2.4.1 平面向量基本定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.1　平面向量基本定理 第二章　§4　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.了解平面向量基本定理及其意义，了解基、正交基、正交分解及标准正交基的概念. 2.掌握平面向量基本定理，会用基表示平面向量. 3.会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用力体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2.在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和. 任意两个向量做加法、减法或数乘运算的结果都是一个向 量，反过来，对于平面内给定的两个不共线的向量e1，e2， 任一向量a都可以用形如λ1e1＋λ2e2的形式来表示. 导语 内容索引 一、平面向量基本定理 二、用基表示向量 课时对点练 三、平面向量基本定理的应用 随堂演练 一 平面向量基本定理 问题　已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 如图，通过作平行四边形，将力F分解为大小、方向不同的 分力. 由力的分解得到启发，我们是否可以通过平行四边形，将向 量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？ 提示　可以. 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个 的向量，那么对该平面内 向量a，存在 的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1,e2}. 不共线 任意一个 唯一 知识梳理 7 2.正交基、正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相 ，则称这组基为正交基. (2)在 下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的 向量，则称这组基为标准正交基. 注意点： (1)基{e1，e2}不共线且是非零向量. (2)基不唯一，关键是不共线. (3)由定理可将任一向量a在给出基{e1，e2}的条件下进行分解. (4)基给定时，分解形式唯一. 垂直 正交基 单位 知识梳理 8 例1　(多选)设{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中，能作为基的是 A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 √ √ √ 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为基； 选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基. 9 考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示. 反思感悟 10 跟踪训练1　已知向量{a，b}是一组基，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝______. 3 因为{a，b}是一组基， 所以a与b不共线， 11 二 用基表示向量 13 因为DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点， 14 15 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基都可以表示该平面内的任意一个向量.用基表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 反思感悟 16 a＋b 2a＋c 17 三 平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 19 ∵A，P，M和B，P，N分别共线， 20 由平面向量基本定理， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 21 若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即可. 反思感悟 22 23 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：列方程(组). 3.常见误区：忽视基中的向量必须是不共线的两个向量. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为表示该平面向量的一组基的是 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 2.下列三种说法： ①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面向量的基；②一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面向量的基；③平面内的基一旦确定，该平面内的向量在此基下的线性分解形式就唯一确定. 其中说法正确的为 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 五 1.(多选)若{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中不能作为平面向量的基的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A中，两个向量互为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量； 选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为一组基，知只有选项D中的两向量可作为基. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.(多选)如果{e1，e2}是平面α内的一组基，那么下列说法正确的是 A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.平面α中任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ A，B正确，平面中的任意向量都可以用一组基唯一表示； C错，平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点， 由题意可知a＝(λ＋μ)e1＋(λ－μ)e2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量a在基{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基{e1＋e2，e1－e2}下可以表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝____，μ＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一组基； 假设a＝λb(λ∈R)， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 故a与b不共线，{a，b}可以作为一组基. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)选择基{a，b}，试写出向量c＝3e1－e2在此基下的分解式. 设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以c＝2a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接CD，OD(图略)， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.△ABC的重心 D.AB边的中点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵O是△ABC的重心， ∴点P是线段OC的中点， 即AB边中线的三等分点(非重心). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上， 即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为D，O，N三点共线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以AO∶OM＝3∶11. 由平面向量基本定理得 解得所以x－y＝3. 例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，  AB的中点，设＝a，＝b，选择基{a，b}，试写出向量，在此 基下的分解式. ＝－×b－a＋b＝b－a. 所以＝＝＝b. ＝＋＋＝－－＋ 所以＝＋＝＋＝b＋a－b＝a＋b. 延伸探究　本例中，若设BC的中点为G，则＝________. a＋b ＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－b， 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，设＝a， ＝b，＝c，则在基{a，b}下，可表示为________， 在基{a，c}下，可表示为________. 在基{a，b}下，＝＋＝a＋b； 在基{a，c}下，＝＋＝＋(＋)＝2＋＝2a＋c. ＝＋＝2e1＋e2. ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－e1－3e2， ∴＝，＝， 而＝＋＝2e1＋3e2， 得解得 跟踪训练3　平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC＝2BM，NC＝3DN，设＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ＝____. ∴＝a－b＋b－a＝a＋b， 又＝λa＋μb，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 如图，选，作为基向量，则有 可得 又＝＋， 故与，与可作为基. A.与 B.与 C.与 D.与 易知与不共线，与不共线， ∴－c＝2(b－)， ∴＝b＋c. 3.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，在基{b，c}下，等于 A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c ∵＝2，∴－＝2(－)， 4.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，选择基{，}，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为_____. ＝－＋， ∵与不共线， ∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. 如图，＝＋＝＋＝＋(－) A.{e1－e2，e2－e1} B. C.{2e2－3e1，6e1－4e2} D.{e1＋e2，e1＋3e2} 选项B中，2e1－e2＝2，为共线向量； 2.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于 A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) ＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2). 4.在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用a，b表示为 A.(a－b) B.(b－a) C.(a－b) D.(b－a) 由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a). 5.如图，在△ABC中，＝，＝，若 ＝λ＋μ，则等于 A. B. C.3 D. 由题意可得，＝－＝－， ＝＋＝＋＝＋＝＋， 据此可知λ＝，μ＝，∴＝. 6.(多选)如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA上靠近点A，B，C的四等分点，如果＝a，＝b， 以下向量表示正确的是 A.＝－a－b B.＝－a＋b C.＝－a＋b D.＝a－b 由已知可得＝－＝b－a，故D错误； 由＝－＝－ ＝－a－(b－a)＝－a－b，故A错误； ＝－＝－＋＝－b＋(b－a)＝－a＋b，故B正确； ＝－＝－＝－a＋b，故C正确. 则解得 － 8.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________.(用a和b表示) a＋b 设＝λ(λ∈R)，则＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ. 因为D，O，B三点共线，所以λ＋λ＝1， 解得λ＝， 所以＝＋＝a＋b. 9.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 方法一　设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 方法二　设＝x，＝y， 则＝＝y， 又 所以解得 所以＝a－b，＝a＋b. 由e1，e2不共线，得无解. 所以解得 11.若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于 A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b C.λa＋b D. a＋b ∵＝λ(λ≠－1)， ∴－＝λ(－)， ∴(1＋λ)＝＋λ， ∴＝＋＝a＋b. 12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于 A.a－b B.a－b C.a＋b D.a＋b ∵点C，D是半圆弧上的两个三等分点， ∴＝，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°， ∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b. 13.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为 ∴＋＋＝0， ∴＝＝， 14.已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝_____. ＝－＝x－y， 由∥，可设＝λ(λ∈R)， 即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ， 所以则＝. 15.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°， 与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______. 则存在λ，μ，使＝λ，＝μ， 即＝＋＝λ＋μ. 在Rt△OCM中，∵||＝2，∠COM＝30°， ∴||＝4，∴＝4， 又||＝||＝2，∴＝2， ∴＝＋＝4＋2， 16.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b， BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，； 因为AN＝AB， 所以＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC，所以＝＝＝b， 所以＝＋＝a＋b. 因为A，O，M三点共线，所以∥， 存在实数λ使＝λ， 则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b. 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋b＝μ＝μa－μb. 由于向量a，b不共线，则解得 所以＝，＝， $$