6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

6.1　柱、锥、台的侧面 展开与面积 第六章　§6　简单几何体的再认识 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的侧面积的求法. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的侧面积公式进行计算和解决有关实际问题. 3.培养空间想象能力和思维能力. 学习目标 复习回顾 1.矩形面积公式：S＝ab. 导语 4.圆面积公式：S＝πr2. 5.圆周长公式：S＝2πr. 导语 内容索引 一、圆柱、圆锥、圆台的侧面积 二、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 课时对点练 三、组合体的表面积 随堂演练 一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 问题1　如何根据圆柱的展开图，求圆柱的侧面积？ 提示　圆柱的侧面展开图是矩形(如图所示)，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl. 问题2　如何根据圆锥的展开图，求圆锥的侧面积？ 提示　如图，圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆周长.设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 几何体 图形 侧面积公式 旋转体 圆柱   S圆柱侧＝______ 圆锥   S圆锥侧＝_____ 圆台   S圆台侧＝_________ 2πrl πrl π(r1＋r2)l 知识梳理 9 注意点： (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于侧面积加上底面的面积. 知识梳理 10 例1　如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积. 11 母线长分别是AC＝3，BC＝4， 12 旋转体的侧面积 (1)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键. (2)表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 反思感悟 13 跟踪训练1　(1)若圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为 A.6π(4π＋3) B.8π(3π＋1) C.6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D.6π(4π＋1)或8π(3π＋2) √ 14 由题意得， 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2. ①当以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，设底面半径为r，则2πr＝4π， 即r＝2，所以S底＝4π， 所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1). ②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，设底面半径为r，则2πr＝6π，即r＝3， 所以S底＝9π， 所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3). 15 (2)圆锥的中截面(过圆锥高的中点且平行于底面的截面)把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为 A.1∶1 　　　B.1∶2 　　　C.1∶3 　　　D.1∶4 √ 16 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心. 因为O1为PO2的中点， 所以PA＝AB，O2B＝2O1A. 又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA， S圆台侧＝π·(O1A＋O2B)·AB， 故这两部分侧面积的比为1∶3. 17 二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 问题3　在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的表面积怎样得到的吗？ 提示　利用展开图，如图. 问题4　类比圆柱、圆锥、圆台，直棱柱、正棱锥、正棱台的展开图是怎么样的？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 提示　展开图如图所示；首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积，然后求和即可. 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱   S直棱柱侧＝ch c—底面周长 h—高 正棱锥   S正棱锥侧＝ ch′ c—底面周长 h′—斜高 知识梳理 21 正棱台   S正棱台侧＝ (c1＋c2)h′ c1，c2—上、下底面周长 h′—斜高 知识梳理 22 例2　正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b). (1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； 23 如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高. 由题意知∠C1CO＝45°， 24 25 (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. ∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2， 26 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 ①多面体的表面积是各个面的面积之和； ②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. (2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用 ①高，侧棱，上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形； ②高，斜高，上、下底面边心距所成的直角梯形. 反思感悟 27 跟踪训练2　已知棱长均为5，四边形ABCD为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积. ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB， 28 三 组合体的表面积 例3　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积. 如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的. 在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， 又DD′＝DC＝2a， 则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响. (2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化. 反思感悟 32 跟踪训练3　如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)，上面是圆柱(尺寸如图，单位：mm).电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11 kg，问电镀10 000个零件需要锌多少kg (结果精确到0.01 kg)? (参考数据：π≈3.14， ≈1.732) 33 ∵圆柱的侧面积 S1＝π×6×25＝150π≈471(mm2)， ∴该机器零件的表面积S＝S1＋S2 ＝1 579.224(mm2). 则10 000个零件的表面积为15 792 240 mm2＝15.792 24 m2. ∴需要锌的质量为15.792 24×0.11≈1.74(kg). 故电镀10 000个零件需要锌1.74 kg. 34 1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积. (2)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积. (3)组合体的表面积. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：对于组合体的表面积易重复计算拼接面. 课堂小结 四 随堂演练 1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 A.4π 　　　B.3π 　　　C.2π 　　　D.π 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为 ，则正四棱锥的侧面积为 A.48 　　　B.64 　　　 C.80 　　　D.120 √ 设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R， 1 2 3 4 3.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为_______. 216π ∵r∶R＝3∶8， ∴r＝3，R＝8. S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π， 则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π. 设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm， 1 2 3 4 4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为_________ cm2. 112或72 ∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)或S侧＝4×6×3＝72(cm2). 五 课时对点练 1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l， 由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2. S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)， 2.若一个圆锥的表面积为πa m2，且它的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的底面半径为 设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 设底面半径为r，则πr2＝S， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又侧面展开图为一个正方形， 4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，若圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为 A.7 　　　B.6 　　　C.5 　　　D.3 设圆台较小底面的半径为r， 则另一底面半径为3r， S侧＝π(r＋3r)×7＝84π， ∴r＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设正方体棱长为a， 由题意知，三棱锥的各面都是正三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 正方体的表面积为6a2， 6.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD交于点O，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高， 7.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________. 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积，同时减去圆柱的两个底面的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 96＋6π 8.我国有一种容器叫做方斗，方斗的形状是一个上大下小的正四棱台(如图)，如果一个方斗的高为3分米(即该方斗上、下底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为________平方分米.(容器厚度忽略不计) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方斗大致图形如图所示，设点O，O1分别为上、下两底面的中心，M，N分别为AD，A1D1的中点，则MN为等腰梯形A1D1DA的高.根据题意可知MO＝3，NO1＝2，OO1＝3，则MN＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图是一个烟囱的直观图(图中数据的单位为厘米)，它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体(下底面与四棱台形物体的上底面重合).为防止雨水的侵蚀，同时使烟囱更美观，现要在烟囱外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？(结果精确到1平方厘米，可用计算工具) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，需贴瓷砖的部分为正四棱柱与正四棱台的侧面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故需要瓷砖的面积为12 800＋1 559＝14 359(平方厘米). 10.如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm，求： (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积； 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以该几何体的表面积为π×(4＋16)×13＋π×42＋π×162 ＝532π(cm2). (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体， 如图所示，其中圆锥的高为16－4＝12(cm)， 由(1)可知圆锥的母线DC为13 cm， 又圆柱的母线AD为4 cm. 故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 则πr2＋πrl＝36π，化为r2＋rl＝36， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ① ② 12.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，四边形ABCD为正方形，AB∥EF，AB＝2，EF＝6，点F到平面ABCD的距离为2，则这个羡除的表面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为DA⊥平面ABFE，DA⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面ABFE， 根据面面垂直的性质定理， 得点F到平面ABCD的距离为F到AB的距离， 所以等腰梯形ABFE的高为2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为四边形ABCD为正方形，且AB＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以该羡除的表面积为 13.已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的表面积和圆锥的表面积的比值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r，R， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积(含最底层正方体的底面面积)为_____. ∴该几何体的表面积为36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 15.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为______ cm，表面积等于______ cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 20 224π 设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径 的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl. ∵圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周， ∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20 (cm). 圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′， 如图所示，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE， 则SE⊥AB，且SE＝h′. 因为S侧＝2S底， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.三角形面积公式：S＝ah. 3.正三角形面积公式：S＝a2. 6.扇形面积公式：S＝lr. 7.梯形面积公式：S＝(a＋b)h. 则S圆锥侧＝×2πrl＝πrl. S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl(其中r′和r分别是圆台上、下底面的半径). 所以S表＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π. 所以旋转体的表面积是π. 在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.所以CD＝， 记r＝， 那么△ABC以AB所在直线为旋转轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝， 所以＝＝＝， 则＝＝. 又EF＝CE·sin 45°＝(b－a)， ∴C1F＝ CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝(b－a). 在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝(b－a)， ＝＝(b－a). ∴S侧＝(4a＋4b)·(b－a)＝(b2－a2). ∴4·(a＋b)·h斜＝a2＋b2， ∴h斜＝. 又EF＝，∴h＝＝. ∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋ S底＝25＋25＝25(＋1). ＝(9＋4)πa2. AB＝(2a－a)tan 60°＝a， DC＝＝2a， ＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－π·a2 棱柱的表面积S2＝12×5×6＋2×6××12×12×≈1 108.224(mm2)， 由勾股定理可得R－r＝＝5. 则 解得或 A. B. C. D. ＝＝. 则解得r＝. A. m B. m C. m D. m ∴r＝， A.4πS B.2πS C.πS D.πS ∴底面周长为2πr＝2π， ∴侧面积是2＝4πS. A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2 其表面积为 ＝4×a2＝2a2. ∴三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2＝1∶. A.32 B.48 C.64 D. 则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4， 则S侧＝4××4×4＝32. 20 ＝， 所以此方斗的侧面等腰梯形ADD1A1的高为分米. 所以此方斗外表面的侧面积为4×＝20(平方分米). S正四棱柱侧＝4×40×80＝12 800(平方厘米)，正四棱台的斜高h′＝＝5(厘米)， S正四棱台侧＝4××5≈1 559(平方厘米)， 其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm，母线DC＝＝13(cm)， 11.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为 A.18 B.18 C.12 D.24 2πr＝l·，可得l＝3r， 联立①②，解得r＝3，l＝9，h＝＝6， 该圆锥轴截面的面积为×2r×h＝rh＝3×6＝18. A.10＋12 B.12＋12 C.12＋14 D.12＋10 腰AE＝＝2， 所以DE＝＝2， 等腰梯形CDEF的高为＝2， 2×2＋×(2＋6)×2＋×(2＋6)×2＋2××2×2＝12＋12. －1 则有＝， 即＝， 所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R. 所以＝＝ ＝＝＝－1. 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1， ∴S表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36. 所以3××a×h′＝a2×2，所以a＝h′. 所以32＋2＝h′2， 所以h′＝2，所以a＝h′＝6. 所以S底＝a2＝×62＝9， 所以S侧＝2S底＝18. $$