广东省茂名市高州市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

高州市2024~2025学年度第一学期期末质量监测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字 笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设直线l:x一√3y十8=0的倾斜角为a,则a= A.30° B.60° C.1209 D.150 2.抛物线x2=4y的准线方程为 A.x=1 B.x=-1 C.y=1 D.y=-1 B.已知数列{a中，a=1,a2子，若十，=2m>1,且n∈N,则ao月 dn+1 an-1 an A司 c号 D.17 .已知点F,F是椭圆C:子十1的左、右焦点，若过焦点F的直线交椭圆0 于A,B两点，则△AF2B的周长为 A.6 B.4 C.4√3 D.8 5.已知圆C1:(x+2)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-1)=9,则圆C,与圆C2的 公切线的条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 【高二数学第1页（共4页）】 6.如图，在直三棱柱ABC-A:B,C1中，△ABC是等边三角形，1， AA1=√2，AB=2,则点C到直线AB1的距离为 A.S B.②3 3 D.15 3 7.如图，过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线l(斜率为正)交 抛物线于点M,N两点（其中点M在第一象限），交其准线于点 P若 =3,MF=6,则F到抛物线的淮线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 8.将正整数n分解为两个正整数k1,k2的积，即n=k1k2,当k1,k2两数差的绝对值 最小时，我们称其为最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即为12的 最优分解，当k1,k2是n的最优分解时，定义f(n)=k1一k2,则数列{f(3")}的 前2025项的和为 A.31013-2 B.32025-2 C.31o13-1 D.32025-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.空间直角坐标系O一xy≈中，已知A(1,2,一2)，B(0,1,1),下列结论正确的有 A.AB=(-1,-1,3) B.点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，一2,2) C.若m=(2,1,1),则m⊥AB D.若n=(a,-2,6),n∥BA,则a=-2 1一，则 10.已知数列{an}的前n项和为Sma=2,a+1=1-4n Aa=号 B.a5>0 C.a2024=-1 D.S37=21 11.过原点的直线1与圆M:x2+y2+2x-2y一16=0交于A,B两点，且1不经过 点M,则 A.弦AB长的最小值为8 B.△MAB面积的最大值为4√2 C.圆M上一定存在4个点到l的距离为2√② D.A,B两点处圆的切线的交点位于直线x一y一16=0上 【高二数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.焦点在y轴上的椭圆x+片-1的离心率为则m值为 13.记Sm为等比数列{am}的前n项和.若S6=9S3,则{am}的公比为 14.已知0为坐标原点，B(0,3),且动点P(,为)在双曲线x2-号=1的右支上，动 3 点Q(m,n)满足|QO=2|QB|,则√(x-m)2+(%-n)z+√+后+4.x+4的 最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤. 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{am}的前n项和Sm满足S3=一3，S,=一21. (1)求{am}的通项公式； (2)6=一a,十1，求数列6b的前n项和T b.b+2 16.(本小题满分15分) 已知圆C过两点A(3,2),B(1,4),且圆心C在直线2x+y-10=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若过圆心C的直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程. 【高二数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1BCD1中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1,AA1= √2AB=2,点P是棱DD1上的一点，且DP=2PD1. (1)求证：四边形ABCD为正方形； (2)求直线AD1与平面PAC所成角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C号+芳=1a>>0)的左，有焦点分别为F,F,上顶点为点A,若 △AF,F2是面积为4√3的等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知M,N是椭圆C上的两点，且|MN|=43,求使△OMN的面积最大时 直线MN的方程(O为坐标原点). 19.(本小题满分17分) 已知数列(a,,a1=2,a,=2-1(m≥2)，S。为数列6，)的前n项和，且S.= an-1 2bm-1(n∈N). (1)令c,=1 an-11 (i)求证：数列{cm}为等差数列，并求数列{am}的通项公式； (i)求数列{bn·cm}的前n项和Am: (2)设数列{nam十bn}的前n项和Tm,对Vn∈N,(入十1)·2"≥Tm+1恒成立， 求实数入的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】高州市2024~2025学年度第一学期期末质量监测·高二数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D B C B 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解折】因为直线1：一y十8=0的斜率为女=气，由斜率和领斜角的关系可得ma=。 =号，又0<a<180,a =30°.故选A. 2.【答案】D 【解析】因为抛物线r=4y白？=2py,所以p=2,因为准线方程为y=一号，所以准线方程为y=-1,放 选D. 3.【答案】B 【得折士十士=忌又-1日号数列公}是公差为号的等装数列“品=1十0-》×号 a -号aw后放选B 4.【答案】D 【解析】根据椭圆方程可得a2=4,则a=2,由椭圆的定义得，AF,|+AF:=2a, |BF|+|BF,|=2a,所以△ABF:的周长为|AF|+|BF|+|AB= |AF:|+|AF1|+BF|+BF,=4a=8.故选D. 5.【答案】B 【解析】圆C1:(x+2)2+y=4的圆心为C(-2,0),半径r=2,圆C:(x一2)+(y-1)=9的圆心为 C2(2,1),半径r=3,所以|CC2|=√(-2-2)+(0-1)产=√17，则1n1-2<|CC|<r1十r2,所以圆C 与圆C相交，所以圆C与圆C2的公切线的条数为2.故选B. 6.【答案】C 【解析】取AC的中点O,则BO⊥AC,BO=√，建立如图所示的空间直角坐标系 0-xy,所以A(0,-1,0),B(W3,02),C(0,1,0),所以AB=(√3,1,2)，C= (0,一2,0)，所以Ci在A上的投影的长度为Ci,AB-2一 6 AB √6 3 故点C到直线AB:的距离为d=√AC-(停) 故选C =30 7.【答案】B 【解析】如图，分别过点M,N作准线的垂线，垂足分别为点A,B,设INF|=a,所以|PN =a,由范物线的定义得1NB=a,所以m∠NPB祭-品=合 在R1△PMA中，AM=6,MP=6+4a,又因为sin∠NPB=sin∠MPA=A 61 6+4a3 【高二数学参考答案第1页（共6页）】 解得a=3,又记准线与对陈结交于点C,因为血∠NPB=m∠FPC-=部-品-台=号：解得=4，即F 到抛物线的准线的距离为4.故选B. 8.【答案】C 【解析】当n=2k(k∈N)时，3"=3=3×3，所以f(3)=∫(3)=|3-3|=0，当n=2k-1 (k∈N)时，3”=3-1=3-1×3，则f(3")=f(34-1)=|31一3|=2×31，故数列{f(3")}的前 2025项的和为2X(3+3+3+…+3m)=2×1=3m-1.放选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【解析】对于A,由题意AB=(0,1,1)-(1,2,-2)=(-1,一1,3)，A正确： 对于B,关于xOy平面对称的点的x,y坐标相同，心坐标相反，因此点A关于Oy平面对称的点的坐标为 (1,2,2),B错误： 对于C,若m=(2,1,1),则m·AB=-2-1十3=0，所以m⊥A方，C正确： 对于D,若n=(a,-2.6)且n/Bi.则号-二号-号，解得a=-2,D正确，放选ACD. 10.【答案】AC 【解析】因为a=2,a+i一1一a。' 所以a=-1a,=2a=2,a=一1<0，故A正确，B错误： 所以数列{a.}是以3为周期的周期数列，则au24一a×64+2=a2=一1，故C正确： S,=a十a:十a,十…+an=12(a+a+a)十am=12×(2-1+号)+2=20，故D错误.故选AC. 11.【答案】ABD 【解析】对A,x2+y2+2.x一2y一16=0变形为(x+1)2+(y一1)2=18， 圆心M为(-1,1)，半径r=32, 因为(0十1)2十(0一1)<18，故原点O在圆内， 故当弦AB与直线MO垂直时，弦AB长取得最小值， 其中|M0=√1+1=√2，故|AB=2√P-MOF=2×√/18-2=8，A正确： 对B,由三角形面积公式得：S△aw=2MA|·MB|sin∠AMB=9sin∠AMB,设C是AB中点，故MC⊥ AB,当C点与原点重合，弦长AB最短，∠AMB取得最小值，此时∠AMC=∠AMO=0,cos0=OM=, R 3 放co∠AMB=2os0-1=-号<0，此时sin∠AMB=√-（一舌）-4g号，由os∠AMB= 求得∠AMB取得最小值时为钝角，所以∠AMB始终为钝角，因为y=sir在（乏，π）上单调递减，所以当 sin∠AMB=4时，面积取得最大值，最大值为9sin∠AMB=42,B正确： 对C,当弦AB与直线MO垂直时，圆心M到直线1的距离为|MO=√1+I=√2，由于半径为3√2，所以 在直线1的左上方有2个点到直线1的距离为2√2，在直线1的右下方，只有1个点到直线1的距离为22， 此时圆M上存在3个点到l的距离为2W2,C错误： 对D,设P(s,1),则M,A,B,P四点共圆，且MP为直径，其中线段MP的中点坐标 为(，史），即圆心坐标为(，），半径为号√(+1+(1)，故 MAB.P四点所在圆的方程为：(-号)广+(-空)=}×[(+1)+ 【高二数学参考答案第2页（共6页）】 (1-1)2],化简得：x2-(￥-1)x十y2-(1+1)y-s+1=0①， x2+y2+2x-2y-16=0②， ①-②得：-(s十1)x+(1-1)y-x十t+16=0, 则直线AB的方程为一(s+1)x+(1一t)y一s+t+16=0. 又因为直线AB过原点，将原点代入得：一十1+16=0，故A,B两点处圆的切线的交点位于直线x一y一16 =0上，D正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】4 【解折们由+法=1，放离心率为-复，解得m=4 13.【答案】2 【解析】若q=1. 则由S,=9S得6a1=9·3a1,则a1=0,不合题意. 所以q≠1. 当9≠1时，因为S=9S,所以1二9)=9·a1-) 1-4 1-g 即(1-g)=9·(1-g),即(1+g)(1-g)=9·(1-q),即(1+g)=9, 解得q=2. 14.【答案】25 【解析】因为Q(m,n),|QO1=2QB, 所以√/(m-0)+(n-0)2=2√(m-0)+(n-3),即m十2-8n+12=0, 即m2+(n-4)2=4, 所以Q的运动轨迹为以D(0,4)为圆心，半径为2的圆， 因为动点P()在双曲线产-芳=1的右支上， 所以|PF|-|PF2|=2,即|PF|=2+|PF2|, 因为√(x。-m)+(-n)十√6十+4x+4=√(xn-m)十(%-n)+√(x,+2)十， 最小值几何意义为点P到圆上点Q与到（一2,0）距离和的最小值， 又因为F(-2,0),F2(2,0) 所以(x,一m)+(一)了+√6+%+4.x+4表示为|PQ+|PF,|最小， 即|PQ|+|PF:I=|PQ|+|PF:|+2最小， 所以当F2,P,Q,D四点共线时符合题意， 即|PQ|+|PF|+2=|PD|-2+|PF2|+2=|PD|+|PF2|=|DF|=W(0-2)+(4-0)F=25, 所以√(x一m)+(一n)+√品十始+4.x0十4的最小值为2√5， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】(1)a,=-n+1(2)T,=3 2n+3 42(n+1)(n+2) S=3a1+3d=-3 a1=0 【解析】(1)设等差数列{a.的公差为d,则 解得 ……4分 S,=7a1+21d=-21 d=-1 所以d=@1十(n一1)d=一n十1：……………………6分 1 ……………9分 【高二数学参考答案第3页（共6页）】 所以T=[1-含)+(3-)+(3-吉)++（片）+（日本2）] 2n+3 ……13分 16.【答案】(1)(x-3)2+(y-4)2=4(2)x+y-7=0或4x-3y=0 【解折I1调为圆C过两点A(3,2》,B1,.所以C在线段AB的中垂线上，又w=吕号-1.线段AB 的中点坐标为(2,3)，所以线段AB的中垂线的方程为y-3=x-2,即x一y十1=0，又圆心C在直线2x十y x-y+1=0 -10=0上，由 解得x=3,y=4,即C(3,4),………4分 2x+y-10=0 所以CA=2,所以圆C的标准方程为(x一3)2十（y4)2=4;………7分 (2)显然直线1的斜率存在，设直线1的方程为y一4=k(x一3)，令x=0,解得y=4一3k,令y=0,解得x=3 一冬，又过圆心C的直线1在x轴y轴上的截距相等，所以3一专=4一3动，…11分 解得及=-1或=亭，所以直线1的方程为x十y-7=0或4r-3y=0.…15分 1,【答案11详见解析（2 【解析】(I)连接DB,如图所示，在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，BB,⊥平面ABCD,又ACC平面ABCD, 所以BB⊥AC,…………1分 又AC⊥DB,BB,∩DB,=B,,BB,,DB,C平面BDB,所以AC⊥平面 BDB.................. ………4分 又BDC平面BDB,所以AC⊥BD,又四边形ABCD是矩形，所以四边形 ABCD为正方形：…………6分 (2)以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在的直线分别为x轴，y轴，e轴，建 立空间直角坐标系，如图所示，所以A(W2,0,0),C(02,0).D(0,0,2),x P(00,专)，所以Pi=(2,0,-),元=(0wE,-专），Ad (一√2,0,2），… ……9分 n…pi=2x-专=0 设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),所以 令x=3,解得x=2V2,y=2√2， n.P-区y-子=0 所以平面PAC的一个法向量为n=(2√2,2√2,3)，…… ……12分 设直线AD,与平面PAC所成角的大小为0， 所以sin0=|cos(n,AD)1= n·AD=1-V2×22+0×22+2×3 /6 15 ,即直线AD,与平面PAC nAD √6×5 所成角的正孩值为。 4…15分 18.【答案1后+荒=1(2y=8或y=-5 bc=45 【解析】(1)由△AFF是面积为4V3的等边三角形，得 ………2分 b=√3c 【高二数学参考答案第4页（共6页）】 所以c=2,b=23,从而a=4,… …4分 C的标准方程为6干长…… (2)由(1)知，当MN⊥x轴时，|MN=4V3,则MN为椭圆C的短轴，故有M,V,O三点共线，不合题意. ………8分 所以直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx十m,点M(·必，)，点N(x2,2),联立方程组 后+ ,消去y,得(4k2+3).x2+8km.x+4m2-48=0, y=kx十m 一8km 所以有十x=十3=级 4k2+3· 11分 则1MN=V中R√+)-4西=中E,4516k-m+亚=45. 4k+3 即中·+卫=1，化简得m=4中 4k2+3 12分 因为+1>≥1，所以有3≤m<4且十=4-m. ………13分 原点O到直线MN的距离为d=m,△OMN的面积S=MNd=2V3d, √+T 所以当d最大时，△O八MN的面积最大，…15分 因为==m4-m)=4-(m-2,面3<m<4 所以当m2=3时，d°取最大值为3，△OMN面积的最大值S=2√3d=6. ……16分 k=0 把m=3代人有=4一m,得及=0，所以有 m=土√3 即直线MN的方程为y=√3或y=一√3。……………17分 18.【答案1D0证明见解析a,=1+片(A.=(a-)·2+1(2[,+)】 n 【解析11)m≥2时6-61a.白a1可2-工-1 1 1 1 a。-1-1 1- as-1 a-a,---l 所以，数列{c}为等差数列，且首项为c= a-1,公差为1，…2分 故马=6=1+n-1=,放a,=1+1。 …4分 (i)当n=1时，b=S1=2b1一1，可得b=1,……………………5分 当n≥2时，由Sw=2b一1可得S。-1=2b。-1一1，…………6分 上述两个等式作差可得b.=2hn一2b-1,即b,=2b。1,……7分 所以，数列{6.}为等比数列，且其首项为1，公比为2，则b=1X2-1=2一1.……8分 所以，bnCn=刀…21，………9分 A.=1·2°+2·2十3·22十…十n·2,① 【高二数学参考答案第5页（共6页）】 2A.=1·2+2·22+…+(n-1)·2-1+n·2",②@ 0-⊙得-A=2+2+2++21-…20=号-0…2=1-)…2-1 因此，An=(-1)…20十1.………………11分 (2)因为a。十bn=n十1十2一·， 所以，T.=(2+2”)+(3十2)+(4+2)+…+[(n十1)+21] =[2+3+4+…+(n+1)]+(2+2+22+…+2"-1) 刀（2汁叶1+二号mn十82十2”1……………………………13分 2 2 Yn∈N,(a+1)·2≥T+1恒成立，即(a+1)·2≥m3）+2. 2 所以，≥”(n+3) 21 …………14分 令=32则) t≥。八，即 n(m+32≥m-1）(n+ 20*1 2 由 、解得了≤≤T+山 ……16分 tw≥tw+1 n(n+3)(n+1)(n+4 2 2 2+1 2+2 因为n∈N·,所以，n=2, 故数列私}中，最大，所以，A≥=三 因此，实数x的取值范围是[？，十©人 ………17分 【高二数学参考答案第6页（共6页）】