专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 11 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（23-24下·上海·七年级统考期末）如图，AB//CD，则 例2．（23-24下·河南郑州·七年级校联考阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（    ）    A． B． C． D． 例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．    例5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ． 例6．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示） 例7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 例8．（2023下·上海·七年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 例9．（2024上·江西·九年级校联考期中）直线，点M、N分别在直线上． (1)如图1，的数量关系为：　　； (2)如图2，直线与分别交于点E、F，连接，的平分线交于点H． ①当，时，请判断与的数量关系，并说明理由；②如图3，当保持并向左平移，在平移的过程中猜想、与的数量关系，请直接写出结论． 1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，，若，，则的度数为(    )    A． B． C． D． 2．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论： ①；②；③平分；④为定值； 其中结论正确的有（    ）    A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 4．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    5．（2023下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 6．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是 ．    7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是 ． 8．（2023上·浙江金华·七年级校考期中）如图，，，则 ．    9．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时， （填“增大”或“减小”） 度． 10．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则 °．    11．（2023下·上海宝山·七年级校考期中）如图，点P在上，已知，，请说明的理由．    解：因为（    ）， （    ），所以（    ）， 又因为（    ），得（    ）， 即____________，所以（    ），则（    ）． 12．（2025七年级下·广东·专题练习）如图，，求的度数． 13．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 14．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，，垂足为点，，.试判断和之间的位置关系，并说明理由； （2）如图2，，，求证：． 15．（2023下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知：如图，已知，，求证：(1)(2)    16．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）    (1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数； (2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系； (3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：． 17．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：； (3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系．    18．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出 （1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________． （2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．    19．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示） 20．（2024下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 11 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（23-24下·上海·七年级统考期末）如图，AB//CD，则 【答案】40° 【分析】首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数． 【详解】解：过点作，，， ，，．故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法． 例2．（23-24下·河南郑州·七年级校联考阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求得的度数，再根据，得到的度数，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 例3．（2023下·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，，，则与满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，于是得到结论． 【详解】解：过C作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴．故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 例4．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．    【答案】 【分析】过作，可得，可得出两对内错角相等，由与分别为角平平分线，利用角平分线定义得到两对角相等，再由与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两对角互补，利用等式的性质求出的度数，即可求出的度数；此类推即可确定出的度数． 【详解】解：如图，过作，可得，，，    、分别为与的平分线，，， ，，即， ，则； 、的平分线相交于点，，， ，即， ，即， ， 归纳总结得：．故答案为：，． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线定义，属于探究型试题，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 例5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ． 【答案】/度 【分析】首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． 【详解】解：如图，设，，    ，与的平分线交于点， ，，，， 过点作，过点作，，， ，，，， ，，的余角等于的补角， ，解得：，，故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 例6．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示） 【答案】 【分析】过点O作，过点M作，过点，则，由平行线的性质推出，同理得，由此推出，再由角平分线的定义得到，进一步推出，由此即可得到答案；同理求出当，，时，的值即可． 【详解】解：如图所示，过点O作，过点M作，过点， ∵，∴，∴， ∵，∴， 同理可证， ∴； ∵，∴，∴， ∵分别是的角平分线，∴， ∵，，∴， ∴； ； 同理当时，可得，， ∵，， ∴，故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵，， 平分，平分 ，， ，， ，， ，故答案为：． 例8．（2023下·上海·七年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系． 【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB， ∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD． ∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°． （2）如图，过点G作GF∥AB ∵AB∥GF，∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF． ∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°． （3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD． ∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD． ∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键． 例9．（2024上·江西·九年级校联考期中）直线，点M、N分别在直线上． (1)如图1，的数量关系为：　　； (2)如图2，直线与分别交于点E、F，连接，的平分线交于点H． ①当，时，请判断与的数量关系，并说明理由；②如图3，当保持并向左平移，在平移的过程中猜想、与的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2)①，见解析；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1中，过点P作．利用平行线的性质证明即可； （2）①利用平行线的性质角平分线的定义证明即可；②分如图中，当点P在的右侧时；如图中，当点P值的左侧时，两种情况，利用平行线的性质角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，过点P作． ∴，∴，， ∴， ∴．故答案为：； （2）①解：，理由如下：如图2， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：； ②解：由题意知，分P值的右侧，P值的左侧，两种情况求解： 如图中，当点P在MN的右侧时， ∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． 如图中，当点P值的左侧时， ∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴． 1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，，若，，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作，利用两直线平行内错角相等推出，利用平行公理的推论推出，从而推出，从而得到． 【详解】解：过点E作，    ∵，即∴     又∵，，∴∴， ∴故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质和平行公理的推论等知识，掌握此类问题(拐点问题)辅助线的画法是解题的关键． 2．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果． 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴， ∴，∴， 过点C作，则有，    同理，∵和分别平分和， ∴，∴，， 即，解得：，故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键． 3．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论： ①；②；③平分；④为定值； 其中结论正确的有（    ）    A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】由，，可知，则，由，可得，则，，可证，可判断①的正误；由，可得，由，可得，可判断②的正误；由平分交于点E，可得，由，，可得，则平分，可判定③的正误；由和的平分线交于点F，可得，，由，，，可得，，根据，为定值，可判断④的正误． 【详解】解：∵，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，①正确，故符合要求； ∵，∴， 又∵，∴，②错误，故不符合要求； ∵平分交于点E，∴， ∵，，∴， ∴平分；③正确，故符合要求；∵和的平分线交于点F， ∴，， ∵，，， ∴，∴， ∴，为定值；④正确，故符合要求；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 4．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    【答案】 【分析】作，则，根据平行线的性质可得，结合角平分线定义可得，再根据推出，，即可得出． 【详解】解：如图，作， ，，，， ，，， 和的平分线相交于点P．，， ，， ，，， ，即．故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 5．（2023下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过点作，由得，从而得到，，最后根据计算即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示， ， ，，，， ，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是 ．    【答案】/度 【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等，即可求出答案． 【详解】解：过点作，如图所示：    ，，，， ．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键． 7．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是 ． 【答案】38° 【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数． 【详解】如图，过点B作BD∥a，∴∠ABD=∠1=22°， ∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．故答案为：38°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 8．（2023上·浙江金华·七年级校考期中）如图，，，则 ．    【答案】/54度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点P作直线，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作直线，    ∵，∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为： 9．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知，，当β增大时， （填“增大”或“减小”） 度． 【答案】 增大 5 【分析】作，推出，得到，，推出，即，据此即可求解． 【详解】解：作，如图， ∵，∴，∴，， ∵，， ∴，∴，∴当β增大时，增大5度．故答案为：增大，5． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，推出是解题的关键． 10．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，直线，，，，则 °．    【答案】75 【分析】由可知，又由，由平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，再由计算即可． 【详解】解：，，，， ，，．故答案为：75． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定的综合运用，解题关键是据图形合理利用平行线的性质和判定定理． 11．（2023下·上海宝山·七年级校考期中）如图，点P在上，已知，，请说明的理由．    解：因为（    ）， （    ）， 所以（    ）， 又因为（    ）， 得（    ）， 即____________， 所以（    ）， 则（    ）． 【答案】已知；平角的定义；同角的补角相等；已知；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：因为（已知）， （平角的定义）， 所以（同角的补角相等）， 又因为（已知）， 得（等式的性质）， 即， 所以（内错角相等，两直线平行）， 则（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理． 12．（2025七年级下·广东·专题练习）如图，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过，点G，F，E作，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，分别过点G，F，E作． ∵，∴． ∴． ∵，∴． ∵，∴． ∴． ∴，∴． 13．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵，，，， ，故答案为：80； （2）解：，理由如下：如图2，过作， ∵，，，， ， 过作，∵，∴， ，，， ，与的角平分线相交于点， ，； （3）如图3，过作，∵，∴，∴，， ∴，过作， ∵，∴，，， ，， ∵与的角平分线相交于点K，∴，， ∴， ∴，∴． 14．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，，垂足为点，，.试判断和之间的位置关系，并说明理由； （2）如图2，，，求证：． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用垂直定义及平行线的判定得到，最后利用平行公理即可解答；（2）根据平行线的性质得到，再利用平行线的判定即可得到结论． 【详解】（1），理由如下：过点作， ，，，∴，， ，，， ，； （2）连接，，， ，， 即，． 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的判定与性质，余角的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 15．（2023下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知：如图，已知，，求证：(1)(2)    【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据，得到，由平行线的性质即可得到； （2）由（1）知，再根据，得到，进而得到，由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）； （2）证明：由（1）知， ，， ，（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质，灵活运用定理进行推理，是解此题的关键． 16．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）    (1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数； (2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系； (3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【分析】（1）在左边作，可证得，求解即可； （2）在左边作，根据（1）的思路可证得； （3）在左边作，利用（2）结论，再推理即可． 【详解】（1）在左边作，则   ，  ，  ， ∵，∴，∴, ∵，∴， ∵与互余，∴ （2）在左边作，则 ∵，∴，∴, ∵，∴; （3）在左边作，则，， ∵，∴，∴, ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵的平分线，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和，掌握平行线的性质定理是解题的关键． 17．（2023上·绵阳市·八年级专题练习）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______；(2)求证：；    (3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系． 【答案】(1)(2)详见解析(3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用、三角形的外角的性质： （1）依据题意，根据三角形的外角的性质，，又，故可得解． （2）过点B作，由于，从而，则，再结合，，又，可得，进而可以得解． （3）过点B作，由（2）可得，．设，，则；由，从而；又平分，可得，故，进而可得与的关系． 需要熟练掌握角度之间的转化，并学会借助方程的思想来解题． 【详解】（1）解：由题意，，．，． 又，．故答案为：． （2）证明：如图1，过点B作，       又，，． ，．． ，． ，． 又．； （3）如图2，过点B作， 由（2）可得，． 设，，则． ，． 又平分，． ．．． 18．（2023下·陕西安康·七年级校考期末）问题提出 （1）如图1，，直接写出，，之间的关系：________． （2）如图2，，平分，平分，试探究，之间的关系，并说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，，，求的度数．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系即可解答；（2）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后根据角平分线的定义解答即可；（3）根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，再根据平行线的性质及角的和差关系，，最后利用角的和差关系解答即可． 【详解】解：（1），理由如下：过点作， ∵，∴，∴，， ∴，∴，即；         （2），理由如下，如图，过点C作，过点F作． ∵，∴，∴，， ∴，∴，同理：， ∵BF平分，∴，∵DF平分，∴， ∴，即：； （3）过点C作，过点F作， ∵，∴，∴，， ∴，∴，同理：， ∵，， ∴，∴，∵， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了平行于同一条直线的两条直线互相平行，平行线的性质，角的和差关系，角平分线的定义，掌握平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 19．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示） 【答案】（1）110°；（2）80°；（3） 【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得； （2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°； （3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论． 【详解】解：（1）如图1，过点P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH， 而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°； （2）过点P作,，，， ，，，， ，，∴∠1+∠4=∠2+∠3， ∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°； （3）过点P作，平分，，同理， ∴ ， 同理，故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． 20．（2024下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答； 利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答； 根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答； 过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而用的结论可得，进行计算即可解答； 过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，，       ，，， ，； 由得：，， 、分别平分、，，， ，即； ， 理由：、分别平分、，，， ， 由得：，， 即； 过点作，过点作， ，，，， ，，， ，，，，， 、分别平分、，，， ，故答案为：； 过点作，过点作，过点作，    ，，，， ，，， ， 、分别平分、，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$