专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    例5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    例6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．(1)求证：；(2)，，求的周长． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．      例2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 例3．（2023下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 例4.（2023·陕西西安·联考模拟预测）如图，在四边形中，点、分别是，的中点，且，若，，则的长为 ．               例5．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023下·浙江宁波·八年级校考期中）分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（    ） A．① B．② C．①②③ D．①②④ 例2．（2023·四川成都·模拟预测）顺次联结一个四边形各边中点，所得的四边形是矩形，那么这个四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 例3．（2022上·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 例4．（2022下·湖北武汉·八年级期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（    ）． A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当时，四边形为矩形． 例5．（2023上·河南郑州·九年级统考期中）如图，在中，，点是斜边的中点，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到四边形，依次连接四边形四条边中点得到四边形，若，那么四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 1．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边的中点，连接，若，，则的长为（    ）    A．3 B． C．2 D． 2．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，在中，点D、点E分别是的中点，点F是一点，，则长为（ ）。    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 5．（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，连结交于点E，则的度数是（    ）     A． B． C． D． 6．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 7．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 8．（2024·浙江·校考一模）如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N．再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连结．若，则的面积为（    ）    A． B． C．7.5 D．7 9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图．在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，则的长为（　　）    A．2 B． C． D． 10．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·浙江台州·统考一模）如图，中，平分，点E为中点，则的长为 ．    12．（2023下·河北张家口·八年级统考期末）连接任意四边形各边中点得到的四边形是 ． 对角线，满足条件 时，连接四边形各边中点得到的四边形是菱形． 13．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在中，是边上的高，、分别是和的中点，且，若，则的长为 ．    14．（2023·四川·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ． 15．（2023·山西太原·统考二模）如图，在中，，，平分交于点D，点E在上，，点F为的中点．若，则的长为 ．    16．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．    17．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，已知在中，于点于点分别是的中点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长． 18．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】（1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】（2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】（3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 19．（2023·浙江·统考三模）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，且，为的中点．(1)求证：．(2)若，求的长．    20．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．(1)请判断四边形的形状，并说明理由．(2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．(3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．    21．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，． (1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由； (2)点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴，∴．故选：B． 例2．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴， ∵D是的中点，∴是斜边上的中线，∴，∴ 又∵，，∴是等边三角形，∴， ∵将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，∴，， ∴， ∵，，，∴， ∴，∴，故选：C． 例3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形，∴，， ∵，∴，∴． ∵，∴， ∴（负值已舍去），∴，∴， ∴，∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，，∴．故答案为：． 例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    【答案】/ 【详解】解：，是的中点，， ，，， ，， ， ，故答案为：． 例5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，作于，取中点，连接，， ，，，，， 是中点，，，是中点，，，    是的中点，，，， ，， ，，的最小值是，故答案为： 例6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．(1)求证：；(2)，，求的周长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E，∴， ∵为边的中点，∴，∴． （2）解：由（1）得，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴的周长为． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．      【答案】8 【详解】解：∵点分别是的中点，∴，∴，故答案为：8． 例2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴O是中点， 又∵E是中点，∴OE是的中位线，∴，， ∵的周长为12，，∴， ∴的周长为．故选：B. 例3．（2023下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：菱形，，，为等边三角形， ，等边的高为，， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形，四边形为矩形， ,同理可得， ，……．故答案为：． 例4.（2023·陕西西安·联考模拟预测）如图，在四边形中，点、分别是，的中点，且，若，，则的长为 ．               【答案】13 【详解】解：在中，，由勾股定理可得：． ∵点是的中点，∴，∴， ∵点，分别是的中点，∴是的中位线， ∴．故答案为：． 例5．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【答案】 【详解】解：连接，过点A作，垂足为M，    ∵点E是上的中点，点F是上的中点，∴为的中位线，∴， ∵四边形是平行四边形，，∴，∴ ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为，故答案为：． 例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023下·浙江宁波·八年级校考期中）分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（    ） A．① B．② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点， ∴，， ∴，∴四边形EFGH是平行四边形， ∴连接任意四边形的四边中点都是平行四边形， 当四边形ABCD是等腰梯形时，AC=BD，∴EH=EF，此时四边形EFGH是菱形； 当四边形ABCD是矩形时，AC=BD，∴EH=EF，此时四边形EFGH是菱形； 当四边形ABCD是菱形时，AC⊥BD，∴EH⊥EF，此时四边形EFGH是矩形； 当四边形ABCD的对角线相等时，AC=BD，∴EH=EF，此时四边形EFGH是菱形； ∴符合条件的有：①②④．故选：D 例2．（2023·四川成都·模拟预测）顺次联结一个四边形各边中点，所得的四边形是矩形，那么这个四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【详解】解：如图，、、、分别为各边中点 ，，，， 四边形是平行四边形，平行四边形是矩形，，，故选：D． 例3．（2022上·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且． 理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形， ∴，，，， ，，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴平行四边形是菱形， ∵，∴，∵，， ∵，∴，∴菱形是正方形．故选：D． 例4．（2022下·湖北武汉·八年级期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（    ）． A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当时，四边形为矩形． 【答案】B 【详解】连接， 分别为四边形各边的中点，， 且，， 且，故四边形为平行四边形，故A正确； 当时， 故平行四边形不是矩形，B错误； 当时，则，故四边形为菱形，C正确； 当时，， ，故四边形为矩形，D正确；故选：B． 例5．（2023上·河南郑州·九年级统考期中）如图，在中，，点是斜边的中点，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到四边形，依次连接四边形四条边中点得到四边形，若，那么四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=2，∠C=60°，∴BC=2AC=4，AB =AC=2 ∵BD=CD，∴AD=DB=DC=2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形， ∵AD=AC=DC，∴∠ADC=60°，∵AE∥DB，∴∠EAD=∠ADC=60°， ∵AE=AD，∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=2，∵AJ=JE，AI=ID，∴IJ= DE=1, ∵BH=DH，AI=ID，∴IH=AB =∴四边形GHIJ的周长=2（1+ ）=2+2故选：B． 例6．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等 【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE， ∵在△AED和△CEF中，∴， ∴，，∴， ∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF， ∴四边形BCFD为平行四边形，∴，， ∵，∴，即DEBC，DEBC． （2）①连接AC、BD，如图所示： ∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，， ∴，，∴四边形EFGH为平行四边形； ②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形； 根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形； 根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形， 根据解析①可知，，， ∵AC=BD，∴，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等 1．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边的中点，连接，若，，则的长为（    ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形∴ ∵点M，N分别是边的中点，∴ ∵∴∴ ∴；故选：D 2．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，在中，点D、点E分别是的中点，点F是一点，，则长为（ ）。    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵点D，点E分别是的中点， ∴是的中位线，∴， ∵，E是的中点，∴， ∴．故选：B． 3．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4， ∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点， ∴BD＝AC＝AD＝4，故选：D． 4．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【答案】B 【详解】解：如图：观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： ，， ∴四边形是平行四边形；    A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意； B、∵等腰梯形的对角线相等，即：当时，∴，∴四边形为菱形； ∴顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意； C、当时，则：，∴，∴四边形为矩形； ∴顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意； D、当时，则：，∴四边形为菱形； ∴顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意． 故答案选：B． 5．（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，连结交于点E，则的度数是（    ）     A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取量角器的圆心O，连接，如图， 由题意知，，则； ∵O是的中点，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴；故选：D．    6．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段， ∴，∴， ∵，∴，∴．故选：A． 7．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【详解】∵，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴AD=2，AF=，DE、EF为△ABC的中位线， ∴EF=2，DE==，∴四边形ADEF的周长=2+2+=9，故选：B． 8．（2024·浙江·校考一模）如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N．再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连结．若，则的面积为（    ）    A． B． C．7.5 D．7 【答案】B 【详解】解：由作图可知，平分，∵，，∴，， ∴，的面积为， ∵点F为的中点，∴的面积等于的面积的，故的面积为，故选：B． 9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图．在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，则的长为（　　）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长到点F，使，连接，过点作于点H，    平分的周长，且D为中点，   ，是的中位线．， ， ，， ∴，，．故选：B． 10．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=AC， A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确． C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B． 11．（2023·浙江台州·统考一模）如图，中，平分，点E为中点，则的长为 ．    【答案】2 【详解】解：∵平分，∴D为的中点， ∵点E为中点，∴为的中位线，∴，故答案为：2． 12．（2023下·河北张家口·八年级统考期末）连接任意四边形各边中点得到的四边形是 ． 对角线，满足条件 时，连接四边形各边中点得到的四边形是菱形． 【答案】 平行四边形 【详解】解：如图，    、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，∴四边形是平行四边形， 当时，则有，∴四边形是菱形，故答案为平行四边形， 13．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在中，是边上的高，、分别是和的中点，且，若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：∵是边上的高，、分别是和的中点，∴，， ∵，∴，∴，故答案为：． 14．（2023·四川·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ． 【答案】2 【详解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC． ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE． ∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是AB的中点，∴GF是△ABE的中位线，∴GF=AE， ∵AE=4，∴GF=2．故答案为：2． 15．（2023·山西太原·统考二模）如图，在中，，，平分交于点D，点E在上，，点F为的中点．若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，取的中点G，连接、， 由题意得：，∵平分，∴， ∵点G、F分别为、的中点，∴是的中位线， ∴，，∴， ∵点G是的中点，，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴，∴， 在中，，∴，∴．    故答案为：． 16．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，取的中点D，连接， ∵是边长为2的等边三角形，∴， ∴，∴，∵，即，∴， ∵，∴当三点共线时，有最大值，最大值为，故答案为：．    17．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，已知在中，于点于点分别是的中点，连接． (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明：，． 是的中点，．同理可得，则， 即是等腰三角形．是的中点，． （2）解：，． 由（1）可知，． 18．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】（1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】（2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】（3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）连接，交于点，如图， 四边形是平行四边形，，， ，，，，， ，； （2）证明：如图，延长交的延长线于点， 平分，，，， 又，，， 取的中点，连接，则有，且，，， 在和中，，，， ，； （3）如图，连接，取中点，连接，， 、分别为和中点，和分别为和的中位线， 且且， ，，，， 是等边三角形，， ，，是等边三角形， ，，， 设，则，在中，由勾股定理得，，解得， 即，，． 19．（2023·浙江·统考三模）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，且，为的中点．(1)求证：．(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵D为的中点，F为中点，∴，∴， ∵，∴，∴， （2）解：∵为的中点，为中点，， ∴，，即，∴， ∵，∴． 20．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点， ∴，， ∴，∴四边形是平行四边形； （2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵，，∴，∴平行四边形是菱形； （3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，，∴，∴，∴四边形是矩形． 21．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，． (1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由； (2)点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形(2)成立，理由见解析(3)图见解析，正方形，理由见解析 【详解】（1）解：四边形是菱形．如图所示，连接， ∵∴，即， 又∵，，∴，∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，∴，∴四边形是菱形． （2）成立．理由：连接，． ，．即． 又，，，． ，，，分别是，，，的中点， ，，，分别是，，，的中位线． ，，，． ．四边形是菱形． （3）解：补全图形，如图． 判断四边形是正方形．理由：连接，． （2）中已证：，． ，．又，，． （2）中已证，分别是，的中位线， ，．． 又（2）中已证四边形是菱形，菱形是正方形． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 4 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$