1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.2　单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质. 2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题. 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”.因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具.这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质. 导语 内容索引 一、正弦、余弦函数的性质 二、正弦、余弦函数的定义域 课时对点练 三、正弦、余弦函数的单调性 随堂演练 四、正弦、余弦函数的值域与最值 正弦、余弦函数的性质 一   正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 ________ 最小值 当x＝ ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝ ，k∈Z时，ymin＝－1 最大值 当x＝ ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝ ，k∈Z时，ymax＝1 [－1,1] (2k＋1)π 2kπ 知识梳理 6 周期性 周期函数，最小正周期为____ 单调性 在区间 ，k∈Z上单调递增； 在区间 ，k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减； 在区间[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增 2π 知识梳理 7 注意点： (1)终边相同的角的正弦、余弦函数值相等，即sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，k∈Z，α∈R. (2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但他们都有无数个单调区间. 知识梳理 8 二 正弦、余弦函数的定义域 例1　求下列函数的定义域. 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 10 则不等式组的解集如图(阴影部分)所示， 11 延伸探究　将本例(1)改为求y＝ 的定义域. 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 12 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集. 反思感悟 13 跟踪训练1　求函数y＝ 的定义域. 则必须满足2sin x＋1≥0， 图中阴影部分即为所求， 14 三 正弦、余弦函数的单调性 例2　函数y＝cos x的一个单调递增区间为 √ ∵y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z， 令k＝1得x∈[π，2π]，即为y＝cos x的一个单调递增区间，而(π，2π) ⊆[ π，2π]，故选D. 16 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接. 反思感悟 17 跟踪训练2　求下列函数的单调区间. (1)y＝sin x，x∈[－π，π]； 18 (2)y＝cos x，x∈[－π，π]. y＝cos x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为[－π，0]，单调递减区间为[0，π]. 19 四 正弦、余弦函数的值域与最值 例3　(1)求函数y＝ 的值域. ∴当x＝0时，ymax＝1， 21 (2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值. 当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2， ∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1； 当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2， ∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 22 (1)求正弦、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图象结合正弦、余弦函数的单调性进行分析. (2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论. 反思感悟 23 跟踪训练3　求函数y＝2＋cos x， 的值域. 24 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的定义域. (2)正弦、余弦函数的值域与最值. (3)正弦、余弦函数的单调性. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误. 课堂小结 随堂演练 五 1.sin 390°的值为 1 2 3 4 √ 2.函数y＝cos x，x∈ 的单调递减区间为________. 1 2 3 4 [0，π] 3.不等式 ≥0的解集为____________________________. 结合单位圆与三角函数的图象与性质， 1 2 3 4 1 2 3 4 [－2,1] ∴y∈[－2,1]， 课时对点练 六 1.函数f(x)＝2sin x的最小正周期为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 ∵sin(x＋2π)＝sin x， ∴f(x＋2π)＝f(x)， ∴函数f(x)＝2sin x的最小正周期为2π. 16 √ 2.函数y＝2sin x的单调递减区间是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)下列说法正确的是 A.y＝sin x在 上单调递增 B.y＝cos x的值域为[－1,1] C.y＝2sin x的周期为2π D.y＝cos x的单调递增区间为[0，π] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.满足sin α－cos α>0的α的取值范围是__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可解. 9.已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a，b的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a>0时， 16 ∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知f(x)＝－sin x. (1)试写出f(x)的单调区间； ∵f(x)＝－sin x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.c>a>b B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 12.(多选)下列说法正确的是 A.y＝|sin x|的定义域为R B.y＝3sin x＋1的最小值为1 C.y＝－sin x为周期函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t＝sin x， 15.(多选)定义域f(x)＝cos(sin x)为“正余弦”函数，则下列说法中正确的是 A.f(x)的定义域为R B.2π是f(x)的一个周期 C.f(x)在 上单调递减 D.f(x)的最小值为－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，令t＝sin x.∵x∈R，则t∈[－1,1]， ∴y＝cos t有意义，即f(x)的定义域为R，故A正确； 对于B，f(x＋2π)＝cos[sin(x＋2π)]＝cos(sin x)＝f(x)，即2π是f(x)的一个周期，故B正确； 对于D，由t＝sin x∈[－1,1]，而y＝cos t在[－1,0]上为增函数，[0,1]上为减函数，所以f(x)的最小值为cos 1(或cos(－1))不是－1，故D错误. (1)判定函数f(x)是否为周期函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)的定义域是R. 所以f(x)是周期函数. (2)求函数f(x)的单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦函数的基本性质， 函数y＝sin x单调递增， 而此时函数h(x)＝2－sin x单调递减， 从而可知此时函数f(x)单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2kπ－ 2kπ＋ 即. (1)y＝； 自变量x应满足2sin x－≥0， 即sin x≥. ∴. (2)y＝lg＋. 由题意知，自变量x应满足不等式组 即 自变量x应满足－2sin x≥0，即sin x≤， 即. 即sin x≥－， 则x的取值范围是，k∈Z . 要使有意义， A. B.(0，π) C. D.(π，2π)  y＝sin x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为，单调递减区间为，. cos x ∵y＝cos x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当x＝时，ymin＝cos ＝－， ∴y＝cos x的值域是. 所以函数y＝2＋cos x，x∈的值域为.  x∈ 由单位圆，可知当x∈时，cos x∈， 所以2＋cos x∈， A. B. C. D.－ sin 390°＝sin(30°＋360°)＝sin 30°＝. 由sin x－1≥0得， sin x≥. 可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. sin x－1 由x∈， 得sin x∈， ∴y＝－2sin x，x∈的值域为[－2,1]. 4.函数y＝－2sin x，x∈的值域为________. A.2π B. C.π D. A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 3.函数y＝lg的定义域为 A. B.，k∈Z C.，k∈Z D.R ∵cos x－>0，∴cos x>， ∴2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝lg的定义域为，k∈Z. A.ymax＝3，x＝ B.ymax＝1，x＝2kπ＋(k∈Z) C.ymax＝3，x＝2kπ－(k∈Z) D.ymax＝3，x＝2kπ＋(k∈Z) 由函数性质得ymax＝3，此时sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z. 6.(多选)函数y＝sin x在区间上的单调递增区间和最大值分别为 A. B. C.1 D. 由单位圆中作出角，的终边，如图所示. 则y＝sin x的单调递增区间为，且最大值 为1，故选AC. 7.y＝3sin x，x∈的值域为____________. 借助单位圆可知，函数f(x)＝sin x，x∈在x＝处取得最大值1， 在x＝－和x＝处同时取得最小值－， 即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3. 解得 当a<0时， 解得 根据正弦函数y＝sin x的单调性可知，f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 单调递增区间为(k∈Z). ∵f(x)在上单调递减， ∴⊆， (2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围. 即－<a≤. ∴a的取值范围是. 11.已知a＝cos ，b＝sin ，c＝0.3－2，则 因为1>a＝cos >b＝sin >0，c＝0.3－2＝>1，所以c>a>b. D.y＝sin x－1的单调递增区间为(k∈Z) 对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为，k∈Z，故BD错误，AC正确. 13.已知f(x)＝cos，x∈Z，则f(x)的值域为 A. B. C. D. 14.若≤x≤，则函数y＝sin2x－sin x＋1的最小值为_______. ∵x∈，结合单位圆知t∈， ∴y＝t2－t＋1＝2＋，t∈， ∴当t＝时，ymin＝－＋1＝. 对于C，t＝sin x在上单调递增，且t∈[0,1]，而y＝cos t在t∈[0,1]上单调递减，即f(x)在上单调递减，故C正确； 16.已知函数f(x)＝. 因为f(x＋2π)＝＝＝f(x)， 可知在区间(k∈Z)上， 故可知函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 设t＝sin x， 故f(x)的值域为. (3)当x∈时，求f(x)的值域. 则t∈， 所以1≤2－t<，则<≤1. $$