5.3.2 组合数及其性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.3.2 组合数及其性质 作者编号：、32200 问题1：组合的概念的要点是什么？ （1）取出的对象是不同的； （2）“只取不排”，即取出的 <m></m> 个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质. 问题2：两个组合是相同组合的充要条件是什么？ 只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合. 新课导入 作者编号：、32200 1.理解组合数的概念，能利用计数原理推导组合数公式. 2.能运用组合数公式进行简单计算. 3.通过对实际问题的分析，掌握组合数的两个性质. 学习目标 作者编号：、32200 概念讲解 从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的一个组合数.记作 . 例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为 新知讲解 作者编号：、32200 问题3：从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素，有多少种排法？多少种取法？ 第2步，将取出的2个元素进行排列，共有 种排法. 第1步，从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素，共有 种取法; 因此，根据分步乘法计数原理， 从而 思考：类似的，说一说计算组合数的一般化表示. 该排列问题可以分解成以下2个步骤： 新知讲解 作者编号：、32200 一般地，考虑 与 的关系：把“从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n ∈N+)个元素进行排列”这件事，可以分解成以下2个步骤： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种取法; 第2步，将取出的m个元素进行排列，共有 种排法. 因此，根据分步乘法计数原理，我们得到“从n个不同元素中取出m(m≤n, 且m,n∈N+)个元素进行排列”共有 种排法，即 . 新知讲解 作者编号：、32200 概念生成 规定 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数为 上述这个公式叫作组合数公式. 新知讲解 作者编号：、32200 例1：计算：(1) ；(2) . (2) 解：(1) 分析：在具体计算时，应用组合数的连乘公式计算. 新知讲解 作者编号：、32200 思考：通过例1和例2，可以发现三组相等的组合数： 他们之间有什么共同特点？你能得出什么结论？ 共同特点：(1)两个组合数的下标相同； (2)两个上标的和等于下标. 猜想： 满足2个特征的组合数 新知讲解 作者编号：、32200 思考：试证明 证明： 因此 新知讲解 作者编号：、32200 组合数性质1： (1)反映了组合数的对称性； (2)在计算组合数时，当 时，将计算 转化为计算 会更加简便. 概念生成 新知讲解 作者编号：、32200 问题4：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛. （1）共有多少种方案？（2）班长被选中的方案有几种？ （3）班长没被选中的方案有几种？ 解：（1）选择方案共有 种. （2）班长被选中的选择方案共有 种. （3）班长没被选中的选择方案共有 种. 思考：在整个选派过程中，班长要么被选中，要么不被选中，对比（1）你发现了什么？你能猜想得出一般性的结论吗？ 发现： 猜想： 新知讲解 作者编号：、32200 通过构造下面的情境来说明猜想： 猜想的左边表示：从(n+1)个不同的小球中取出m个小球的组合数. 现将这(n+1)个小球看成n个红球和1个黑球，从中取出m个球.所有取法可以分成以下2类： 第1类，不取黑球，从n个红球中，取出m个球，方法数为 ; 第2类，取出1个黑球和(m-1)个红球，因此，取出的方法数相当于从n个红球中，取出(m-1)个球，方法数为 . 因此，根据分类加法计数原理，共有 种取法. 由此，我们得到： 新知讲解 作者编号：、32200 组合数性质2： 注： (1)体现了“含”与“不含”的分类思想； (2)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. 概念生成 新知讲解 作者编号：、32200 2.若 ,求n的值. 解：因为 ,即 , 所以n+1=7+8,即n=14. 练一练 1.解方程：. 解：由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13， 故原方程的解为x＝4或x＝5. 新知讲解 作者编号：、32200 1.的值为________． 2.若＝，则＝(　　) A.380 B.190 C.18 D.9 3.计算的值为(　　) A. B. C. D.－1 0 B C 当堂检测 作者编号：、32200 针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？ 组合数及其性质 组合数公式： 性质 课堂小结 作者编号：、32200 $$