精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年高二上学期12月学习能力摸底考试数学试题

重庆市第十八中学2024-2025学年度（上）12月学习能力摸底 高二数学试题 命题人：李健审 题人：余思彤 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得． 【详解】由题意，，， 故选：D． 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 3. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程. 【详解】由两点间距离公式知： 的几何意义是点到与的距离之和为， ， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，， 点轨迹方程为：. 故选：B. 4. 已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 5. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 6. 已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 【答案】D 【解析】 【分析】由，先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案. 【详解】当时，； 由 ①得，当时， ②， ①②得， ， 即， 又也符合该式， 故. 所以， 由，得，解得； 又，所以， 则， 由，解得， 又，所以，则 ， 因此的最大项为， 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】根据已知得到，圆， 所以，圆A的半径为1， 抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则， 由抛物线的定义可得， 所以， . 当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，两个等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：B. 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由椭圆及双曲线的定义可得，联立可得，然后由余弦定理得，由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由对称性可设点在第一象限， 则根据椭圆及双曲线的定义可得，， 所以，又， 在中，由余弦定理得：， 化简得：，得到，从而有， 整理得，当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程进行转化可确定AB正误；根据直线平行、垂直的关系直接构造方程组可得CD正误. 【详解】对于A，对于直线，令，解得：，在轴上的截距为，A正确； 对于B，由直线方程得：， 直线斜率存在，即直线不垂直于轴，且经过点，B正确； 对于C，，，解得：，C错误； 对于D，，，解得：，D正确. 故选：ABD. 10. 抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. C. 三点共线 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【详解】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ） A. 椭圆的中心在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问3分，第二问2分，共15分. 12. 若数列为等差数列，且，则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质求得，再将所求式用表示，计算即得. 【详解】因数列为等差数列,由,解得, 则. 故答案为：10. 13. 已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】作图，由向量的加法法则表示，平方即可求得. 【详解】过点作轴，点轴，如下图所示： 则，且，，，且 ，所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆满足，长轴上2024个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4048条直线的斜率乘积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点在椭圆上并利用对称性可得，即可计算出这4048条直线的斜率之积. 【详解】因为在椭圆上，所以，可得， 又，所以； 由椭圆的对称性可知， 同理可得， 所以4048条直线的斜率乘积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用对称性分组将直线斜率求出定值计算可得结果. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）：（3）． 【解析】 【分析】（1）由两直线方程联立求圆心C，根据两点距离公式求半径，写出圆的方程； （2）由点线距离公式可知C到直线的距离，根据弦长、弦心距、半径的关系即可求弦长|MN|； （3）由点线距离公式求圆心到直线的距离d，根据圆上点到直线最大距离与d的关系，即可求距离最大值. 【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)， 圆C的半径， ∴圆C的方程为：. （2）由C点到直线的距离， ∴|MN|=2． （3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为． 16. 如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面. （1）证明:； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为，，， 在中，由余弦定理可得， 于是，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以 （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形为正方形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系. ，，，，，， ，，，. 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，则，故， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，则，故， 所以， 记平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程. （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由： 假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l.设是弦的中点， 设，则. 因为点在双曲线C上，所以它们的坐标满足双曲线方程， 即两式相减得， 所以，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 联立直线l与双曲线方程得 消去y，得，显然， 所以直线l与双曲线无交点，所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦. 【解析】 【分析】（1）由渐近线可设双曲线方程为，代入已知点的坐标求得，即得双曲线方程； （2）假设存在，设弦中点是，设，代入双曲线方程相减可得直线的斜率从而得直线方程，再与双曲线方程联立方程组，检验直线怀双曲线是否相交．若不相交说明弦不存在． 【详解】（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线方程为，代入，可得，所以双曲线C的标准方程为. （2）略 【点睛】方法点睛：（1）已知双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线方程为，再由其他条件求得，即得双曲线方程； （2）已知圆锥曲线弦中点问题，设弦两端点坐标为，代入曲线方程相减可得弦所在直线斜率与中点坐标的关系．这种方法称为“点差法”，这种方法在双曲线中应用时，可能求出的直线与双曲线没有公共点，需进行检验．椭圆与抛物线中只要看已知点在不在曲线内部即可得． 18. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. （1）求证: 平面 ； （2）若四面体的体积为 ，求； （3）在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） .的中点为，则. . ，则， 故，即. 因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可证线面垂直； （2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 而， 所以，解得：. 【小问3详解】 过作轴垂直平面，以方向分别为 则， ， 设平面法向量为 由得， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①； ②由， 所以， ， 即为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线斜率不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值. 【小问1详解】 当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024-2025学年度（上）12月学习能力摸底 高二数学试题 命题人：李健审 题人：余思彤 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 7 D. 8 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 7. 已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 10. 抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. C. 三点共线 D. 11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ） A. 椭圆的中心在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问3分，第二问2分，共15分. 12. 若数列为等差数列，且，则__________. 13. 已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 14. 已知椭圆满足，长轴上2024个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4048条直线的斜率乘积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 16. 如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面. （1）证明:； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程. （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 18. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. （1）求证: 平面 ； （2）若四面体的体积为 ，求； （3）在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $