专题03 分式、无理、二元二次方程的综合（八大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题03 分式、无理、二元二次方程的综合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、分式方程的含参问题 3 类型二、分式方程的增根与无解问题 5 类型三、分式方程与不等式的结合 8 类型四、无理方程的综合 11 类型五、二元二次方程组求代数式 14 类型六、二元二次方程组的含参问题 17 类型七、新定义题目 20 类型八、代数方程的实际应用 25 压轴能力测评 32 知识点1：分式方程： 定义：可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 知识点2：无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： ①变形:当方程中只有一个含未知数的二次根式时，使这个二次根式 单独放在等号一边 ②去根号:方程两边同时平方，将这个方程化成有理方程; ③解有理方程; ④验根:由于去根号两边平方时，未知数的范围扩大而可能产生增根，因此验根必不可少 知识点3：二元二次方程组 1.二元二次方程 （1）定义:仅含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程: （2）理解:①整式方程;②含有两个未知数;③含有未知数的项最高次数是2 （3）一般形式: 是常数,且至少有一个不为零) （4）解:能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值 2.二元二次方程组 （1）定义:仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2的方程组; （2）二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解 3.二元二次方程组的解法 （1）解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. （2）解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. （3）解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 类型一、分式方程的含参问题 【例1】已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 【例2】若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故选：A． 【变式1-1】若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且 【详解】解： 解得： 分式方程的解为非负数，且 解得且 故答案为：且 【变式1-2】已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解：由原方程去分母，得， 去括号，得， 解得， 关于x的方程的解是非负数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式1-3】关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 解得， 由解为负数得， 解得， ， ， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 类型二、分式方程的增根与无解问题 【例3】若关于x的方程无解，则a的值为 ． 【答案】3或4 【详解】解：原方程去分母，得：， 当，即时，原分式方程无解， 解得：， 当时，原分式方程无解， 综上，的值为3或4， 故答案为：3或4． 【例4】已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或 (2)若方程无解，的取值为或或 (3)或 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 【变式2-1】若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】或 【详解】解：∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， ∴， ∴， 经检验是方程的解； 故答案为：或． 【变式2-3】若关于的分式方程有增根，则的值为 【答案】 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴把代入，得：， 解得：； 故答案为：1． 类型三、分式方程与不等式的结合 【例5】若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】10 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于y的分式方程的解为正整数，， ∴或或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：． 【例6】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程去分母，得， ∴， ∵分式方程的解为正整数， ∴a为整数，且， ∵， ∴，，，1， ∴所有满足条件的整数a的值的和为： ． 故答案为：． 【变式3-1】已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则符合条件的整数积是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 关于的分式方程的解为整数， 为整数，且， ， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式的解集为， 又该不等式组有解且至多有个整数解， ， ， 综上所述，符合条件的整数的值为，，，， 符合条件的整数积是． 故答案为：． 【变式3-2】若关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组有解且至多有4个整数解， ， 解得， 解分式方程，得， 的值是奇数且， 且是奇数， 且是偶数， 所有满足条件的整数的值有，，，， ． 故答案为：． 【变式3-3】若实数使得关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组至少有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解： 实数使得关于的分式方程的解为负数， ，且 解得：，且， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 实数使关于的不等式组至少有个整数解， ， ， ，且， 符合条件的所有整数为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 类型四、无理方程的综合 【例7】方程的解的情况是（　　） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两个解 D．有无穷多个解 【答案】D 【详解】解：将方程变形为①， 若，则①成为，即，得； 若，则①成为，即，得； 若，即时，则①成为，即，这是一个恒等式，满足的任何x都是方程的解， 结合以上讨论，可知，方程的解是满足的一切实数，即有无穷多个解． 故选：D． 【点睛】本题考查解无理方程．熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质，是解题的关键． 【例8】方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解：设，则， 原方程化为，则， ∴，， 解方程得，（负值舍去）， ∴或， 解得或， ∴，． 故答案为：，． 【变式4-1】解方程： 【答案】 【详解】解：设，方程变为：， ∴， ∴，解得：， 将方程两边平方，得：， 移项，得：， 解得：，（舍掉）； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的解为：． 【变式4-2】解方程 【答案】 【详解】解：， 移项得：， 两边分别平方得：， 移项、合并同类项得：， 两边再平方得：， 解这个整式方程得：或， 当时，左边右边， 不是原方程的解， 当时，左边右边， 是原方程的解， 原方程份解为． 【变式4-3】解方程：的解为 ． 【答案】 【详解】解： ∴ 则 即 ∵ ∴ ∴（经检验，不合题意，舍去）， 故答案为： 类型五、二元二次方程组求代数式 【例9】已知，为实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得： ， 解得：或， 当时， ， 当时，， ， 整理得：， ， ∴此方程无解； 综上所述，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【例10】已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：对方程组通分化简得到 ①-②得，    ③ 对③式进行移项，因式分解得， ∴或 又∵在经过原点的一条直线l ∴与是正比例函数关系，即 ∴，即 代入得 故答案为A． 【点睛】此题考查了因式分解和正比例函数的有关知识，解题的关键是对方程组进行化简然后再因式分解，求得与的关系． 【变式5-1】已知x，y满足方程组．则的值为（　　） A． B．± C． D．± 【答案】D 【详解】解： ②×3﹣①×2得：3xy+4xy＝108﹣94 ∴xy＝2③ 将③代入②得：x2+4y2＝17 ∴ ＝x2+4y2+4xy ＝17+8 ＝25 ∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5 ∴＝＝± 故选：D． 【点睛】本题主要考查解方程组，巧妙地运用加减消元法化简得出的值，再利用完全平方公式得出的值是解题的关键． 【变式5-2】已知且，那么的值为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解： 由①+②可得③， 由②可得x=， ∴，把代入③得： ， ， ∵x＞0，y＞0， ∴y=或y=， 当y=时，代入②得x=-不合题意，舍去； ∴y=，当y=时代入②得x=， ∴=（+）2=3. 故选：B. 【点睛】本题考查解二元二次方程组，利用加减消元和代入消元法进行解答，解题关键在计算过程中运用正确的方法进行解答. 【变式5-3】设m、n是两个数，若关于a、b的两个式子，是两个同类项，则的值等于 【答案】7 【详解】解：由已知条件得：①，②， 由①+②得：， ∴， 当时，，，代数式不是整式，不合题意； ∴③ 把③代入②得：，解得：， 当时，，代数式不是整式，不合题意，舍去； 当时，，代数式为：，；， 综上所述：． 故答案为：7． 类型六、二元二次方程组的含参问题 【例11】若方程组（m是已知数）有两组不相等的实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：， 由①得：③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 整理得：， ∵方程组（m是已知数）有两组不相等的实数解， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴且； 故答案为：且 【例12】方程组有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ①②，得，即， ∵方程组有实数解， ∴一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解高次方程组和一元二次方程根的判别式，方程组消元转化成一元二次方程是解此题的关键． 【变式6-1】已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0，则（    ） A．x0、y0均为偶数 B．x0、y0均为奇数 C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数 【答案】C 【详解】解：方程有整数解x0，y0， ∴2018x0＋3y02＝n，13x0＋28y0＝m ∵x0，y0为整数， ∴2018x0为偶数，28y0为偶数， ∵n是奇数，m是偶数， ∴3y02是奇数，13x0为偶数， ∴y0是奇数，x0为偶数， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解以及奇数和偶数的性质，掌握方程的解的定义以及奇偶数的性质，是解题的关键. 【变式6-2】k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 【答案】（1）k=1；（2）k<1且k≠0；（3）k>1 【详解】解：将（2）代入（1），整理得k2x2+（2k-4）x+1=0（3）， （1）当时，方程（3）有两个相等的实数根． 即 解得：，　 ∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根． （2）当时，方程（3）有两个不相等的实数根． 即 解得：， ∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根． （3）①若方程（3）是一元二次方程，无解条件是， 即 解得：，　∴k＞1． ②若方程（3）不是二次方程，则k=0，此时方程（3）为-4x+1=0，它有实数根x=． 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根． 【点睛】本题考查了二次方程组根的情况，解题关键是把方程组转化为方程，再分类讨论，利用根的判别式进行求解． 【变式6-3】k为何值时，方程组只有唯一解？ 【答案】k=. 【详解】      由（2）得， y=x-k（3）      将（3）代入（1）得，， 要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即 ， 解得，k=. 所以当k=时，方程组只有唯一解. 【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键． 类型七、新定义题目 【例13】定义，其中为常数， ①当时，若，则 ； ②若无解，则 ． 【答案】 /0.5 1 【详解】解：①当时，若， 则有，解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以； ②根据题意，，， 若无解， 则有恒成立， 当时， 可有恒成立， 所以， 所以， 所以； 当时， 可有恒成立， 所以， 所以， 所以． 综上所述，． 故答案为：①；②1． 【例14】新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√ (2) (3)或 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，解得：， ∵ 故①的答案为：×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案为：√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或． 【变式7-1】定义运算“※”：若，则的值为 ． 【答案】或10 【详解】解：由题意，得：当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解． 综上所述，或10． 故答案为：或10． 【变式7-2】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数的积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“友好数”，其中结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“友好数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6.已知25，a，这三个数是“友好数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，则所有满足条件的整数a的和 ． 【答案】 【详解】∵25，a，这三个数是“友好数”， 为正整数，，，，且，，都是正整数， ∵， ∴， ∴分以下两种情况： ①当， 则最大算术平方根是，最小算术平方根是， ∴，则， 解得：，与为正整数矛盾，不符合题意，舍去； ②当， 则最大算术平方根是，最小算术平方根是， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴或或或， ③当，则， 则最大算术平方根是，最小算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴或或或或或36或49或64或81或100或121或144或169或196， 综上可知，所有满足条件的正整数a是小于225的完全平方数， ∵， 则所有满足条件的整数a的和是． 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，理解“友好数”的定义是解题关键． 【变式7-3】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）由题意可得： 解得； （2）由题意可得： ①+②并整理得：x=m+1， ②-①并整理得：y=3m-2， 把x=m+1，y=3m-2代入③并整理得：4m=4， ∴m=1； （3）解为 对 令， ∴ ∴ ∴①，即 ②，即 【点睛】本题考查二元方程组的解，把二元高阶方程组转化为二元一次方程组求解是解题关键． 类型八、代数方程的实际应用 【例15】根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各．若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 【例16】五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸． 【答案】42 【详解】如图1， 由题意得：， ， 设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分， 当时，两家同时到达西人工岛，则， 解得：， 设千米，则， ， ∴， 即， 解得：， ∴， ， ， ，， 检验：当时，无意义，故舍去；当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解是． ∴， ∴穿梭巴士的时间， 答：穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸． 故答案为：． 【变式8-1】一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， ∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， ∴根据第二天总利润为元可得， ， 整理得，， 解得，， 当时，，， ∵， ∴符合题意； 当，， ∵， ∴不合题意，舍去； ∴， 故选：． 【变式8-2】某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 【变式8-3】某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为；苹果、橘子、车厘子售价分别比其进价高；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为．年前水果店一共卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、车厘子售价分别是进价的、、．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为；则这批水果最后的总利润率为 ． 【答案】 【详解】解：设苹果、橘子、车厘子进价分别为，则降价前苹果、橘子、车厘子的售价分别为， ∴降价后，苹果、橘子、车厘子的售价分别为， 设每个礼盒中苹果，橘子，车厘子的数量分别为，年前销售礼盒z个，则年后销售礼盒个， ∵年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为； ∴， ∴， 解得， 经检验：是方程的解， ∴年前销售礼盒40个，年后销售礼盒10个， 这批水果的总成本为， 年前销售利润为 ， 年后销售利润为 ， ∴总利润率， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，正确设出未知数，根据已知条件求出年前和年后销售礼盒的数量是解题的关键． 1．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 【答案】C 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上所述，方程的解为或， 故选：C． 2．关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 【答案】B 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的不等式组， ∴由①得，， 由②得，， ∵原不等式组无解， ∴， 解得，， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∵， ∴， 综上，， ∴， 故选：D． 4．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、天， 根据题意得，， 由此得出，，； 同理可得；； ∴， 故选：A． 5．数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 【答案】A 【详解】解：由题意可得，， 解得， ， 方程两边平方得到， 则， 即， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴方程的根为， 故选：A 6．方程组的所有整数解的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴y＝1或 或， ①当y＝1时， ∵x+y＝1， ∴x＝0， ∴； ②当x2+3x+2＝0 时， （x+2）（x+1）＝0， 解得x＝﹣2或x＝﹣1， 当x＝﹣2时， ﹣2+y＝1， ∴y＝3， 当x＝﹣1时， ﹣1+y＝1， ∴y＝2， 所以或； ③当y＝﹣1时，﹣1+x＝1， ∴x＝2， 此时 x2+3x+2＝4+6+2＝12， ∴符合题意， 综上所述所有整数解的组数为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了方程组的整数解问题，关键是根据幂为1，判断出底数和指数的大小． 7．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：解方程得， ∵使得关于的分式方程有整数解， ∴或或或或1或2或5或10， ∴或9或6或5或3或2或或， 又∵， ∴， 解得， ∴或9或6或5或3或2或， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴，且， ∴ 或， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：． 8．方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解：设， 则， 观察可得：， 化简可得：， 所以， 即， 两边同时平方可得：， 解方程可得：，， 经检验，，是原方程的解， 故答案为：， 9．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 10．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； (3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值. 【答案】(1)分式方程与无理方程是“相似方程”，理由见解析； (2)和，它们是“相似方程”，公共解为 (3)或或 【详解】（1）解：分式方程与无理方程是“相似方程”，理由如下： 两边用时乘以得：， ∴， ∴， ∴或， 经检验和都是原方程的解； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴分式方程与无理方程有一个相同的解， ∴分式方程与无理方程是“相似方程”； （2）解：联立得：， ∴， ∴， ∴， ∴原方程组的解为， ∴方程和方程有一个公共解， ∴和，它们是“相似方程”，公共解为 （3）解：∵关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”， ∴， ∴， 当时，即不符合题意； 当时，则， ∵x、y都是整数， ∴或或 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元二次方程，解二元一次方程组等等，正确理解题意是解题的关键． 11．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． (1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； (2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 【答案】(1)前 1小时这辆汽车行驶的速度为 (2)以提速后的速度行驶更省油． 【详解】（1）解：设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴前 1小时这辆汽车行驶的速度为； （2）解：设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升， 由题意得， ， 解得， ∴， ∴回来时若以原速度行驶总耗油升， 若以提速后的速度行驶总耗油升， ∵， ∴以提速后的速度行驶更省油． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式、无理、二元二次方程的综合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、分式方程的含参问题 3 类型二、分式方程的增根与无解问题 3 类型三、分式方程与不等式的结合 4 类型四、无理方程的综合 4 类型五、二元二次方程组求代数式 5 类型六、二元二次方程组的含参问题 5 类型七、新定义题目 6 类型八、代数方程的实际应用 7 压轴能力测评 10 知识点1：分式方程： 定义：可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 知识点2：无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： ①变形:当方程中只有一个含未知数的二次根式时，使这个二次根式 单独放在等号一边 ②去根号:方程两边同时平方，将这个方程化成有理方程; ③解有理方程; ④验根:由于去根号两边平方时，未知数的范围扩大而可能产生增根，因此验根必不可少 知识点3：二元二次方程组 1.二元二次方程 （1）定义:仅含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程: （2）理解:①整式方程;②含有两个未知数;③含有未知数的项最高次数是2 （3）一般形式: 是常数,且至少有一个不为零) （4）解:能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值 2.二元二次方程组 （1）定义:仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2的方程组; （2）二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解 3.二元二次方程组的解法 （1）解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. （2）解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. （3）解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 类型一、分式方程的含参问题 【例1】已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是 ． 【例2】若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【变式1-1】若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【变式1-2】已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围为 ． 【变式1-3】关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 类型二、分式方程的增根与无解问题 【例3】若关于x的方程无解，则a的值为 ． 【例4】已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【变式2-1】若关于的方程无解，则的值是 ． 【变式2-2】若关于的方程无解，则的值是 ． 【变式2-3】若关于的分式方程有增根，则的值为 类型三、分式方程与不等式的结合 【例5】若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【例6】若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【变式3-1】已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则符合条件的整数积是 ． 【变式3-2】若关于x的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【变式3-3】若实数使得关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组至少有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 类型四、无理方程的综合 【例7】方程的解的情况是（　　） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两个解 D．有无穷多个解 【例8】方程的解为 ． 【变式4-1】解方程： 【变式4-2】解方程 【变式4-3】解方程：的解为 ． 类型五、二元二次方程组求代数式 【例9】已知，为实数，满足，则的值为 ． 【例10】已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【变式5-1】已知x，y满足方程组．则的值为（　　） A． B．± C． D．± 【变式5-2】已知且，那么的值为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】设m、n是两个数，若关于a、b的两个式子，是两个同类项，则的值等于 类型六、二元二次方程组的含参问题 【例11】若方程组（m是已知数）有两组不相等的实数解，则m的取值范围是 ． 【例12】方程组有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0，则（    ） A．x0、y0均为偶数 B．x0、y0均为奇数 C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数 【变式6-2】k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 【变式6-3】k为何值时，方程组只有唯一解？ 类型七、新定义题目 【例13】定义，其中为常数， ①当时，若，则 ； ②若无解，则 ． 【例14】新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【变式7-1】定义运算“※”：若，则的值为 ． 【变式7-2】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数的积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“友好数”，其中结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“友好数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6.已知25，a，这三个数是“友好数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，则所有满足条件的整数a的和 ． 【变式7-3】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 类型八、代数方程的实际应用 【例15】根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各．若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【例16】五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸． 【变式8-1】一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【变式8-3】某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为；苹果、橘子、车厘子售价分别比其进价高；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为．年前水果店一共卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、车厘子售价分别是进价的、、．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为；则这批水果最后的总利润率为 ． 1．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 2．关于x的方程有增根，则m的值是（   ） A．0 B．5 C．3 D．3或5 3．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 4．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 6．方程组的所有整数解的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ． 8．方程的解为 ． 9．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 10．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； (3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值. 11．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． (1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； (2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$