北京市第八中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

北京八中2024-2025学年度第一学期期末练习题 2024-2025学年度第一学期期末练习题 年级：高二科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项) 1.在WF-2的展开式中，x2的系数为( A.-5 B.5 C.-10 D.10 2.直线1的方向向量是e=（1,),则直线1的倾斜角是( A君 B. 5元 D.6」 3.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B3,0),若AF=BF,则 AB=() h A.2 B.22、 C.3 D.32 4.{a,}和6，}是两个等差数列，其中0≤<5)为一固定常数值，a,干288，a,=96, b=192,则6=( A.32 B.48 C.64 D.128 5.已知数列a,}满足a=1-1 (neN),且a=2,则a2om=() A.-1 B.1 D.2 2 3-2 C 6椭圆C:+广Q>>0的左顶点为A,点P2均在C上，且关于y轴对称 第1页共6页 北京八中2024-2025学年度第一学期期末练习题 1 直线4P,4的斜率之积为子，则C的离心率为( A.3 B. 2 2 2 D 7已知椭圆G苦+户-1和双曲线G兰 -少=1的离心率之积为1，则双曲线C,的 两条渐近线的倾斜角分别为( ) A君 33 C. 66 D.2n 33 8.已知等比数列{an}的公比为9且9≠1，记Tn=aa2…an(n=1,2,3,),则“a,>0且 q>1”是“红n}为递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.在平面直角坐标系中，已知点4A2,0)B0,2),圆C:(x-a}+y2=1,若圆C上存 在点M,使得M4+MB=12,则实数a的取值范围为 A.[1-√2,1+2√2] B.[1-2W2,1+2W2] C.[1,1+2W2] D.[1-√2,1+V2] 0如图所示，R,乃是双曲线C号=0>0,6>0的左、右焦点，过的直线 与C的左、右两支分别交于A,B两点.若AB:BF:AF=3:4:5,则双曲线的 离心率为( A.2 B.√5 C.3 D.5 F 第2页共6页 北京八中2024-2025学年度第一学期期末练习题 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11.若(2-x=a0+ax+a2x2+…+a6x°，则ag+4=一 12.当点P3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大值时，m的值为一 13.已知数列{an}满足a1>a,且其前n项和Sn满足Sn<Sn,请写出一个符合上 述条件的数列的通项公式a。=一 4等差数列a的前n项和为8，马=3，S=10,则 15.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波 那契数列{an}满足a=a2=1,an=an4+an-2(n≥3，neN).给出下列四个结论： ①存在m∈N',使得a。,amH,a2成等差数列； ②有在m∈N',使得am,amt1,amt2成等比数列； ③存在常数1，使得对任意n∈N,都有a,ta2,a4成等差数列： ④不存在正整数，，，im,且1<<…<n,使得4+a+…+a.=2023. 其申所有正确结论的序号是 三、解答题（共6题，满分85分） 16.(本小题13分) 在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两 个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、 劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查 结果转化为各户的贫困指标x和，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+” 表示乙村贫困户. ,指标y 重 ++ +,+ 十第十幸 tt士++ + 十十 率率奉率来 100=-------- + + 0.6 0.8 指标x 第3页共6页 北京八中2024-2025学年度第一学期期末练习愿 若0<x<0.6,则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6≤x≤0.8，则认定该户为“相 对贫困户”，若0.8<x≤1，则认定该户为“低收入户”；若2100，则认定该户 为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”， (I)从甲村50户随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫闲户”的概率； (Ⅱ)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中 乙村的户数，求5的分布列和数学期望E(5)； (皿)试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）， 17.(本小题13分) 已知正方体ABCD-AB,CD,点E为AD中点，直线B,C安平面CDE于点F. (I)证明：点F为BC,的中点： D (I)若点M为棱AB上一点，且二面角M-CF-E 的余弦值为 求4M的值. 3， AB 18. (本小题14分) 已知椭圆E: +左=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,0以1，o),过斤且 斜率为三的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为B. 4 (I)求椭圆E的方程： (I)如图，下顶点为A,过点B0,2)作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E 第4页共6页 北京八中2024-2025学年度第一学期期末练习题 于C,D两点，直线AD,AC分别交x轴于点H,G.求证：△ABC与△AOH的面 积之积为定值，并求出该定值. 19.(本小题15分) H地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图）， 考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表（该预测价格 与亩产量互不影响) 神 组 明年冬小麦统一收购价格 0.01----- 2.4 3 0.005 (单位：元kg) 概率 0.4 0.6 0375425475525H产#(kg) 假设图中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率。 (I)试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率； (Ⅱ)设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则 可使每亩冬小麦产量平均增加50kg,从广大种植户的平均收益角度分析，你 是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由， 北京八中2024-2025学年度第一学期期末练习题 20.(本小题15分) 已知焦点在y特上的椭圆C:学+号=0>60过点0，且离心率为迫泛 A,B分别为椭圆C的下顶点和上顶点，P为椭圆上异于AB的一点，直线AP,BP分 别与直线：y=4相交于M,N两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H, (I)求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)判断三点A,H,N是否共线，并证明你的结论， 21.(本小题15分) 已知集合A={aa=(x,x,x,x),xeN,i=1,2,3,4}.对集合A中的任意元素 a=(,,为，x4),定义T(侧)=（压-x-b-xbk-0,当正整数n22 时，定义T(a)=TT(a(约定T'(a)=T(a (I)若a=(2,0,2,1),B=(2,0,2,2),求T(a)和T(); (T)若a=(5,x,,x)满足∈{0,1i=1,2,3,4)且T2(a)=(1,11,1),求a的所有 可能结果； (Ⅲ)是否存在正整数n使得对任意α=（名，为2，为，x)eA(x≥x≥x≥x)都有 T(a)=(0,0,0,0)？若存在，求出n的所有取值：若不存在，说明理由. 北京八中20242025高二数学第一学期期末练习题答案 北京八中20242025高二数学第一学期期末练习题答案 一、 选择题 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 C C B D D A C B B C 二、填空题 11.-96 12.-1 13. (答案不唯一) 2n 14. 15.①③ n+1 三、解答题 16解：（①）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户， 所以从甲村50户中随机选出一户， 5 该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为P= -=0.1. 4分 50 (2)由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户， 依题意，5的可能值为0,1,2,3. P(5=0)= C20-,P=）= C号_60_1 C%1206 C=120=2' P(5=2)= 20P=3= CC-36=3 C41 12030 所以5的分布列为： 0 2 3 1 6 2 10 30 3 故5的数学期望E()=0×二+1×一+2× +3× 112 =1.2. ---10分 6 2 10 3010 (3)这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差 ------13分 17.解：()证明：因为ABCD-AB,CD为正方体，所以AD//BC,CD/1CD, 又因为CDc平面AB,CD,CDc平面ABCD,所以CD∥平面AB,CD, 第1页共7页 北京八中20242025高二数学第一学期期中练习题答案 因为平面CDEFO平面AB,CD,=EF,且CDc平面CDEF,所以CD/IEF,故CD,IIEF, 所以四边形EFC,D为矩形，又点E为AD中点， 散CF=DE=40-CB, 故点F为BC的中点： ---6分 (2)因为ABCD-AB,CD为正方体，故DA,CD,DD两两垂直， 以D为坐标原点，分别以DA,CD,DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 令正方体ABCD-ABCD的棱长为2，设AM=A4B(0<<), 则C(02,0),E1,0,2),F1,2,2),M(2,22,2),CE=(1,-2,2),CF=(1,0,2), CM=(2,21-2,2), 设平面CEF的法向量为元=(x1,片，)， CE.=0 则 即 x-2y+24=0 CF.=0 x+23=0 故片=0，令=-1，x=2，可取m=(2,0,-1), 设平面CMF的法向量为应=(2，上，2)， CM=0 ∫2x2+(21-2)y2+2z2=0 则 CF.=0 即 x2+2z2=0 令2=-1，则为=2，h-元' 可取成=(2， 1-元，-)，设二面角M-CF-E为6，且0为锐角， 1 故c0s8c0s<乃，西H:日 4+1 5 1m川n21 2+-2+2+ 3 解得=0川，故=号 4B2 --13分 第2页共7页 北京八中20242025高二数学第一学期期中练习题答案 18.解：(0过5（←10）且斜率为5的直线方程为y=三 (x+1), 「a2-b2-1. 令x=1,则y= 解得a2=2,b2=1,，所以椭圆E的方程为 2 ,由题意可得{11 2621. 、之2= -4分 (2)由题意知，直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y=x+2.设D(x,y),C(x2,y2), 路=+2代入+护=1，得0+2+8r+60 -8k 6 所以无+名1+2欢，西1+2水 由△=16k2-24>0,k2>3 所以y+=k5+5)+4=,4 1+2k2 y2=(+2)2+2)=k2x2+2k(:+x)+4= 4-2k2 1+2k2 直线D的方程为y=上+x-L, 令y=0,解得x= 1+八 则H队，0)，同理可得G(5,0. 1+ 1+2 1 所以SAABG:SAA0H=2X1× 6 3x出 3 1+2k2 41++乃+y 4 4.4-2k2 1 +1+2k+1+2k2 第3页共7页 北京八中20242025高二数学第一学期期中练习题答案 3 6 361 41+2k2+4+4-2k2 492 所以△1BG与△4OH的面积之积为定值2 --14分 19.解：(1)由频率分布直方图知，亩产量为400kg的频率为0.005×50=0.25，亩产量为450kg 的频率为0.01×50=0.5，亩产量为500kg的频率为0.005×50-0.25， 只有当亩产量为500kg,且收购价格为3元，才能使得明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元， 故所求的概率为0.25×0.6=0.15. 一4分 (Ⅱ)由亩产量为400kg,450kg,500kg,收购价格为2.4元，3元，可知随机变量X的所有可能 取值为960,1080,1200,1350,1500， P(X=960)=0.25×0.4=0.1,P(X=1080)=0.5×0.4=0.2, P(X=1200)=0.25×0.6+0.25×0.4=0.25,PX=1350)=0.5×0.6=0.3, P(X=1500)=0.25×0.6=0.15, 所以X的分布列为 960 1080 1200 1350 1500 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 数学期望E(X)=960×0.1+1080×0.2+1200×0.25+1350×0.3+1500×0.15=1242元. -11分 (Ⅲ)增产后，小麦的亩产量变为450kg,500kg,550kg 由（Ⅱ）可知，X的分布列为 1080 1200 1320 1350 1500 1650 0.1 0.2 0.1 0.15 0.3 0.15 数学期望E(X)=1080×0.1+1200×0.2+1320×0.1+1350×0.15+1500×0.3+1650x0.15=1380元， 因为1380-125=1255元>1242元 所以从广大种植户的平均收益角度分析，建议农科所推广该项技术改良。 --15分 第4页共7页