限有， sin α＝＝－，cos α＝＝， ∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α的值为1或－1. 三、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解　由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上除原点外的任一点为P(k，－3k)(k≠0)， 则x＝k，y＝－3k， r＝ ＝|k|. (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， ∴10sin α＋＝10×＋3× ＝－3＋3＝0； (2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， ∴10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 反思感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α＝，cos α＝ . 跟踪训练2　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值． 解　在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)， 则r＝＝5|a|. (1)当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－， cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－； (2)当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝， cos α＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝. 故2sin α＋cos α的值为或－. 四、正弦、余弦函数值符号的判断 问题4　借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，大家探究一下三角函数值的符号与什么有关？ 提示　正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号． 知识梳理 正弦、余弦函数值在各象限的符号 象限 三角函数　　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 注意点： (1)口诀：“一全正、二正弦、三全负、四余弦．” (2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号． 例3　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴点P在第四象限． (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4. 解　①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°>0， ∵－210°＝150°－360°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)<0， ∴sin 145°cos(－210°)<0. ②∵<3<π，π<4<， ∴sin 3>0，cos 4<0， ∴sin 3·cos 4<0. 反思感悟　准确确定正弦函数、余弦函数中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键． 跟踪训练3　如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　B 解析　因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，且2cos θ<0， 则所以角θ是第二象限角． 1．知识清单： (1)任意角的正弦函数和余弦函数． (2)利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值． (3)已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值． (4)正弦、余弦函数值符号的判断． 2．方法归纳：转化与化归、分类讨论． 3．常见误区：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关． 1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设交点坐标为P(x，y)， 则y＝sin α＝，x＝cos α＝－， 所以点P. 2．(多选)若角α的终边上一点的坐标为P(3,4)，则下列结论正确的有(　　) A．sin α＝ B．sin α＝ C．cos α＝ D．cos α＝ 答案　BC 解析　点P到坐标原点的距离r＝＝5， 所以sin α＝，cos α＝. 3．点P(sin 216°，cos 216°)位于第________象限． 答案　三 解析　∵216°是第三象限角，∴sin 216°<0，cos 216°<0，∴点P位于第三象限． 4．已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝______. 答案　± 解析　在直线y＝2x上任取一点P(x,2x)(x≠0)， 则r＝＝|x|. ①若x>0，则r＝x， 从而sin α＝＝，cos α＝＝， ∴sin α＋cos α＝. ②若x<0，则r＝－x， 从而sin α＝＝－，cos α＝＝－， ∴sin α＋cos α＝－. 综上，sin α＋cos α＝±. 1．若角α的终边过点(5,12)，则cos α－sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　由题意知r＝＝13，所以cos α＝，sin α＝，所以cos α－sin α＝－. 2．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则点P的横坐标x等于(　　) A．2 B．±2 C．－2 D．－2 答案　D 解析　因为cos α＝－<0，所以x<0， 又r＝，由题意得＝－， 所以x＝－2. 3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵sin ＝，cos ＝－， ∴角α的终边在第四象限， ∴角α的最小正值为2π－＝. 4．(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0 C．sin<0 D．cos >0 答案　BCD 解析　∵－280°＝80°－360°，∴－280°是第一象限角，∴cos(－280°)>0；∵500°＝140°＋360°， ∴500°是第二象限角，∴sin 500°>0； ∵－＝－2π，∴－是第三象限角， ∴sin<0； ∵＝＋4π，∴是第一象限角， ∴cos >0. 5．已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　D 解析　∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负， 又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ>0， 综上有sin θ<0，cos θ>0， 即θ为第四象限角． 6．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知α＝，则的终边与单位圆的交点坐标为. 7．已知角α的终边与单位圆交于点P，则cos α＝________，sin α＝________. 答案　－　± 解析　∵点P在单位圆上， 则＋y2＝1，∴y＝±， ∴cos α＝－，sin α＝±. 8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________． 答案　(－2,3] 解析　由cos α≤0，sin α>0可知， 解得－2<a≤3. 9．已知角α的顶点为原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角α的终边过点P(－，y)(y≠0)，且sin α＝y，判断角α的终边所在的象限，并求cos α的值． 解　依题意，得点P到原点O的距离 r＝＝， ∴sin α＝＝＝y. ∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝， ∴y＝±，∴角α的终边在第二或第三象限． ∴r＝＝＝， ∴cos α＝＝＝－， ∴cos α的值为－. 10．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. (1)若cos α＝，求y0的值； (2)若y0＝－4，求的值． 解　(1)由题意知，＝， 因为cos α＝，所以＝. 解得y0＝±2. (2)当y0＝－4时，sin α＝－，cos α＝， 所以＝＝. 11．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是(　　) A．－2 B. C．－2或 D．－1 答案　A 解析　∵r＝＝， cos α＝＝－， ∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2且2a＋1<0，解得a＝－2. 12．(多选)若角α为第二象限角，则下列函数值可能是负值的是(　　) A．sin α B．cos α C．sin  D．cos  答案　BCD 解析　由题意，若α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，为第一象限角或第三象限角，当为第一象限角时，cos >0，sin >0；当为第三象限角时，cos <0，sin <0. 13．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，点P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________. 答案　2 解析　∵y＝3x且sin α<0， ∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上， 且m<0，n<0，n＝3m. ∴|OP|＝＝|m|＝－m＝， ∴m＝－1，n＝－3， ∴m－n＝2. 14．若300°角的终边所在直线上一点为(－4，a)，则a的值为________． 答案　4 解析　∵－4<0，∴点(－4，a)在120°角的终边上， sin 120°＝(a>0)，得a＝4. 15．函数y＝＋－的值的集合是(　　) A．{－4,0,2} B．{4,0,2} C．{－4,0，－2} D．{2,0} 答案　A 解析　由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上， 当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0， sin xcos x>0，y＝0； 当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0， sin xcos x<0，y＝2； 当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0， sin xcos x>0，y＝－4； 当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0， sin xcos x<0，y＝2. 故函数y＝＋－的值的集合为{－4,0,2}． 16．已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α的终边所在的象限； (2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值． 解　(1)∵＝－， ∴sin α<0.① ∵lg(cos α)有意义，∴cos α>0.② 由①②得，角α的终边在第四象限． (2)∵点M在单位圆上， ∴2＋m2＝1， 解得m＝±. 又α是第四象限角， ∴m<0，∴m＝－. 由三角函数定义知，sin α＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$