上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

交大附中高二月考数学试卷 一．填空题 1. 设集合，，则______． 2. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______． 3. 若，则的虚部是_________. 4. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则_________. 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为____________． 6. 在等差数列中，，则________． 7. 已知是偶函数，则______． 8. 已知，，则______． 9. 过点作圆的切线，则切线的一般式方程为______． 10. 已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为______． 11. 如图，在等边中，，点为边上的一动点，则的最小值为______． 12. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是______． 13. 记等比数列的前项和为，若，下列四个命题：①是递减数列；②有最大项；③是递增数列；④有最小项．其中真命题的序号是______． 14. 长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 15. 已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为______． 16. 已知三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，则锐角的取值范围是______． 二．选择题 17. 已知、，，，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 18. 数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（ ） A. B. C. D. 19. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 20. 平面直角坐标系中，点是圆上的一个定点，点是圆上的一个定点，若矩形的顶点、都在曲线上，则满足条件的矩形（ ） A. 存在无穷多个 B. 存在有限个 C. 存在唯一一个 D. 可能不存在 三．解答题 21. 如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，、分别是、的中点. （1）证明：平面； （2）若直线上平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出点的所有可能位置；若不存在，请说明理由. 22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点． （1）当变化时，点始终在某个椭圆上运动，求出椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于、不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于、不同的两点. ①证明：为定值； ②求面积的取值范围. 交大附中高二月考数学试卷 一．填空题 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】6 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】②③④ 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 二．选择题 【17题答案】 【答案】A 【18题答案】 【答案】B 【19题答案】 【答案】D 【20题答案】 【答案】C 三．解答题 【21题答案】 【答案】（1） 因为为圆的一条直径，且是圆上异于、的点，故， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2） 存在，理由如下： 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内， 则，，，，，， 由直线平面且过点，以及平面，得， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则则，即，取，得， 易知平面的法向量， 设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为， 则， ， 由，得，即，解得， 所以当点与点重合时，直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等. 【22题答案】 【答案】（1） （2） ①证明：令直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，，， 因此（为定值）． 又因为当的方程为时，直线与直线重合，不符合题意． 所以（定值）． AI ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $