第2章 平面向量及其应用 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

章末复习课 第二章　平面向量及其应用 知识网络 一、向量的线性运算 二、向量的数量积运算 三、正弦定理、余弦定理 内容索引 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 向量的线性运算 一 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量基本定理、共线(平行)向量基本定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 5 例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b等于 A.(7，－2) B.(1，－2) C.(1，－3) D.(7,2) √ ∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)， ∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(7，－2). 6 作出示意图如图所示. √ 7 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 反思感悟 8 √ 9 10 二 向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 12 9 13 (1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题： ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； 反思感悟 14 ②求向量的夹角和模的问题 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) 反思感悟 15 16 三 正弦定理、余弦定理 1.主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理和数学运算素养. 18 (1)求sin C的值； 19 (2)若a＝7，求△ABC的面积. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 解得b＝8或b＝－5(舍去). 所以△ABC的面积 20 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝ 等. 反思感悟 21 22 23 整理，得(a＋c)2－3ac＝7. 由已知a＋c＝5，得ac＝6， 又a>c，可得a＝3，c＝2， 24 余弦、正弦定理在实际问题中的应用 四 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 26 例4　为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进 行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)； 需要测量的数据有A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). 27 ②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 28 方法一　第一步，计算AM.在△ABM中， 第三步，计算MN.在△AMN中，由余弦定理得， 第二步，计算AN.在△ABN中，由正弦定理得， 29 第二步，计算BN.在△ABN中，由正弦定理得， 第三步，计算MN.在△BMN中，由余弦定理得， 30 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. 反思感悟 31 (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 反思感悟 32 33 如图所示，在△ABC中， ∠ABC＝90°－75°＝15°， ∠BAC＝60°－∠ABC＝45°. 过点A作AD⊥BC于点D. 34 所以货轮无触礁危险. 35 (2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于 A.－ B.－ C.＋ D.＋ ＝＋＝＋ ＝×(＋)＋(－) ＝－. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝ λ＋μ，则λ＋μ等于 A. B. C. D.2 因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋) ＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋， 且＝＋，所以解得 所以λ＋μ＝. ＝－＝－＋， 例2　设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝______. 因为＝＋＝＋， 所以·＝(4＋3)·(4－3) ＝(162－92)＝×(16×62－9×42)＝9. 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. cos θ＝＝. 解得λ＝. 即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2 跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为______. 由⊥，知·＝0， ＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0， 例3　在△ABC中，A＝60°，c＝a. 在△ABC中，因为A＝60°，c＝a， 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝. 因为a＝7，所以c＝×7＝3. 得72＝b2＋32－2b×3×，即b2－3b－40＝0，  S＝bcsin A＝×8×3×＝6. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，进行代数变换. 跟踪训练3　在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a－2bsin A＝0. (1)求角B的大小； 因为a－2bsin A＝0， 所以sin A－2sin Bsin A＝0. 因为sin A≠0，所以sin B＝. 又B为锐角，则B＝. (2)若a＋c＝5，且a>c，b＝，求·的值. 所以·＝||||·cos A＝cbcos A＝2××＝1. 由(1)知B＝，因为b＝， 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos ， 于是cos A＝＝＝， 由正弦定理得，AM＝； MN＝.  AN＝； 方法二　第一步，计算BM.在△ABM中，由正弦定理得，BM＝； BN＝；  MN＝. 跟踪训练4　已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°方向，航行20海里后，见此岛在北偏东30°方向，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？ 依题意得BC＝20(海里)， 由正弦定理，得＝， 所以AC＝＝10(－)(海里). 故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°＝10(－)× ＝(15－5)(海里). 因为15－5>8， $$