山东省青岛市2025届高三上学期部分学生调研检测（1月）数学试题

青岛市2025年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2025.01 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．若，其中，则（ ） A．2 B． C．3 D． 3．已知等差数列的前项和为，，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知圆与圆恰有3条公切线，则的最大值是（ ） A． B．4 C．2 D． 5．设函数，则可以是（ ） A． B．1 C．2 D．3 6．“超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，不等式恒成立，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 8．实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（ ） A． B． C．3 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量满足，则（ ） A． B． C． D． 10．已知点是圆上一动点，点，线段的中垂线交直线于点，若点的轨迹为曲线，则（ ） A．曲线的方程为 B．线段中点的轨迹方程为 C．的最小值为5 D．直线与曲线只有一个公共点 11．曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则（ ） A． B．数列为等差数列 C． D．数列的前项和小于2 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．二项式展开式中含项的系数为80，则__________． 13．函数（且）的图象关于点（）对称，则__________． 14．称集合为“集合”，如果满足如下三个条件： ①中有20个元素； ②中的每个元素是包含于的闭区间； ③对任意实数，中包含的元素个数不超过10． 对于“集合”，满足的区间对的个数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某种产品每吨成本7万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 8 9 10 9 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到） 附：（参考公式） 16．（15分） 已知内角的对边分别为，． （1）证明：； （2）求的最小值． 17．（15分） 已知为坐标原点，抛物线，点在上．当为等边三角形时，其重心为． （1）求的方程； （2）已知点，直线是圆的两条切线．求的面积． 18．（17分） 如图，在四棱柱中，四边形为正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若四棱柱所有棱长为2，．记四边形的外接圆圆心分别为，点分别在平面上，且． （i）求二面角的最大值； （ii）根据（i）的结论，求外接圆直径的最大值． 19．（17分） 记为各项均为整数且最后一项不为0的项数列，其对应的多项式函数记为． 若存在整数使得，则记． 若存在和，使得，则称是可约的． 对于，若存在质数，使得均是的倍数，不是的倍数，不是的倍数，则称是不可分的． （1）设，证明：是3不可分的； （2）已知：若是不可分的，则不是可约的． 证明：不是可约的； （3）若（其他未写出的各项都是0） 证明：不是不可分的． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$青岛市2025年高三年级部分学生调研检测 数学参考答案及评分标准 一、单项坪题：本题共8小题，年小题5分，共40分 1-8:CBDA CDBB 二、多项地挥题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BC 10.ABD 11.ACD 三、冀空愿：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 3 12.5: 13.21 14.300. 县、解答愿：本频共5小题，共7分 15.(13分) 第：()依题愈得：京=8+85+9+95+10 4…1分 5 D=115+10.5+9+7.5+65 9……4…2分 5 2x-0-习 6= 2低 _8-9015-9+85-910.5-9)+9-909-9+(95-9759410-9659叨 (8-9)°+85-9)+(9-9)+(9.5-9)+10-9月 6 5=-2.6 …5分 a=下-=9+2.6×9=32.4，所以=br+à=-2.6x+32.4…7分 (2)由题意，销售利润为()=（红一7刀…8分 =(（-2.6r+32.40(x-7刀=-2.62+50.6r-226.8……11分 当97时，利聚最大值 所以预测情售价格是9.7万元吨时，该产品销售利润最大44…13分 16.(15分) 挪：(1)由b2=c(a十c）得b2=aC十C2…1分 由余弦定理得b2=d2+c2-2 ac cos B, 得ac+c2=a2+c2-2acC0sB…2分 得C=日-2CC08B*n44+…3s分 由正弦定理得 数学参考答案第1页共6页 sinc=sinA-2sinCcos B=sin(B+C)-2sinC cos B sin(B-C)............. 所以C=B-C或C+B-C=π， 得B=2C减B=π（含掉）……5分 所以B=2C4小…6分 (2)由(1)可知B=2C,A=元-3C 所以2+m42in3C cosC sin B cosC sin 2C 2 sin 2C cosC+cos2C sin C cosC 2sin C cosC 2 2sin Ccos'C+cos2Csin C cosC 2sin CcosC 2,4co82C-13 2cosC +2C08C4a4 2cosC 0<C<π 由题意，0<2C<元 0<π-3C<元 得0<C<π 所以片<co8C<, 444412分 所以、3 3 2mg+2co8C222c0C×2c0sC=2W5…13分 当且仅当2co8C 2oC,甲caC-9时，等号 414分 所以 2+n的最小值是25.15分 cosC sin B 17.(15分) 解：(1)设B(,),点B,C于x轴对称，所以BC⊥x轴…2分 所以3，解得5=6印. 4分 y=2p% 又因为△OBC的重心坐标为(4,0)，所以6p=6,p=14-5分 所以「的方程为：y2=2x… n6分 (2)设点B在点C的左剩，显然∠BPD=∠CPD,且PD⊥x轴，所以直线PB,PC 的倾斜角8,8，互补，斜率互为相反数 8分 设直线PB与四D的切点为H,则 数学参考谷案第2页共6页 2W5 sim∠BPD=DH.5- DPI 2 ,tan∠BPD=1 设B(,),C(,), 所以an8=2,即=-2-当-2=2 名2星一222，解相%=-1分一1分 2 同理tan8=-2,即ke= 2 9 为十2-2，都得头=-36 412分 行-)C号-3)，线8C的方程为：2x+4y+30 BC√4+16=25 点P到直线BC的距离d=4+8+3_35 √20 2 所以Secd-25x35-5 15分 22 18.(17分) 廊：(I)因为BD⊥AC,BD⊥AC,AC∩AC=A, 所以BD⊥平面AACC44…3分 又因为BDC平面ABCD,所以平面A4CC⊥平面ABCD…4…4分 (2)因为BD⊥平面A4CC,所以AA⊥BD, 又因为AA⊥BC,BC门BD=B,所以A4⊥平面ABCD…5分 此时四棱柱ABCD-ABCD,是梭长为2的为正方体， (法1))以A为原点，AB,AD,L4所在直线分别为x轴，y轴，：轴，建立空间直角坐 标系A-92,则A(0,0,0),A(0,0,2),0,(0,1,),P0+cosg,1+sinp,0), 设平面AAP的一个法向量为m=(:,片，)，则 m:4=0 m·AP=0 51=0 Q+cos)x+0+m0y=0'◆=1+i血p, 所以 得m=0+8img,-0+cosp以，0) …8分 mAO=0 设平面APO,的一个法向量为n=t,,,),则 mAP=0 数学参考谷案第3页共6页 4+52=0 a+co8网5+0+y=0'令5=1+mp, 所以 得i=0+im单-0+cosp,1+co8p 444…9分 设二面角A-AP-O的大小为a (1+sin)+(1+cos 则co8a= 1+sin )+(1+cos)+sin )+21+cos) (1+sin)+(1+cos) V(1+sin )+2(1+cos (1+cos) 0+n到'+21+co89 岭 0+np) 2 +2 (1+cos 当且当仅当m孕=一时取，此时点P为AB中点13分 所以二面角4一AP-Q的最大值为子 ……14分 ()又因为，点P,B,尸均在一个与正方体各棱都相切的球W上，球W直径为2√2 当B,P恰分别为4D,CC,中点时， 剩WQ,l1),P0,0,0,P0,12),P(3,2,),是然WP=-wF+WP), 所以，W,P,,四点共面……16分 所以此时△PRB外接图直径的最大，最大值恰为球W直径2、互 417分 (法2)G)以A为原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴，y轴，：轴，建立空间直角坐 标系A-=,设直线AP与直线BC交点为K, 则A(0,0,0).A,(0,0,2).O(0,1,1D,K(2,1,0120), 设平面44P的一个法向量为m=(任，，)，则 m4A=0 mAK=0 所g50 25+9=0◆5=1， 得=亿，-2,0)）444nn4一11分 设平面APO,的一个法向量为n=(化，乃，5)，则 [n:A0=0 nAK=0 为+52=0 25+g=0◆5=1， 所以 数学参考答案第4页共6页 得h=(亿，-22)… …12分 设二面角A-AP-Q的大小为a, 12+4 P+4 则oa=F+8.F+4VF+8 4、 2+82 等号当仅当1=0时取，此时点P为AB中点…13分 所以二面角4-AP-Q的最大值为子 ()因为点P,,均在一个与正方体各棱都相切的球W上，球甲直径为2√巨15分 当B,恰分别为AD,CC中点时， 则P1,11D,PL,0,0),P(0,1,2),P,(2.0,1),显然WP=-0WP+WP) 所以，W,P,乃，几四点共面…+16分 所以此时△PPB外接国直径的最大，最大值恰为球W直径2√瓦 417分 (法3))记A在平面APO,上的正投影为H,A在直线AP上的投影为G,连结GH, 则AG⊥AP,AH⊥AP,AG∩AH=A,所以AP⊥平面AGH, 所以AP⊥GH,即∠AGH为二面角的平面角，记a=∠AGH…12分 里a-怨号-9，等9收当与0合，G与A合 此时点P为AB中点… ………13分 所以二面角A-AP-0的最大值为4 44…14分 ()因为点P,P,均在一个与正方体各棱都相切的珠W上，球W直径为2√反一15分 当B,卫恰分别为AD,CC中点时， 以A为原点，AB,AD,A所在直线分别为x轴，y轴，：轴，建立空间直角坐标系A-92, 则W1,1,),P1,0,0),P01,2),P(2,0,）,显然WP=-0E+WP), 所以，W,P,,四点共面…16分 所以此时△PP外接国直径的最大，最大值恰为球用直径2√巨…1门分 19.(17分) (1）因为Gh()=2+3x+术2n-1分 所以Gk.(6)=G,(x+)=2+3x+1)+(r+)'=6+6x+32+x 因为6,6,3是3的倍数，6不是32的倍数，1不是3的倍数， 所以T名2是3一不可分的r…3分 (2)由(1)知， Ta}={6.6,3是3-不可分的，所以T{a,=6,63)不是可约的…4分 数学参考谷案第5页共6页 若a=包，3.01}是可约的，则存在色}与。使得G,田=G(G)…6分 则G,(闭=G%(x+1)=G.(r+10Gh(x+1)=G（(xG5k(), 此与Ta={6.6,3)不是可约的矛盾，因此包=包3.0不是可约的4…9分 (3)对于白}=21110,0,3，若存在tEZ,以及质数P,使得Ta是p-不 可分的，由 G.()=121+11r+3r,G,.(=121+116r+0+3(x+0 =121+11+3+6r+1x+3C-1x+3x…1分 则有3不是p的倍数；C1以及3+11和3+111+121是p的倍数； 但3十11+121不是p2的倍数…………13分 分两种情况讨论： 1)若t是p的倍数，则由3”+111+121是p的信数，有p=11,此与3”+111+121不 是p的倍数矛陌…………………15分 2)若1不是P的倍数，则由Ct是p的倍数，有n是p的倍数；再由31+11是p的 倍数，仍然有p=11,此与3+111+121是p的倍数矛后， 所以原结论成立…………17分 数学参考谷案第6页共6页