1.5.1.2 正弦函数的性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

第2课时 正弦函数的性质 第一章　5.1　正弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.理解、掌握正弦函数的性质. 2.会求简单函数的值域. 3.能利用单调性比较三角函数值的大小. 当我们遇到一个新函数时，它总具有许多基本性质，要直观、全面地了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如值域、单调性、奇偶性、最值等.今天我们就一起来学习正弦函数的性质吧. 导语 内容索引 一、正弦函数的性质 二、正弦函数的周期与奇偶性 课时对点练 三、正弦函数的单调区间 随堂演练 四、利用正弦函数单调性比较大小 五、利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值 正弦函数的性质 一 问题1　请大家认真观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性. 提示　定义域：R；值域：[－1,1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数. 问题2　请大家认真观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 提示　正弦函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形. 问题3　观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 提示　正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间. 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 图象   定义域 R 最大(小)值和值域 当 时，ymax＝1； 当 时，ymin＝－1. 值域是[－1,1] 知识梳理 8 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 单调性 在区间 ，上单调递增； 在区间 ，上单调递减 奇偶性 奇函数，图象关于 对称 对称轴 _________________ 对称中心 ______________ (kπ，0)，k∈Z 原点 知识梳理 9 注意点： (1)y＝sin x的图象夹在y＝±1之间. (2)正弦函数的对称中心是正弦曲线与x轴的交点，对称中心的横坐标即为函数的零点，对称轴方程为x＝kπ＋ ，k∈Z. 知识梳理 10 二 正弦函数的周期与奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期. 12 ∵x∈R，∴定义域关于原点对称， (2)f(x)＝|sin x|. 作出f(x)＝|sin x|的图象，如图. 由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数. 最小正周期为π. 14 (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法. (2)函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性.如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数. 反思感悟 15 跟踪训练1　(1)f(x)＝xsin x是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数 √ ∵x∈R，∴定义域关于原点对称， 又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数. 16 17 所以上述等式成立， 三 正弦函数的单调区间 例2　(1)y＝－3sin x＋1的单调递减区间为________________________； 21 (2)若x∈[0，π]，则y＝－3sin x＋1的单调递减区间为______. 22 (1)结合y＝sin x的图象，熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间. (2)对形如y＝asin x＋b的形式的函数.当a>0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反. 反思感悟 23 跟踪训练2　y＝ 的单调递减区间为________________________. 24 四 利用正弦函数单调性比较大小 例3　比较下列三角函数值的大小： 26 (2)sin 196°与cos 156°. sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在0°≤x≤90°上是单调递增的， ∴sin 16°<sin 66°， ∴－sin 16°>－sin 66°， 即sin 196°>cos 156°. 28 (1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较. (2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为 后，再依据单调性 来进行比较. (3)当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的符号来进行比较. 反思感悟 29 跟踪训练3　比较sin 1，sin 2，sin 3的大小. 所以sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 30 五 利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值 例4　(1)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域； ymax＝－2×(－1)＋1＝3， ymin＝－2×1＋1＝－1， ∴函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1,3]. 32 33 令t＝sin x，则－1≤t≤1， 34 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题. (2)利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b. 反思感悟 35 跟踪训练4　已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为 ，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值. 36 当a＝0时，不符合题意. 37 38 1.知识清单： (1)正弦函数的性质. (2)正弦函数的周期性与奇偶性. (3)正弦函数的单调区间. (4)比较三角函数值的大小. (5)正弦函数的最值(值域). 2.方法归纳：转化与化归、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围. 课堂小结 随堂演练 六 1.y＝2sin x－3，x∈R的单调递减区间为 1 2 3 4 √ 2.(多选)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是 1 2 3 4 √ √ 3.已知函数y＝－3sin x＋2，当x＝_______________时，y有最大值，最大值为_____. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 七 1.函数y＝sin(x＋π)是 A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 令f(x)＝y＝sin(x＋π)＝－sin x，因为f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，所以该函数是周期为2π的奇函数. 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列关系式中正确的是 A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函数的单调性， 得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.函数y＝－sin2x＋sin x＋1的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝－sin2x＋sin x＋1， 令t＝sin x，t∈[－1,1]， √ 7.函数y＝ 的定义域是____________________，单调递减区间是 ____________________. ∵－2sin x≥0，∴sin x≤0， ∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z， 即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [2kπ－π，2kπ]，k∈Z 16 8.若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ±2 16 所以ab＝2. 所以ab＝－2，综上所述，ab＝±2. 9.求函数f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设t＝sin x，则－1≤t≤1，f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)， g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2. 因为g(t)的图象开口向上，对称轴t＝2在区间[－1,1]右侧. 所以g(t)在[－1,1]上是单调递减的， 所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2， 即g(t)∈[2,10]. 所以函数f(x)的值域为[2,10]. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； ∵ymax＝1－a， ∴a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该函数的单调递增区间； 由(1)知，y＝－4sin x＋1， 函数y＝－4sin x＋1单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于 A.0 B.1 C.－1 D.±1 √ 因为f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|， 所以|a|＝0，从而a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.(多选)设函数f(x)＝sin|x|，则f(x) A.是偶函数 B.是周期为2π的周期函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，f(x)为偶函数； 65 14.函数y＝3sin2x－4sin x＋1，x∈ ，当x＝______时，y取最小值， 最小值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为 ，则b－a的最大值与最小值之和为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数y＝sin x的图象，如图所示. 16.设sin x＋sin y＝ ，求M＝sin x＋sin2y－1的最大值与最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵－1≤sin x≤1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为(kπ，0)，k∈Z. x＝＋2kπ，k∈Z x＝＋2kπ，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z x＝＋kπ，k∈Z (1)f(x)＝sin x(x∈R)； ∴f(x)＝sin x的最小正周期是4π. ∵f(－x)＝sin＝－sin x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin x是奇函数. ∵sin＝sin＝sin x， (2)判断等式sin＝sin是否成立.如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？ 理由如下，若是函数y＝sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin＝sin x， sin＝sin ＝sin＝－sin ， 而sin＝－sin ， 但不能说明是函数y＝sin x的周期， 但当x＝0时，sin≠sin x， 所以不是函数y＝sin x的周期. (k∈Z) 当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，  y＝－3sin x＋1单调递减，∴y＝－3sin x＋1的单调递减区间为(k∈Z). 若x∈[0，π].∵(k∈Z)∩[0，π]＝， ∴当x∈[0，π]时，y＝－3sin x＋1的单调递减区间为. sin x＋1 ，k∈Z y＝sin x＋1的单调递减区间为，k∈Z. (1)sin与sin； 且y＝sin x在上是单调递减的， ∴sin >sin ， ∴－sin <－sin ， ∵sin＝－sin ， 即sin<sin. sin＝－sin＝－sin ， 由于<<<， sin 因为1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3， 又0<π－3<1<π－2<，且y＝sin x在上单调递增， 当x∈时， 当x∈时， (2)求使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值. 当t＝－1时，ymin＝－， 此时sin x＝－1，即x∈.  y＝－t2＋t＋＝－2＋2. ∴当t＝时，ymax＝2，此时sin x＝， 即x∈. 若a<0，则解得 ∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1. 若a>0，则 解得 故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，  b＝19－12. A. B. C.，k∈Z D.，k∈Z ∴直线x＝是一条对称轴， 当x＝－时y取最小值， ∴直线x＝－是一条对称轴. A.y轴 B.直线x＝－ C.直线x＝ D.直线x＝π 当x＝时，y取最大值， －＋2kπ，k∈Z 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，(sin x)min＝－1，此时ymax＝5. 4.sin与sin的大小关系为_____________________.(用“>”连接) sin>sin sin＝sin＝sin ， 因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增， 所以sin >sin ，所以sin>sin. sin＝sin＝sin ＝sin＝sin ， 2.当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos的单调递减区间为 A.[－π，0] B.[0，π] C. D.和 由题意可知y＝3cos＝－3sin x，因为正弦函数的单调递增区间为，k∈Z，结合x∈[－π，π]，当k＝0时，符合题意. 则当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos的单调递减区间为. 3.函数y＝2sin x＋1的值域是 A.[1＋，3] B.[1＋，3] C.[1－，1＋] D.[－1,3] 画出函数y＝2sin x＋1的图象如图所示， 当x＝或x＝时，最小值为1＋； 当x＝时，最大值为3. 故所求值域为[1＋，3]. 5.若sin x＝2m＋3，且x∈，则m的取值范围为 A. B. C. D. 因为x∈，所以－≤sin x≤， 因为sin x＝2m＋3，所以－≤2m＋3≤， 解得－≤m≤－. A.2 B. C.1 D.0 y＝－t2＋t＋1＝－2＋， 当t＝时，ymax＝. ，k∈Z ∵y＝与y＝sin x的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为，k∈Z. 当a>0时，得 当a<0时，得 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时， ∴y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，k∈Z. ∵x∈[－π，π]，(k∈Z)∩[－π，π]＝∪. ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，. 12.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于 A.1 B. C.0 D.－ f ＝f ＝f ＝sin ＝. C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 由图可知，f(x)在上单调递减，故A，C正确. － 令t＝sin x，x∈，∴t∈， y＝3t2－4t＋1＝32－. ∵y＝32－在t∈上单调递减， ∴当t＝，即x＝时， ymin＝3×2－4×＋1＝－. 由图可知，b－a的最大值为－＝， b－a的最小值为－＝. 所以最大值与最小值之和为＋＝2π. ∵sin x＋sin y＝， ∴sin x＝－sin y. ∴ 解得－≤sin y≤1. 又∵M＝sin2y－sin y－＝2－， ∴当sin y＝时，sin x＝－，Mmin＝－； 当sin y＝－时，sin x＝1，Mmax＝. $$