专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24下·浙江·七年级校考期中）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义和三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】解：如图：∵，∴，    又∵，， ∴，整理得：，故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 例2．（23-24下·重庆巴南·七年级阶段练习）如图，，，则 ． 【答案】/40度 【分析】延长交于F，由平行线的性质得出同位角相等，再由三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：延长交于F，∵，，∴， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 例3．（2023上·广西柳州·八年级校考开学考试）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，，,则的度数是 ． 【答案】23°/23度 【分析】延长交于F，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵，∴ 又∵，∴．故答案为：23°． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 例4．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．    【答案】/152度 【分析】延长交于点F，根据可求得度数，进而求得的度数． 【详解】解：延长交于点F，如下图：    ，，， ，，，． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和为是解题关键． 例5．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数： (2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由： (3)问题应用：如图3，，，，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，易得，由平行线的性质可得，，即可求出；（2）过点作，易得，根据平行线的性质可得； （3）过点作，过点作，易得，，根据平行线的性质可得，，再由已知等量代换，即可求得的值． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作，， ，，，，． ，，； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，，，，， ，； （3）解：如图3，过点作，过点作，，，， ， ， ，，， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【分析】（1）证明：延长交于点，则，结合已知即可得出，据此即可得出结论；（2）设，，由角平分线的定义得，，由（1）可知∥，则，，然后由得，再四边形的内角和等于得，即，据此可得出，的数量关系； （3）设，则，，由∥得，而，然后根据得，据此可求出，则，最后根据周角的定义可求出的度数． 【详解】（1）证明：延长交于点，，    ，，∥． （2）解：，的数量关系是：，理由如下： 设，，平分，， ，，， 由（1）可知：∥，，， ，，， 由四边形的内角和等于得：， 即：，，． （3）解：设，，，由（1）可知：∥， ，，，， ，，解得：， ，，根据周角的定义得：， ． 【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． 例7．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ，，又，， ，，，故答案为：． 例8．（23-24七年级下·广东·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论；（2）过点P向右，则，得出，进而求出结论；（3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）过点P向右， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）过点P向左作，过N向左作，∵，∴， 与（2）同理，得， 依题意，设，则 ． ∴，∴． 1．（2023-2024学年山东七年级数学下册期末）如图，直线，等腰直角的两个顶点A、B分别落在直线上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，平行线的性质．由平行线的性质可求解的度数，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：直线，， 是等腰直角三角形，，．故选：D． 2．（2024年安徽模拟预测数学试题）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得°，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图，∵直线，∴∵，∴， ∵∴，故选：C． 3．（2023·河南信阳·校考三模）如图，，，，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】过点做平行于即可求解． 【详解】解：过点做平行于，如图所示：    ∵∴∵，∴ ∵∴故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质．过拐点作平行线是解题关键． 4．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，则等于 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先得出，则，故，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点作， ∵，∴ 则， ∵，∴ ∴故答案为：． 5．（巴中市2024-2025学年七年级期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹””时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是 ． 【答案】/86度 【分析】本题考查平行线的性质应用，邻补角性质，先求出，进而利用平行线的性质得出答案． 【详解】解：如图所示：延长交于点F，    ∵，∴． ∵，∴故答案为：． 6．（2024-2025学年新教材七年级上册数学）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 【详解】解：，，， ，，，． 7．（重庆市2024-2025学年八年级月考数学试题）如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则= ． 【答案】 【分析】此题考查的是平行线的判定与性质、平行公理及推论，掌握其性质定理是解决此题的关键．如图，过点作的平行线，则有，进而根据平行线的性质及平角的意义可进行求解 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，，． ∵，，，． ∵，，∴；；故答案为． 8．（2024年山西省中考模拟预测数学试题）如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶点在上，若，则 ． 【答案】/51度 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 由题意可得，从而可求得的度数，再由平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：如图，由题意得：，∵，∴， ∵，∴．故答案为：． 9．（2023-2024学年七年级数学下册期中复习试题）如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为： 10．（吉林省长春市2023-2024学年七年级期中）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 【答案】114 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得,又，即可得. 【详解】解：如图，∵，∴ ∵∴.故答案为：. 11．（2023下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ． 【答案】 【分析】分别过点M、E、N、F作线段，使得，根据平行线的性质，推出，，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：分别过点M、E、N、F作线段，使得， ，，，， ，， ， ，， ，，， ，，，， ， ，，，即，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，巧妙利用多条平行线找出角度之间的数量关系是解题关键． 12．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等量代换，四边形内角和，角平分线；设角等于 ；角的等量代换是解题的关键． 过点F作得，得；根据是 的角平分线，，根据四边形内角和为即可求出的角度． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 可设， ， 在四边形中，， 即，① 又，，② 由①②可得，，解得． 13．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，求的度数． （2）如图2，，点P在的上方，之间有何数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，求的度数．      【答案】（1）的度数为；（2），理由见解答；（3）的度数为 【分析】（1）延长交于点G，利用平行线的性质可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；（2）设与交于点M，先利用三角形的外角可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，即可解答；（3）利用（2）的结论可得，再利用角平分线的性质可得，，然后利用（2）的结论可，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）延长交于  点G，       ∵，∴，∵，∴， ∵是的一个外角，∴，∴的度数为； （2），理由：如图：设与交于点M， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴，∴； （3）由（2）可得：，∴， ∵平分，平分，∴，， 由（2）得：， ∴，∴的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点P为平面内一点．    (1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝　 　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）(3)如图③，平分平分，若，则＝　 　°． 【答案】(1)65(2)，见解析(3)120 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可；（2）延长交于点H，根据三角形外角求解即可；（3）延长交于点H，过点G，作，根据角平分线的性质和平行线的性质求解即可 【详解】（1）解：过点P作，如图，          ∵，∴， 又∵，∴，， ∴； （2）解：延长交于点H，如图，∴是的一个外角， ∵，∴，∴在中，， ∴之间存在的数量关系为：； （3）解：延长交于点H，过点G，作，如图， ∵，∴，∴， ∵平分平分，， ∴， ∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 15．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．(1)如图1，，，，则______°； (2)如图2，，，，求证：； (3)用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使． ②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．       【答案】(1)70(2)见解析(3)①见解析；②见解析 【分析】（1）如图1中，过点E作．证明∠BED=∠B+∠D，可得结论； （2）过点E作．证明，可得结论；（3）①根据同位角相等，两直线平行，作出图形； ②在的上方作，作直线，再作，即可解决问题． 【详解】（1）如图1中，过点E作．∵，，∴，       ∴，∴．故答案为：； （2）过点E作．∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）①如图中，直线即为所求；       ②如图中，直线即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造平行线解决问题． 16．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图1，已知，且，，，若．    (1)求的度数；(2)求证：；(3)若平面内存在一点M，使，直线与直线交于点M，请直接写出的度数． 【答案】(1)；(2)见解析(3)的度数是或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质解答即可；（2）过点E作，过点F作，根据平行线的性质求出，于是得出，根据同旁内角互补，两直线平行得出，问题即可得证；（3）分四种情况讨论，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，∴，，， ∴，∴； （2）解：如图1，过点E作，过点F作，          ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：如图2，当射线在内部，射线在下方时，延长交于点G， ∵，∴， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴， ∵是的一个外角，∴， ∴，∴； 如图3，当射线在内部，射线在上方时，设与交于点P， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴； 如图4，当射线在外部，射线在下方时，延长交于点K，设交于点Q，       ∵是的一个外角，∴， ∵，∴， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴； 如图5，当射线在外部，射线在上方时，设交于点P， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵是的一个外角，∴， ∵，∴； 综上，的度数是或或或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形外角的性质，以及分类讨论思想，注意思考问题要全面，否则容易丟解． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24下·浙江·七年级校考期中）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 例2．（23-24下·重庆巴南·七年级阶段练习）如图，，，则 ． 例3．（2023上·广西柳州·八年级校考开学考试）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，，,则的度数是 ． 例4．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．    例5．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数： (2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由： (3)问题应用：如图3，，，，求的值． 例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 例7．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，，则 ． 例8．（23-24七年级下·广东·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 1．（2023-2024学年山东七年级数学下册期末）如图，直线，等腰直角的两个顶点A、B分别落在直线上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024年安徽模拟预测数学试题）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南信阳·校考三模）如图，，，，则的度数为 ．    4．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，则等于 ． 5．（巴中市2024-2025学年七年级期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹””时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是 ． 6．（2024-2025学年新教材七年级上册数学）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 7．（重庆市2024-2025学年八年级月考数学试题）如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则= ． 8．（2024年山西省中考模拟预测数学试题）如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶点在上，若，则 ． 9．（2023-2024学年七年级数学下册期中复习试题）如图，已知，，，则的度数为 °． 10．（吉林省长春市2023-2024学年七年级期中）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 11．（2023下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ． 12．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，求的度数． 13．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，求的度数． （2）如图2，，点P在的上方，之间有何数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，求的度数．      14．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点P为平面内一点．    (1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝　 　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）(3)如图③，平分平分，若，则＝　 　°． 15．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．(1)如图1，，，，则______°； (2)如图2，，，，求证：； (3)用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使． ②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．       16．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图1，已知，且，，，若．    (1)求的度数；(2)求证：；(3)若平面内存在一点M，使，直线与直线交于点M，请直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$