5.3.1-5.3.2 组合、组合数及其性质 练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

组合、组合数及其性质 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若，则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为( ) A.36 B.42 C.48 D.54 3.下列正确的是( ) A. B. C. D. 4.若，则( ) A.5 B.20 C.60 D.120 5.有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( ) A.1440种 B.1560种 C.1920种 D.5760种 6.从5名老师中选若干名去3所学校支教，若要求每所学校至少去1名老师，则不同的方案种数为( ) A.90 B.390 C.420 D.720 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.下列排列组合数中，正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是( ) A.活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B.5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C.将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D.活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 9.下列结论正确的是( ) A. B.若，则 C.若，则 D. 10.现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是( ) A.共有种不同的放法 B.恰有一个盒子不放球，共有120种放法 C.每个盒子只放一个球，恰有2个盒子编号与球的编号相同，不同放法有18种 D.将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.若，则x的值为________. 12.如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为______. 13.不等式的解集为________. 14.若将6名高二学生分到3个社团参加活动，一个1名，一个2名，一个3名，则有____________种不同的分法. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.从A，B，C等人中选出人排成一排. (1)A必须在内，有多少种排法？ (2)A，B，C都在内，且A在B前，C在B后，有多少种排法？ (3)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 1.答案：C参考答案 解析：由得：，故选：C. 2.答案：C 解析：若三位数中含有0，则从1，3，5中选2个奇数，有种方法，0可以放在个位或十位，故组成没有重复数字的三位数个数为，若三位数中不含有0，从2，4中选一个偶数，从1，3，5中选2个奇数，进行全排列，有种方法，综上，共有个没有重复数字的三位数.故选：C 3.答案：B 解析：，故选项A错误； ，故选项B正确； ∵，故选项C错误； ∵，， ∴，故选项D错误.故选：B. 4.答案：B 解析：因为，所以根据组合数的性质可得：或者，解方程得：或者.因为，所以.那么.故选：B. 5.答案：B 解析：先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况， 其中分为1，1，2，2的情况有种，分为1，1，1，3的情况有种，故不同的分法种数为.故选：B 6.答案：B 解析：先将5名老师分选3人，选4人，选5人3种情况选出，5个中选3个，再去安排去3所学校，有种. 5个中选4个，再按照“”组合安排去3所学校，有种.5个中选5个，再按照“”和“”组合安排去3所学校， 有.综上所得，共有种.故选：B. 7.答案：BCD 解析：，故A错误； ，故B正确； 左边右边，故C正确； ， ，故D正确.故选：BCD. 8.答案：AB 解析：对于A，甲在最左边，乙不在最右边，则乙在中间三个位置选一个，有种排法， 其余三人全排，有种排法，故共有（种）不同的排法，故A正确； 对于B，甲和乙不相邻，则先排其余三人，有种排法，再在这三人形成的四个空隙中选两个排甲和乙，有种排法，故共有（种）不同的排法，故B正确； 对于C，将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，则先分组再分配，先将男生分为一组1人，另一组2人，有种分法，再将女生分到这两组，有种分法， 最后将这两组分配到两项活动，有种分法，故共有（种）不同的分法，故C错误； 对于D，从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，则有两种情况，第一种情况是两名男生一名女生，有种选法，第二种情况是三名男生，有种选法，故共有（种）不同的选法，故D错误.故选：AB. 9.答案：AB 解析：对于选项A，显然，故正确； 对于选项B，因为，所以或，计算可得(舍去)或，故正确； 对于选项C，由，计算可得，所以(舍)或或，故不正确； 对于选项D，，故D不正确.故选：AB. 10.答案：BCD 解析：对于A，每个球都有5种放法，共有种放法，故A错误； 对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有种放法，故B正确； 对于C，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种放法，故C正确； 对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种，故D正确.故选：BCD. 11.答案：4或5 解析：由可得或，解得或，又，解得，且，所以x的值为4或5.故答案为：4或5 12.答案：150 解析：从11个顶点中任取3个，有种取法，而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有：三点都在三条水平边上，有种，三点都在三条竖直边上，有3种， 三点在正方形的对角线方向上，有3种，则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种；所以可以构成三角形的组数为组.故答案为：150. 13.答案： 解析：由题意得，. 原不等式可化为， 即，解得.又，，所以. 14.答案：360 解析：先从6名学生中选取1名，则有种； 再从剩下的5名学生中选取2名，则有种； 最后从剩下的3名学生中选取3名，则有种； 所以共有种分法.故答案为：360. 15.答案：(1)4200 (2)200 (3)4440 解析：(1)先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与A进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法； (2)因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， A，B，C相对顺序确定，共有种不同排法； (3)分四类：第一类：所选的5人无A，B，共有种排法； 第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法； 第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A，B，若A排中间时，有种排法， 若A不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 学科网（北京）股份有限公司 $