重庆市第十八中学2024-2025学年高二上学期12月学习能力摸底考试数学试题

重庆市第十八中学2024-2025学年度（上）12月学习能力摸底 高二数学试题 命题人：李健审 题人：余思彤 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 7 D. 8 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 7. 已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 10. 抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. C. 三点共线 D. 11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ） A. 椭圆的中心在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问3分，第二问2分，共15分. 12. 若数列为等差数列，且，则__________. 13. 已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是______. 14. 已知椭圆满足，长轴上2024个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；则这4048条直线的斜率乘积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 16. 如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面. （1）证明:； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程. （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 18. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. （1）求证: 平面 ； （2）若四面体的体积为 ，求； （3）在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 重庆市第十八中学2024-2025学年度（上）12月学习能力摸底 高二数学试题 命题人：李健审 题人：余思彤 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问3分，第二问2分，共15分. 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）；（2）：（3）． 【16题答案】 【答案】（1）因为，，， 在中，由余弦定理可得， 于是，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以 （2）. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）不存在，理由： 假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l.设是弦的中点， 设，则. 因为点在双曲线C上，所以它们的坐标满足双曲线方程， 即两式相减得， 所以，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即. 联立直线l与双曲线方程得 消去y，得，显然， 所以直线l与双曲线无交点，所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦. 【18题答案】 【答案】（1） .的中点为，则. . ，则， 故，即. 因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①； ②由， 所以， ， 即为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $