1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

5.2　余弦函数的图象 与性质再认识 第一章　§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.会用“五点(画图)法”“图象变换法”作余弦函数的图象. 2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值. 3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图象解简单的三角不 等式. 在上节课中，我们知道正弦函数y＝sin x的图象是通过等分单位圆，平移正弦线而得到的.在精确度要求不高时，可以采用“五点法”画图，那么对于余弦函数y＝cos x的图象，是不是也可以用同样的方法得到呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图象与性质. 导语 内容索引 一、余弦函数的图象 二、余弦函数的性质 课时对点练 三、余弦函数单调性的应用 随堂演练 余弦函数的图象 一 问题1　类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y＝cos x的图象. 提示　在区间[0,2π]上取一系列的x值，例如0， ，…，2π列表(如表). 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点， 结合对函数y＝cos x性质的了解，用光滑曲线将 它们顺次连接起来，就可以得到区间[0,2π]上y＝ cos x的图象(如图). 由周期性可知，函数y＝cos x在区间[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象(如图). 问题2　类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y＝cos x的图象有哪五个关键点？ 1.余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线. 2.要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出________________ __________________________五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次 连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象. 知识梳理 10 知识梳理 11 注意点： (1)y＝cos x，x∈[0,2π]上的五点是指图象的最高点、最低点以及与x轴的交点. (2)y＝cos x的图象可由y＝sin x的图象向左平移 个单位长度得到，图象仍然夹在y＝±1之间. 知识梳理 12 例1　用“五点(画图)法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图. 列表： 描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示. 13 作形如y＝acos x＋b，x∈[0,2π]的图象时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤：①列表，取x＝0， ，π， ，2π；②描点；③用光滑曲线顺次连线成图. 反思感悟 14 跟踪训练1　用“五点(画图)法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0,2π]的简图. 描点，连线，如图所示. 15 二 余弦函数的性质 由cos(－x)＝cos x，得余弦函数y＝cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴.观察余弦曲线，探究下面的问题. 问题3　除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何表示？ 提示　y＝cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x＝kπ(k∈Z). 问题4　余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 函数 y＝cos x 定义域 R 图象   最大(小)和值域 当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为1； 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为－1.值域是[－1,1] 知识梳理 18 周期性 是周期函数，2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 奇偶性 偶函数 对称轴 x＝kπ，k∈Z 对称中心 ，k∈Z 知识梳理 19 例2　(1)求f(x)＝ 的定义域. 要使函数有意义，则2cos x－1≥0， 20 (2)求下列函数的值域. ①y＝－cos2x＋cos x； ∵－1≤cos x≤1， 当cos x＝－1时，ymin＝－2. 21 ∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3， 22 求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性. (2)cos x的单调性. (3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定. (4)通过换元转化为二次函数. 反思感悟 23 √ 24 当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6. 三 余弦函数单调性的应用 例3　(1)函数y＝3－2cos x的单调递增区间为____________________. y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)， 得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 27 28 延伸探究　本例(1)改为函数y＝3－2cos(－x)，x∈[－4,4]的单调递增区间为__________________. y＝3－2cos(－x)＝3－2cos x，y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反， 由函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)， 得y＝3－2cos(－x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z). 由[－4,4]∩[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)＝[－4，－π]∪[0，π]， 得函数y＝3－2cos(－x)，x∈[－4,4]的单调递增区间为[－4，－π]，[0，π]. [－4，－π]，[0，π] 29 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小. 反思感悟 30 跟踪训练3　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________________.(用“>”连接) 由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以cos 1>cos 2 >cos 3. cos 1>cos 2>cos 3 31 1.知识清单： (1)五点(画图)法. (2)余弦函数的性质. (3)余弦函数单调性的应用. 2.方法归纳：数形结合、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z，求值域时，忽视cos x本身具有的范围. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.比较大小： (1)cos 15°____cos 35°； ∵0°<15°<35°<90°， 且当0°≤x≤90°时，y＝cos x单调递减， ∴cos 15°>cos 35°. 1 2 3 4 > 1 2 3 4 < 1 2 3 4 4.函数y＝ 的定义域为____________________________. 1 2 3 4 余弦函数y＝cos x的图象如图所示： 课时对点练 五 1.函数y＝－2cos x＋3的值域为 A.[1,5] B.[－5,1] C.[－1,5] D.[－3,1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ 2.在x∈(0,2π)上，满足cos x>sin x的x的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 作出y＝sin x和y＝cos x在(0，2π)上的函数图 象，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由正弦、余弦函数的单调性判断可知选ABC. 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列函数中，最小正周期为2π的是 A.y＝|cos x| B.y＝cos|x| C.y＝|sin x| D.y＝sin|x| √ 由图象知y＝|cos x|与y＝|sin x|的最小正周期为π， y＝sin|x|不是周期函数，y＝cos|x|的最小正周期为2π. 5.已知函数f(x)＝cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 且f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，f(x)为奇函数. 6.(多选)已知函数f(x)＝2cos x＋1，下列结论正确的为 A.函数f(x)的值域为[－1,3] B.函数y＝ 为奇函数 C.函数的一条对称轴为x＝π D.函数的一个对称中心为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为cos x∈[－1,1]，所以f(x)∈[－1,3]，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，因为f(π)＝2cos π＋1＝－1，所以函数的一条对称轴为x＝π，故C正确； 7.函数f(x)＝lg cos x＋ 的定义域为____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.方程x2＝cos x的实数解有_____个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)画出函数的图象； 函数图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； 由图象知这个函数是周期函数， 且最小正周期是2π. (3)求出这个函数的单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都单调递减，那么区间I可以是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.该函数是以π为最小正周期的周期函数 B.当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出f(x)在[0,2π]上的图象如图所示. 由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π， 该函数都取得最小值－1，故AB错误. 故CD正确. 14.若函数f(x)＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x>0时，由cos x>0，且x∈[－2π，2π]， 当x<0时，由cos x<0，且x∈[－2π，2π]， 15.函数f(x)＝3|cos x|在[－π，π]上的单调递增区间为_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)为R上的奇函数， f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(0)≤0成立. ，， x 0 cos x 1 0 － － x π 2π cos x －1 － － 0 1 提示　(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1). (π，－1)，，(2π，1) (0,1)，， 3.根据诱导公式sin＝cos x可知，只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x＋1 3 1 －1 1 3 ∵x∈[0,2π]，∴令x＝0，，π，，2π，列表得： 提示　余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为(k∈Z). ∴cos x≥， ∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的定义域为.  y＝－2＋. ∴当cos x＝时，ymax＝； ∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是. 即≤y≤3. ∴函数y＝的值域为. y＝＝－1. ∴≤≤1， ∴≤≤4，∴≤－1≤3， ②y＝. 跟踪训练2　已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则  b－a的值是 A.4 B.4－2 C.6 D.4＋2 因为函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2， ∴cos π<cos π，即cos<cos. (2)比较cos与cos的大小. cos＝cos＝cos π， cos＝cos＝cos π， ∵π<π<π<2π， 1.函数f(x)＝cos x的最大值为 A. B.1 C. D. 2.函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的单调性是 A.在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B.在，上单调递增，在上单调递减 C.在[π，2π]上单调递增，在[0，π]上单调递减 D.在上单调递增，在，上单调递减 函数y＝－cos x的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). ∵x∈[0,2π]， ∴y＝－cos x在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减. 且y＝cos x在上单调递增， ∴cos<cos. (2)cos_____cos. ∵－<－<－<0， 即cos x≤， ∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函数的定义域是. 要使函数有意义，则－2cos x≥0， A. B. C.∪ D. 根据函数图象可得满足cos x>sin x的x的取值范围为∪. 3.(多选)在区间上，下列函数单调递减的是 A.y＝ B.y＝－ C.y＝－sin x D.y＝－cos x A. B. C.0 D. 当φ＝时，f(x)＝cos＝－sin x，其定义域为R， f  对于B，设g(x)＝f ＝2cos＋1＝－2sin x＋1， 因为g＝－2sin＋1＝3， g＝－2sin ＋1＝－1，g≠－g， 所以g(x)不是奇函数，即函数y＝f 不是奇函数，故B不正确； 对于D，因为f ＝2cos ＋1＝1，所以函数的一个对称中心为，故D正确. ∪∪ 由题意，得x满足不等式组 即作出y＝cos x的图象，如图所示. 由图可得－5≤x<－或－<x<或<x≤5. 所以定义域为∪∪. 从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝； 当cos x＝，即x＝时，ymin＝－. ∴函数的值域为. 9.求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域.  y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－. ∵x∈，∴cos x∈. 10.已知函数y＝cos x＋|cos x|.  y＝cos x＋|cos x|＝ 由图象知函数的单调递增区间为，k∈Z. A. B. C. D. A项，y＝sin x在上单调递增； C项，y＝cos x在上单调递增； D项，y＝cos x，y＝sin x在上单调递增，故选B. 12.已知函数f(x)＝－cos2x＋cos x＋a＋1，a∈R，若对区间上任意x，都有f(x)≤1成立，则实数a的最大值为 A.－ B.0 C.2 D. ∵f(x)≤1在上恒成立， ∴a≤cos2x－cos x＝2－在上恒成立. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴2－≥－， 当且仅当cos x＝， 即x＝时，等号成立，∴a≤－，则实数a的最大值为－. 13.(多选)对于函数f(x)＝下列说法正确的是 C.该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称 D.当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ 当x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时， 由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称， 当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤， ∪∪ 解得0<x<或<x≤2π； 解得－<x<－， 故不等式xf(x)>0的解集为∪∪. ， ∵y＝|cos x|的单调递增区间为(k∈Z)， 与[－π，π]取交集得，. 故函数f(x)＝3|cos x|的单调递增区间为和. 16.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，求角A的取值范围. 得0<cos A≤，解得≤A<. ①当0<A<时，cos A>0. 由f(cos A)≤0＝f ，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ②当<A<π时，cos A<0. ∴由f(cos A)≤0＝f ，得cos A≤－，  f ＝－f ＝0， ∴≤A<π. ③当A＝时，cos A＝0， 综上所述，角A的取值范围是∪. $$