精品解析：北京市顺义区第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

顺义一中2024~2025学年度第一学期12月月考 高一数学 2024.12 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知p：θ为锐角，q：θ为第一象限角，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 如果函数的一个零点是，那么φ可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中，满足对任意的，都有的是（ ） A. B. C. D. 9. 近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到（ ） A. 80个单位 B. 120个单位 C. 160个单位 D. 320个单位 10. 若直角坐标平面内的两点A，B满足条件：①A，B都在函数的图象上；②A，B关于原点对称．则称点对是函数的一对“和谐点对”（点对与看作同一对“和谐点对”）．已知函数，则此函数的“和谐点对”有（ ） A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 二、填空共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边与单位圆交于点，则______． 12. 若，，则______ 13. 已知扇形半径为3，圆心角为，则扇形圆心角所对的弧长为______，扇形面积为_______． 14. 已知函数没有零点，则a的一个取值为______；a的取值范围是______． 15. 几位同学在研究函数时给出了下列四个结论： ①的图象关于轴对称； ②在上单调递减； ③的值域为； ④当时，有最大值； 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（共6小题共85分）． 16. 设全集，集合，． （1）求； （2）当时，求； （3）若，都有，直接写出一个满足条件的m值． 17. 已知. （1）求的值. （2）若，求的值. 18. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论； （3）若函数，求实数的取值范围. 19. 某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足如图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为106.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于101时，空气就属于污染状态. （1）求函数的解析式； （2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由. 20. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值与最小值，并指出相应的x的值． 21. 若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质M：反之，若不存在，则称函数不具有性质M． （1）判断函数是否具有性质M，若具有性质M，求出对应的的值；若不具有性质M，说明理由． （2）已知函数具有性质M，求a的取值范围． （3）证明函数具有性质M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义一中2024~2025学年度第一学期12月月考 高一数学 2024.12 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合即可. 【详解】. 故选：B 2. 已知，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结构相同的式子比较大小，可以根据式子结构构造函数，利用函数的单调性比较大小. 【详解】对于A：因为在为增函数，又因为，所以，故A错误； 对于B：因为在为增函数，又因为，所以，即，故B错误； 对于C：因为在为增函数，又因为，所以，故C错误； 对于D：因为在上为减函数，又因为，所以，故D正确. 故选：D. 3. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理判断即可. 【详解】函数的定义域为，且为单调递减函数， ，，所以， 由零点存在定理可知包含零点的区间是， 故选：. 4. 已知p：θ为锐角，q：θ为第一象限角，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由θ是锐角,则θ是第一象限角，反之不成立，可得结论. 【详解】由θ是锐角，则θ是第一象限角；反之不成立，例如是第一象限的角，但是不是锐角. 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】按分段定义域代入，利用对数求值即可. 【详解】由， 故选：C. 6. 如果函数的一个零点是，那么φ可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质，列出方程，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数的一个零点是，可得， 即，解得， 当时，可得. 故选：D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的性质即可比较大小. 【详解】因为指数函数为减函数， 所以， 因为对数函数为减函数，所以， 所以. 故选：D. 8. 下列函数中，满足对任意的，都有的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数对数的运算规则，逐项计算检验即可. 【详解】任意的，， 对于函数，有，故A满足； 对于函数，有，故B不满足； 对于函数，有，故C不满足； 对于函数，有，故D不满足. 故选：A. 9. 近年来，密云区生物多样性保护成效显著，四百多种野生鸟类在密云繁衍生息，近万候鸟变留鸟，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为耗氧量的函数.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到（ ） A. 80个单位 B. 120个单位 C. 160个单位 D. 320个单位 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意结合对数运算求得，然后列方程，利用指对互化求解即可. 【详解】因为两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为， 所以，所以，所以， 当两岁燕子飞行速度为时，，解得，所以， 即两岁燕子飞行速度为时，其耗氧量达到160个单位. 故选：C 10. 若直角坐标平面内的两点A，B满足条件：①A，B都在函数的图象上；②A，B关于原点对称．则称点对是函数的一对“和谐点对”（点对与看作同一对“和谐点对”）．已知函数，则此函数的“和谐点对”有（ ） A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意：只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可，作出图象可得结论． 【详解】根据题意：“和谐点对”的定义，可知， 只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可． 如图所示， 观察图象可得：它们的交点个数是：1． 即函数的“和谐点对”有1对． 故选：B． 二、填空共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边与单位圆交于点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由余弦值的定义先求出的值，再由诱导公式可求出. 【详解】由余弦值的定义得，则. 故答案为：. 12. 若，，则______ 【答案】1 【解析】 【分析】利用指数与对数转化，再用对数运算即可. 【详解】由，得， 则， 故答案为：1. 13. 已知扇形半径为3，圆心角为，则扇形圆心角所对的弧长为______，扇形面积为_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由扇形的弧长和面积公式，依次直接计算即可得解. 【详解】由题扇形半径为，圆心角为， 所以扇形圆心角所对的弧长为， 所以扇形面积为. 故答案为：；. 14. 已知函数没有零点，则a的一个取值为______；a的取值范围是______． 【答案】 ①. 0（符合要求的都可以）； ②. 【解析】 【分析】由基本不等式求出和即可由题意得解. 【详解】因为，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立. 又函数没有零点，即方程没有实数根， 所以a的一个取值可以为0，a的取值范围是. 故答案为：0（符合要求的都可以）；. 15. 几位同学在研究函数时给出了下列四个结论： ①的图象关于轴对称； ②在上单调递减； ③的值域为； ④当时，有最大值； 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①，②，④ 【解析】 【分析】 ①利用定义研究函数奇偶性； ②化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；③④结合单调性与对称性，可求出函数的值域，可知当时，的最大值； 【详解】对于①，函数定义域为，关于原点对称，，即函数为偶函数，其图像关于轴对称，故①正确； 对于②，当时，，利用反比例函数性质，可知函数在上单调递减，故②正确； ③由函数在上单调递减，知在上的值域为，当时，的值域为，利用偶函数对称性知的值域为，故③错误； ④由③知，当时，有最大值； 故答案为：①，②，④ 【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值函数的奇偶性，单调性，值域，解题的关键在于研究函数时一定先求函数的定义域，利用定义域将绝对值函数写成分段函数，利用偶函数只研究上的性质，即可知道函数在定义域上的性质。 三、解答题（共6小题共85分）． 16. 设全集，集合，． （1）求； （2）当时，求； （3）若，都有，直接写出一个满足条件的m值． 【答案】（1）或 （2） （3）3（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）解出集合，直接求解即可； （2）根据集合的并运算直接求解即可； （3）根据条件可知，列出条件，可解得m的范围，在范围内写出一个值即可. 【小问1详解】 因为，， 所以或． 【小问2详解】 当时，， 则． 【小问3详解】 若，都有，则， 所以，则， 故m的值可以为3（答案不唯一）． 17. 已知. （1）求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题设得，即可弦化切求解； （2）先由题设结合（1）求出，再由诱导公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 因为，且，所以， 所以，所以由得，解得， 所以. 18. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论； （3）若函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）函数是奇函数. 由（1）知定义域关于原点对称. 因为 ， 所以函数是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由，求得x的范围，可得函数的定义域； （2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数； （3）由f（x）0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集． 【详解】（1）由 解得 所以 , 故函数的定义域是. （2）略 (3) 由可得 . 得 解得. 【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题． 19. 某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足如图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为106.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于101时，空气就属于污染状态. （1）求函数的解析式； （2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由. 【答案】（1） （2）这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由如下： 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以， 综上所述：这一天在这个时间段的空气，空气属于污染状态. 【解析】 【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解； （2）由（1）可得的解析式，分类讨论解不等式即可得结果. 【小问1详解】 当时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，，可设，， 代入点可得，解得， 故当时，； 点代入，解得， 故当时，； . 【小问2详解】 略 20. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值与最小值，并指出相应的x的值． 【答案】（1） （2）函数的单调递增区间为（） （3）当时，函数取到最大值为2；当时，函数取到最小值为 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代入求解函数值即可； （2）根据正弦型函数的单调性求解函数的单调递增区间即可； （3）整体法换元结合正弦函数的图象性质确定函数的最值即可得结论. 【小问1详解】 因为，所以， 【小问2详解】 由，，得到，， 所以函数的单调递增区间为（） 【小问3详解】 当，，令，则， 由的图像知， 当时，即时，最小为． 当时，即时，最大为2， 所以当时，函数取到最大值为2；当时，函数取到最小值为． 21. 若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质M：反之，若不存在，则称函数不具有性质M． （1）判断函数是否具有性质M，若具有性质M，求出对应的的值；若不具有性质M，说明理由． （2）已知函数具有性质M，求a的取值范围． （3）证明函数具有性质M． 【答案】（1）具有性质M， （2） （3）证明:将代入条件式， 可得，令，， 由，， 所以函数在上存在零点使得， 即成立，所以函数具有性质M． 【解析】 【分析】（1）将代入，求出即可判断； （2）由题意，存在，使得，化简得有实根，分类讨论即可求出答案； （3）将代入条件式，即判断方程有实数解，即函数有零点. 【小问1详解】 将代入， 可得，解得， 所以函数具有性质M，且． 【小问2详解】 由题意的定义域为R，， 因为具有性质M，所以存在，使得， 得：，化简整理得有实根， 若，得， 若，由，即，解得， ∴． 综上可得． 【小问3详解】 略. 【点睛】思路点睛：关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，本题是在新定义下对函数的综合考查，考查函数与方程思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $