6.1.2 乘法公式与事件的独立性 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

6.1.2 乘法公式与事件的独立性 作者编号：、32200 1.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系. 2.在具体情境中，掌握判断两个事件是否相互独立的方法. 3.结合古典概型，会利用乘法公式计算一些实际问题的概率. 学习目标 作者编号：、32200 常言道：“三个臭皮匠能抵诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6，0.5，0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？ 新课导入 作者编号：、32200 P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0). ① 同理 P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0). ② 称公式①②为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率. 由条件概率的定义P(B|A)= ,则有 新知讲解 作者编号：、32200 例1:在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖卷，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再出抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率. 解：设A：甲中奖，B：乙中奖，则P(A) (1)因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中 只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(B|A). 根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为 P(BA) 作者编号：、32200 (2)因为=1 ,所以= , 此时乙中奖的概率为P(B|). 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时， 还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样， 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 P(B) 例1:在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖卷，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再出抽，求：(2)甲没中奖而且乙中奖的概率. 作者编号：、32200 回顾 说一说两个事件互相独立的概念. 如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件. 例如，在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次出现的点数”中， 若事件A=“第一次掷出1点”， 事件B=“第二次掷出1点”， 则事件A与B即为 相互独立事件. 新知讲解 作者编号：、32200 结合古典概型，得出两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即 概念生成 新知讲解 作者编号：、32200 思考 从条件概率的角度如何说明呢？ 若事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B)， ∴P(AB)=P(A)P(B)； 由条件概率的定义P(B|A)= ,得P(AB)=P(B|A)P(A). 反之，若P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0,则P(B)= , 再由P(B|A)= 可知P(B|A)=P(B), 因此，事件A与事件B相互独立. 事件A与事件B相互独立 新知讲解 作者编号：、32200 例2:一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩. 分析：放回摸球和不放回摸球这两种情况均可从以下两个方面来判断事件A与事件B是否独立. (1)P(B|A)=P(B)是否成立； (2)P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 新知讲解 作者编号：、32200 解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件， 由等可能性知这4个基本事件的概率各为， 这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝， 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立． (1)家庭中有两个小孩； 新知讲解 作者编号：、32200 (2)家庭中有三个小孩. (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 由等可能性知这8个基本事件的概率均为， 这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件． 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的. 新知讲解 作者编号：、32200 方法归纳 (1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)定义法:若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. (3)条件概率法:当P(A)>0时，可用P(B|A)=P(B)判断. 两个事件是否独立的判断 新知讲解 作者编号：、32200 例3:如图，用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.当元件a,b,c都正常工作时，系统N1正常工作；当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90. (1)求系统N1正常工作的概率P1; 解：设事件A=“元件a正常工作”，事件B=“元件b正常工作”，事件C=“元件c正常工作”. (N1) a b c (N2) a b c 依题意知P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648. ∴P1=0.648 . 新知讲解 作者编号：、32200 解：依题意知 P2=P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P(C) 例3:如图，用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.当元件a,b,c都正常工作时，系统N1正常工作；当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90. (2)求系统N2正常工作的概率P2. (N1) a b c (N2) a b c ∴P2=0.792 . =0.80×0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80×0.90×0.90 =0.792 . 新知讲解 作者编号：、32200 求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)确定各事件是相互独立的. (2)确定各事件会同时发生. (3)求每个事件发生的概率，再求各个概率之积. 方法归纳 新知讲解 作者编号：、32200 1.设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于(　　) A.　　　 B. C. D. 2.甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是( @8@ ) A. B. C. D. B B 当堂检测 作者编号：、32200 3.（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”D.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” AC 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学,回答下列问题： 1.概率的乘法公式是什么？ 2.如何判断两个事件是否独立？ 3.如何求相互独立事件同时发生的概率？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$