2.5.2 向量数量积的坐标表示 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

5.2　向量数量积的坐标 表示 第二章　§5　从力的做功到向量的数量积 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决向量的模、夹角、垂直有关的问题. 3.能够利用向量坐标运算求点到直线的距离. “不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 导语 内容索引 一、平面向量数量积的坐标表示 二、向量的模 课时对点练 三、向量的夹角、垂直问题 随堂演练 四、求点到直线的距离 平面向量数量积的坐标表示 一 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，求i·i，j·j，i·j和j·i的值. 提示　i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0. 问题2　a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j ＝x1x2＋y1y2. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.则a·b＝ . x1x2＋y1y2 知识梳理 7 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于 A.10 B.－10 C.3 D.－3 因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. √ 8 (2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于 A.6 B.5 C.4 D.3 由题意可得，8a－b＝(6,3)， 又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)， ∴18＋3x＝30，解得x＝4. √ 9 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 反思感悟 10 11 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 二 向量的模 问题3　设a＝(x，y)，探究|a|的值. 提示　|a|2＝a2＝(xi＋yj)·(xi＋yj)＝x2i·i＋2xyi·j＋y2j·j＝x2＋y2， 故|a|＝ 1.向量的模 设a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝ . 2.两点间的距离 如果表示向量a的有向线段 的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a＝ ，|a|＝ ＝ . 这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式. 注意点： x2＋y2 (x2－x1，y2－y1) 知识梳理 15 例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于 ∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， √ 16 求向量a＝(x，y)的模的常见方法 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 反思感悟 17 √ ∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 18 三 向量的夹角、垂直问题 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2， 特别地，a⊥b⇔ . x1x2＋y1y2＝0 知识梳理 20 注意点： (1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 知识梳理 21 例3　已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2). (1)求a与b夹角的余弦值； 因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， 22 (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值. 因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， (a－λb)⊥(2a＋b)， 23 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 反思感悟 24 √ 25 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3). 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7. 7 (2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝_____. 27 四 求点到直线的距离 点到直线的距离的向量表示 已知一条直线l和直线外一点P. 知识梳理 29 例4　已知点O(1,2)，向量m＝(－2,2)，过点O作以向量m为方向向量的直线l，则点P(4,6)到直线l的距离为_____. 设n⊥l，n＝(x，y)，则n⊥m，n·m＝(x，y)·(－2,2)＝0， 即－2x＋2y＝0. 令x＝1，则y＝1，n＝(1,1). 30 利用向量求点到直线距离的步骤 设A是直线l上一点，m是l的方向向量，求直线外一点P到直线l的距离 (1)设一个向量n＝(x，y)与直线l垂直，即n⊥m，利用n·m＝0得到x，y的一组解. 反思感悟 31 跟踪训练4　已知点A(1,1)，B(2，－1)，求点P(3,5)到直线AB的距离. 32 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)向量的模. (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量). 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两个向量夹角的余弦公式易记错；a⊥b与a∥b的坐标形式的充要条件易混淆. 课堂小结 随堂演练 五 1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于 1 2 3 4 √ a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 2.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 1 2 3 4 √ ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， 3.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为 1 2 3 4 √ 又a，b的夹角范围为[0，π]. 1 2 3 4 4.已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为____. 3 ∵2a－3b＝(2k－3，－6). (2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0， 即(2k－3)×2＋(－6)×1＝0，解得k＝3. 课时对点练 六 1.(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是 A.|a|＝b2 B.a·b＝0 C.a∥b D.(a－b)⊥b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 |a|＝b2＝2，故A正确； B，C显然错误； a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0， 所以(a－b)⊥b.故D正确. 16 √ √ 2.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2. 再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)， 3.向量a＝(－1,1)在向量b＝(－3，－4)方向上的投影数量为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得a·c＝x－3＝0，解得x＝3，则a＝(3,1)， 因为b∥c，则y＝－2×(－3)＝6，则b＝(－2,6)， 4.设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(－2，y)，c＝(1，－3)，a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形OABC是平行四边形， 7.设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 由题意得ma－b＝(m＋1，－m)， 因为a⊥(ma－b)， 所以1×(m＋1)＋0×(－m)＝0， 所以m＝－1. 8.设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝____，|a＋b|＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －2 16 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0， 即m＋2＝0，解得m＝－2. 9.已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1). (1)若|c|＝ ，且c∥a，求向量c的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故c＝(－3,3)或c＝(3，－3). (2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a·(a－2b)＝0， 即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求a－b的坐标以及a－b与a的夹角； 设a－b与a的夹角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于 A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 √ 由m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)， (m＋n)⊥(m－n)， 可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.(－3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x,0)， 此时点P的坐标为(3,0). 13.(多选)已知点A(1,2)，B(5,2)，C(k,4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为 A.1 B.2 C.3 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵△ABC为直角三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系. ∵点E在边CD上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△ABC是锐角三角形， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立， 消去x并化简得y2－2y－3＝0， 解得y＝3或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当y＝－1时，x＝2， 跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝_____. 所以·＝(2,1)·＝2×＋1×2＝. 因为＝2， 所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝， . 设a＝(x，y)，则与a共线的单位向量为±. || A. B. C. D. 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝. ＝ 跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于 A. B. C.5 D.25 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， cos θ＝＝(|a||b|≠0). (2)当x1x2＋y1y2＜0时，θ∈； 当x1x2＋y1y2＞0时，θ∈； 当x1x2＋y1y2＝0时，θ＝(|a||b|≠0). |a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. (1)方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. 跟踪训练3　(1)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 A.2 B. C.0 D.－ 即＝，所以＋m＝， 解得m＝. 因为a＝(1，)，b＝(3，m). 所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m， 又a，b的夹角为，所以＝cos ， 过程：如图，过点P向直线l作垂线，垂足为点B， 则向量的长度就是点P到直线l的距离.在直线l 上取不同于B的一点A，且＝＝n.也就是向量在向量上的投影数量.它可以表示为·＝·＝·，则就是点P到直线l的距离. 因为O(1,2)，P(4,6)，所以＝(4,6)－(1,2)＝(3,4). 所以点P到直线l的距离d＝＝＝. (2)利用公式d＝求得点到直线的距离. 设n⊥AB，即n⊥，设n＝(x，y)，由于直线AB的方向向量为＝(1，－2)， 又n⊥，则n·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，令x＝2，则y＝1，n＝(2,1). 由于A(1,1)，P(3,5)，故＝(2,4)，点P(3,5)到直线AB的距离d＝＝＝. (4)cos θ＝(θ为非零向量a，b的夹角). A.3 B.－3 C. D.－ A.1 B. C.2 D.4 ∴n2＝3，∴|a|＝＝2. ∴cos〈a，b〉＝＝＝. ∴a与b的夹角为. A. B. C. D. ∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5. A. B. C.2 D.10 可得|a＋b|＝. A. B.－ C. D.－ 向量a＝(－1,1)在向量b＝(－3，－4)方向上的投影数量为＝＝－. A.5 B.2 C.5 D.3 故a＋b＝(1,7)，因此|a＋b|＝＝5. 5.(多选)设向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，则下列叙述正确的是 A.若k<－2，则a与b的夹角为钝角 B.的最小值为2 C.与b共线的单位向量只有一个，为 D.若＝2，则k＝2或－2 对于A，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不共线，则解得k<2且k≠－2，A正确； 对于B，＝≥＝2，当且仅当k＝0时，等号成立，B正确； 对于C，＝，与b共线的单位向量为±，即与b共线的单位向量为或，C错误； 对于D，＝2＝2，即＝2，解得k＝±2，D错误. 6.设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 A. B. C. D. ∴＝，即(4,2)＝(a－2,8－a)， ∴a＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)， 设向量与的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. 所以a＋b＝(－1,3)，所以|a＋b|＝. 3 设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得 所以或 因为|a|＝，且a⊥(a－2b)， 故cos θ＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 10.已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0). 因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)， 所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)， 所以cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为. |a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3. 易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]. 12.已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是 则＝(x－2，－2)， ＝(x－4，－1). ·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以当x＝3时，·有最小值1. 由题意得，＝(4,0)，＝(k－1,2)， ＝(k－5,2)， ∴⊥，或⊥，或⊥， ∴·＝4(k－1)＝0，解得k＝1； 或·＝4(k－5)＝0，解得k＝5； 或·＝(k－1)(k－5)＋4＝0，解得k＝3. 14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是______. ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)， 且＝2， ∴E. ∴＝，＝， ∴·＝－＋4＝. 所以A＋B>，即A>－B. 又因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin＝cos B， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0， 16.已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3). (1)若∥，求x与y之间的关系式； ∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， ∴＝－＝(－x－4,2－y). 又∥，且＝(x，y)， (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积. ＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3). ∵⊥，∴·＝0， 此时＝(0,4)，＝(－8,0)； 此时＝(8,0)，＝(0，－4)； ∴S四边形ABCD＝||·||＝16. $$