5.3.2组合数及其性质（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

3 组合问题 3.2组合数及其性质 第5章 计数原理 北师大版选择性必修第一册·高二 问题：你能根据排列数的定义，总结出组合数的定义吗？ 组合数 排列数 把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，符号： 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，符号： 问题引入 取出元素个数 元素总数 组合的 第一个字母 所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如: 从4个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为； 从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为； 问：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 <m></m> 来求组合数 <m></m> 呢？ 探究新知 思考1：从这4个元素中取出2个元素，共有多少种可能？ ab 排列 ac bc ac ca bc cb ab ba ad ad da bd dc cd cd cd dc 组合 思考2：从这4个元素中取出3个元素，共有多少种可能？ 组合 排列 abc abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb “从个不同元素中取出,且, 个元素进行排列”这件事，可以分解成以下两个步骤： 第1步：从个元素中取出个元素，共有种取法； 第2步：将取出的个元素进行排列，共有种排法. 根据分步乘法计数原理我们得到， “从个不同元素中取出,且 个元素进行排列”共有排法. 组合数公式： ，且.) 规定 问题4.分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加 比赛”的方法数。 解： 分析：“从10人中选出6人参加比赛”相当于“从10人中选出4人不参加比赛”，因此，从10人中选出6人参加比赛的方法数和从10人中选出4人不参加比赛的方法数是相同的. 组合数性质1： 补充－－组合的性质1 该性质反映了组合数的对称性。组合是从个不同的元素中任取m个元素的组合与任取个元素的组合是一一对应。 证明： 证明：因为， 所以= 问题5. 从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛，共有多少种 方案？ 分析：一方面，从11名中选出5名参加军事比武大赛，共有 种方案。 另一方面，选出的5名可以分成以下2类： 第1类，含有班长，共有种方案； 第2类，不含班长，共有种方案。 解：根据分类加法计数原理，共有）种方案。 组合数性质2： 我们通过构造下面的情境来说明性质2。 性质2的左边表示：从个不同的小球中取出个小球的组合数。 现将这个小球看成n个红球和1个黑球，从中取出个球。所有取法可以分成以下2类： 第1类，不取黑球，从个红球中，取出个球，方法数为 ； 第2类，取出1个黑球和个红球，因此，取出的方法数相当于从个红球中，取出个球，方法数为 因此，根据分类加法计数原理，共有 种取法。 补充－－组合的性质2 证明： 证明：因为+ = = 练习1.(1)3－2； 课堂练习 题型一:化简与求值 解：3－2 练习2.（1）求证： 课堂练习 题型二:组合数有关证明 证明：∵ ， ∴原式成立. (2)求证： 证明： 练习3.(多选)(1)若 ,则的可能取值有 A.6 B.7 C.8 D.9 课堂练习 题型三:与组合数有关的方程或不等式 又，则＝6,7,8,9. ∴该不等式的解集为{6,7,8,9}. 练习3.(2)解方程 课堂练习 题型三:与组合数有关的方程或不等式 解： 题型四:组合数公式的应用 题型五:有限制条件的组合问题 练习5.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ 题型五:有限制条件的组合问题 练习5.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 题型五:有限制条件的组合问题 练习5.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ （2）方法二(间接法)　没有外科专家的抽调方法有种，有1名外科专家的抽调方法有种，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有－－＝185(种)． 题型五:有限制条件的组合问题 练习5.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ （3）至多有2名外科专家的抽调方法共有++＝115(种)． 题型六:分组、分配问题 ①完全不均匀分组 练习6.有6本不同的书， (1)分成3份，每份各1本、2本、3本，有___种不同的分法； (2)分给甲、乙、丙3人, 一人1本, 一人2本, 一人3本, ___种不同的分法； 先分组，后分配： 练习6.有6本不同的书， (3)分成3份，每份2本，有___种不同的分法； (4)分给甲、乙、丙3人，每人2本，有___种不同的分法； (法1)先分组，后分配： 完全均匀分组：各组分步选取，除以组数的全排列. (法2)甲、乙、丙分步选： 分组的同时还考虑了各组的排列 ②完全均匀分组 练习6.有6本不同的书， (5)分给5个人，每人至少一本，有___种不同的分法. 部分均匀分组：各组依次选取, 有组均匀, 则除以的全排列. 先分组(2,1,1,1,1)，后分配： (法1)先选2本为一组，其余4本各成1组；再对5组书进行分配. (法2)依次分组(涉及均匀分组)；再对5组书进行分配. ③部分均匀分组 练习7.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 B.110 C.204 D.200 √ 题型七:与几何有关的组合问题 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成组，最后必须除以！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除以！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 这节课学习了哪些知识？ 课堂小结 (4)分组分配问题. 2.方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想. 3.常见误区：分组分配中是否为“平均分组”. 感谢聆听! 3×－2×＝148. ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466. (2)C＋C. 解：∵∴9.5≤n≤10.5. ⇒⇒ 解析：由C>C得 C>C ＝ ＝5 985. 练习4.求值：C＋C＋C＋…＋C. 解：C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝C 组合数公式的选取 (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件m≤n，且m，n∈N*；组合数的性质C＝C. 解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90种抽调方法． (2)方法一(直接法)　按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有CC种选法； ②选3名外科专家，共有CC种选法； ③选4名外科专家，共有CC种选法． 所以至少有2名外科专家的抽调方法共有CC＋CC＋CC＝185(种)． 解析：方法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205. 方法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205. (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算. (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算. (1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算. $