2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章 平面向量及其应用 2.4.2 平面向量及 运算的坐标表示 课程导入入 新知探究 应用举例 课堂练习 课堂小结 布置作业 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则； 3．能用坐标表示平面向量共线的条件． 平面向量的坐标表示和运算． 平面向量线性运算和坐标表示下的共线关系表达． 2 课程导入入 新知探究 应用举例 课堂练习 课堂小结 布置作业 回顾上节课的内容，说说平面向量基本定理的内容是什么？ 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1 2，使1+2．我们把不共线的向量 ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基，记为｛ ，｝． 若基中的两个向量为互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．（如图所示） 标准正交基的定义 i O x y 3 课程导入 新知探究 应用举例 课堂练习 课堂小结 布置作业 i O x y a P(x，y) 因此， . 我们把(x，y)称为向量a在标准正交基下的坐标．向量a可以表示为a=(x，y)． 如图所示，对于坐标平面内的任意非零向量a均可通过平移至以坐标原点O为起点作 ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使 ． 点的坐标与向量坐标有何区别？ 向量a=(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同． 在平面直角坐标系中，(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)． 平面向量能不能像直角坐标系中的点一样用坐标来表示？ 4 新课导入 新知探究 应用举例 课堂练习 课堂小结 布置作业 平面向量可以用坐标表示，平面向量的运算可以用坐标来表示吗？ 向量的加减法可否用坐标进行运算？ 分步 第1步，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a=x1i+y1j，b= x2i+y2j． 第2步，根据向量的运算律， 可得 a+b=(x1i+ y1j)+(x2i+ y2j)=(x1+ x2)i+(y1+ y2)j， 向量的数乘运算，可以用坐标表示吗？ a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) 即 a+b=(x1+x2，y1+y2)． 同理 a-b=(x1-x2，y1-y2)． 设 即 ，) ． ，) 向量和差坐标运算 数乘向量坐标运算 给出平面向量的起点和终点坐标，怎样求向量的坐标？ 如图所示，设点A (x1，y1)，B(x2，y2)， ． 即 ， 确定向量的坐标表示 5 新课导入 新知探究 应用举例 课堂练习 课堂小结 布置作业 　两平面向量平行能否用坐标表示？ 第1步，在平面直角坐标系中，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b． 若a∥b，则存在实数，使得a； 第2步，在平面直角坐标系中正交分解可得 a=x1i + y1j，b=x2i + y2j，即+（+）． 回顾向量数乘与向量共线的关系，平行向量基本定理是什么？ 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一个实数，使得a． 分步推导 向量共线的坐标表示 于是 ，消去，得． 6 新课导入 新知探究 应用举例 课堂练习 课堂小结 布置作业 前面的三个问题推导出了什么结果？ （2）向量能不能像平面坐标系中点一样给出坐标表示？ 利用平面直角坐标系，通过建立标准正交基，可以实现平面向量的坐标表示． 平面内两个向量和、差、数乘及共线都拥有自己的坐标运算法则． （3）平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？ （4）平面向量平行能否用坐标表示？ 通过这三个问题的探究，可以发现平面内任意向量都能与有序实数对一一对应，同时向量的坐标运算符合实数的运算规律，我们可以利用它求点的坐标，判断向量共线等问题，从而实现形与数的统一． 7 新课导入 新知探究 应用举例 课堂练习 课堂小结 布置作业 和差 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差． 坐标 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 平行 向量ab（b）共线的充要条件是． 数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． 平面向量坐标表示和坐标运算的概括 8 （1）向量 与向量 的坐标相同． （2）两个向量的终点不同，则这两个向量 的坐标一定不同． （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关． （4）向量（2，4）与向量（-4，-6）反向． （5）若a∥b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则必有 ． 新