精品解析：浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024学年第一学期期末学业水平监测试卷 九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 明天买彩票中奖 B. 从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件和随机事件的定义．在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件，由此逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A．明天买彩票中奖，是随机事件，故A不符合题意； B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球，是不可能事件，故B符合题意； C．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C不符合题意； D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下，是必然事件，故D不符合题意． 故选：B． 2. 在同一平面内，已知的半径为2，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为2， ∴点P在内， 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式的顶点坐标是，求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 4. 如图，的内接四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可求出答案． 【详解】解：∵的内接四边形中，， ∴， 故选：C 5. 半径为3，圆心角为的扇形面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，扇形的面积为：； 故选D． 6. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解题关键． 根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 【详解】解：∵，把的对应边长放大2倍， ∴点的坐标是：或， 即或． 故选：D． 8. 清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ） A. 米 B. 3米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，三点共线，设光霁桥桥拱圆弧的半径为， ， ∵是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握旋转性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．求出，，得，，根据，得，即得结论． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，矩形中，，，O是对角线上的一点，过点O作的垂线，分别交，于点E，F，且，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、解直角三角形等知识．设，则，得到，勾股定理求出，求出，，则，，根据得到，解得，即可得到的长． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴ 解得， ∴ 故选：C 非选择题部分 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 12. 2024年国庆期间，南明电影院同时上映了《志愿军：存亡之战》、《浴火之路》、《只此青绿》3部电影，李明打算随机选一部电影观看，那么他选中《只此青绿》的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等可能事件概率的计算公式即可完成． 本题考查了简单事件的概率，掌握简单事件概率的计算公式是关键． 【详解】任意选择一部电影观看的所有可能结果数为：3，而选择《只此青绿》观看的可能结果数为1，则选择《只此青绿》观看的概率为： 故答案为： 13. 在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 14. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，理解并掌握正弦的定义是解题关键．找到所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得的对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，，垂足为C， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的内切圆，切点分别为．已知的周长为16，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了圆的切线长定理，熟悉圆的切线长定理是解题的关键． 根据圆的切线长定理知：，，，再根据周长计算即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴，，， ∵的周长为16， ∴，即，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 16. 当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答即可，注意分类讨论． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， ①当时，即，， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； ②当时，即， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； 故答案为：或 三、解答题（本大題有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．） 17. （1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 【答案】（1）3；（2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，特殊角三角函数值的混合计算： （1）直接把所求式子中y用替换，再约分即可得到答案； （2）先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2） ． 18. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上． （1）将绕点A顺时针旋转，得到，请在图中作出． （2）设网格中小正方形边长为1，求上题中点B运动到点的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求弧长： （1）根据网格的特点确定B、C对应点的位置，描出，再顺次连接A、即可； （2）求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴的长为， ∴点B运动到点的路径长为． 19. 如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表． 自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 … 指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 … 指针落在黑色区域的频率p （1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数． （2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率． 【答案】（1）黑色扇形图心角为 （2）小明获赠小礼物的概率是 【解析】 【分析】本题考查了求扇形圆心角的度数以及用频率估算概率． （1）先根据表可推出指针落在黑色区域的频率为，再计算圆心角度数即可； （2）根据图表的信息即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为， ， 答：黑色扇形图心角为90°； 【小问2详解】 解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为， 所以小明获赠小礼物的概率是， 答：小明获赠小礼物概率是． 20. 如图，⊙是的外接圆，是直径，点是⊙上的一个点，且． （1）求证：． （2）是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为⊙的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再根据同弧所对圆周角相等可得结论； （2）根据直径所对圆周角是直角可以得到，平分得到，可得，进而可得结果． 【小问1详解】 证明：， ， （同弧所对的圆周角相等）， ； 【小问2详解】 证明：是的外接圆，是直径， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 又是半径， 为的切线． 21. 如图，A，B两地被大山阻隔，互相通行需要绕行C地，若打通隧道，建成A，B两地的笔直公路，可以缩短A，B两地的路程．已知：，，公里． （1）求A，B两地的距离． （2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？（参考数据：，，，．结果近似到个位） 【答案】（1）A，B两地距离约为270公里； （2）隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约62公里． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题． （1）过点C做辅助线，利用特殊角的三角函数值计算出和的值，即可得解； （2）根据直角三角形性质求出和的值，求的值即可得解． 【小问1详解】 解：过C作，垂足为D， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． 答：A，B两地距离约为270公里． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． ∴． 答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约62公里． 22. 如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18． （1）求的值． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明，得到，求出，即可得到； （2）由三角形中线的性质得到，由，，得到．则，得到，证明，得，则．即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵是的中线，的面积为18， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴，． ∴． 23. 某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． （1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） （2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． （3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 【答案】（1）该玩具每天的销售额为600元 （2）销售该玩具每天的利润最大值为225元 （3）的值为2 【解析】 【分析】（1）先求出时y的值，再根据“销售额＝销售量销售单价”计算即可； （2）根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出w与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，结合x的范围即可求出w的最大值． （3）设每天扣除捐款后的利润为, 根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出z与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，可得时，，结合a的范围即可求出a的值． 【小问1详解】 解：当元时，． ． 答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元． 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，． 答：销售该玩具每天的利润最大值为225元． 【小问3详解】 解：设每天扣除捐款后的利润为,则 ， 当时,达到最大值．将代入得： 即， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴． 答：的值为2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，点C在以为直径的半圆周上，连结，，点D，点E分别在，上运动，且，连结．已知，． （1）求的长． （2）探究：当为何值时，面积达到最大值？并求出最大值． （3）过点D作于点F．当为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1） （2）当时，面积达到最大值，最大值是 （3）为，， 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股地理，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用． （1）先利用正弦定义求出，再利用勾股定理求解即可； （2）设，则，过D作于点F，利用正弦定义得出，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解； （3）分E在F的左侧和E在F的右侧时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵点C在以为直线半圆周上， ∴． ∵，． ∴． ∴． 【小问2详解】 设，则，过D作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴当时，面积达到最大值，最大值是． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴，， 因点D在上运动，故． 第一类情况，E在F的左侧时，． ①当时，如图1． 可得， ∴． ∴． ②当，如图2，可得， ∴， ∴． 第二类情况，E在F的右侧时，， ①当时，如图3， 可得， ∴， ∴（舍去）． ②当时，如图3，可得， ∴． ∴． 综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期末学业水平监测试卷 九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 明天买彩票中奖 B. 从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下 2. 在同一平面内，已知的半径为2，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的内接四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 半径为3，圆心角为的扇形面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（ ） A B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（ ） A. 米 B. 3米 C. 米 D. 米 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 10. 如图，矩形中，，，O是对角线上一点，过点O作的垂线，分别交，于点E，F，且，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 非选择题部分 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为_______． 12. 2024年国庆期间，南明电影院同时上映了《志愿军：存亡之战》、《浴火之路》、《只此青绿》3部电影，李明打算随机选一部电影观看，那么他选中《只此青绿》的概率是_______． 13. 在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是________． 14. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为_______． 15. 如图，是的内切圆，切点分别为．已知的周长为16，，则_______． 16. 当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则_______． 三、解答题（本大題有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．） 17. （1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 18. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上． （1）将绕点A顺时针旋转，得到，请在图中作出． （2）设网格中小正方形边长为1，求上题中点B运动到点的路径长． 19. 如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表． 自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 … 指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 … 指针落在黑色区域的频率p （1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数． （2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率． 20. 如图，⊙是的外接圆，是直径，点是⊙上的一个点，且． （1）求证：． （2）是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为⊙的切线． 21. 如图，A，B两地被大山阻隔，互相通行需要绕行C地，若打通隧道，建成A，B两地的笔直公路，可以缩短A，B两地的路程．已知：，，公里． （1）求A，B两地的距离． （2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？（参考数据：，，，．结果近似到个位） 22. 如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18． （1）求的值． （2）求四边形的面积． 23. 某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． （1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） （2）求销售该玩具每天利润w（元）的最大值． （3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a值为多少？ 24. 如图，点C在以为直径的半圆周上，连结，，点D，点E分别在，上运动，且，连结．已知，． （1）求的长． （2）探究：当为何值时，面积达到最大值？并求出最大值． （3）过点D作于点F．当为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$