1.5.1.1 正弦函数的图象 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

第1课时 正弦函数的图象 第一章　5.1　正弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点(画图)法”作出简单的正弦曲线. 3.会利用正弦函数图象求定义域. 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲 线”.它表示了漏斗对平衡位置的位 移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情 况.图(2)就是某个简谐运动的图象. 导语 内容索引 一、正弦函数的图象 二、利用正弦函数图象求定义域 课时对点练 三、“五点(画图)法”作正弦函数的图象 随堂演练 正弦函数的图象 一 问题1　我们根据正弦函数的定义，求出x＝0， ，…，2π对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间[0,2π]上的图象吗？ 提示　在区间[0,2π]上取一系列的x值，例如0， ，…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图(1))，列表. 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y＝sin x在区间[0,2π]上的图象(如图(2)). 问题2　由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x，k∈Z，把函数y＝sin x，x∈[0,2π]上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？ 提示　将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象(如图(3)). 1.定义 正弦函数的图象称作 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2.图象 正弦曲线 知识梳理 10 二 利用正弦函数图象求定义域 例1　求函数f(x)＝lg sin x＋ 的定义域. 如图所示. 结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π). 即f(x)的定义域为[－4，－π)∪(0，π). 12 延伸探究　本例条件改为求函数y＝ 的定义域. 13 利用正弦函数图象求定义域 (1)利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解. (2)利用正弦函数图象解形如sin x>a(或<a)的步骤： ①画出直线y＝a，y＝sin x的图象； ②确定sin x＝a时x的值； ③确定sin x>a(或<a)的解集. 反思感悟 15 跟踪训练1　函数y＝ 的定义域为 __________________________________________. 16 为使函数有意义， 由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为 17 三 “五点(画图)法”作正弦函数的图象 问题3　借助单位圆作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0,2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 提示　有，利用特殊角的三角函数值. “五点(画图)法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的步骤 (1)列表 知识梳理 20 (2)描点 画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_______________ _________________________. (3)连线 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图. 知识梳理 21 例2　利用“五点(画图)法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图. 取值列表： x 0   π   2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示. 22 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点(画图)法”是作简图的常用方法. 反思感悟 23 跟踪训练2　用“五点(画图)法”画出函数y＝ ＋sin x，x∈[0,2π]的简图. (1)取值列表如下： (2)描点、连线，如图所示. 24 1.知识清单： (1)正弦函数的图象. (2)函数图象的应用. (3)“五点(画图)法”作图. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：五点的选取. 课堂小结 随堂演练 四 1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是 y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 3.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π,4π]的图象 A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π,4π]的图象只是位置不同，形状相同. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.函数y＝ 的定义域为_______________________. 课时对点练 五 1.(多选)用“五点(画图)法”画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ √ 2.(多选)对于正弦函数的图象，下列四个说法中正确的是 A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.有无数条对称轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 16 由正弦曲线知，A，D正确. 3.函数y＝sin x的图象与函数y＝－sin x的图象关于 A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线y＝x对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 在同一直角坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象(图略)，可知它们关于x轴对称. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列表： x 0   π   2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 观察各图象发现A项符合. 6.函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝ 交点的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)， 7.若存在m，使得sin x＝2m＋1，x∈R，则m的取值范围是________. 因为sin x∈[－1,1]，所以－1≤2m＋1≤1， 故－1≤m≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [－1,0] 16 8.已知函数f(x)＝2sin x＋1，若f(x)的图象过点 ，则m＝_____；若 f(x)<0，则x的取值集合为_____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示. 9.用“五点(画图)法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 列表： 16 描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示. x 0   π   2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象， 如图所示， 观察图象可知，在[0,2π]上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]的图象与直线y＝a有一个交点，则a的值为 A.－1 B.0 C.1 D.－2 √ √ 画出y＝sin x－1的图象. 如图. 依题意a＝0或a＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据图象可知方程有7个根. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数y＝ 的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 4π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数形结合，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ，， ，， x 0 sin x 0 1 x π 2π sin x 0 － － －1 － － 0 由题意，得x满足不等式组 即作出y＝sin x，－4≤x≤4的图象， lg 所以根据图象可知sin x>的解集为. 又x∈R，故该函数的定义域为. 要使函数式有意义，自变量x应满足sin x－>0， 即sin x>， 在同一直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象. 由函数的图象知，sin ＝sin ＝. 需满足即0<sin x≤. (0,0)，，(π，0)，，(2π，0). x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 (0,0)，， (π，0)，，(2π，0) x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ＋sin x － 2.用“五点(画图)法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是 A.0，，，，π B.0，，π，，2π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π，故选B. ，k∈Z 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，即sin x≥. 由y＝sin x在[0,2π]上的图象(图略)可知，≤x≤，又x∈R， 故y＝的定义域为，k∈Z. A. B. C.(π，0) D.(2π，3) 五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.代入计算得B，C是关键点. 4.在[0,2π]上，函数y＝的定义域是 A. B. C. D. 依题意得2sin x－≥0，即sin x≥. 作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝， 如图所示. 由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是，故选B. 可知其与直线y＝有2个交点. 当x＝时，f(x)＝2sin ＋1＝3，∴m＝3.  f(x)<0，即sin x<－， 由图知x的取值集合为. 10.利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的取值范围. 作直线y＝，根据特殊角的正弦值， 可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为和. 当<x≤或≤x<时， 不等式<sin x≤成立. 所以<sin x≤的解集为 . 12.如图所示，函数y＝cos x|tan x|的图象是 当0≤x<时，y＝cos x|tan x|＝sin x； 当<x≤π时，y＝cos x|tan x|＝－sin x； 当π<x<时，y＝cos x|tan x|＝sin x，故其图象为C. 13.方程sin x＝的根的个数是 在同一平面直角坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示. 14.已知函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是 _____________________________________. 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图可得不等式f(x)>的解集为. 2sin x  y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2 围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积， 即S＝×2＝4π. 16.若方程sin x＝在区间上有两个实数根，求a的取值范围. 即－1<a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象 与y＝的图象有两个交点， 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象， 由图象可知，当≤<1， 即若方程sin x＝在区间上有两个实数根， 则a的取值范围为(－1,1－]. $$