湖南省长沙市长郡教育集团2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

第1页（共14页） 2022-2023 学年湖南省长沙市长郡教育集团初二数学第一学期期末试卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分。在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的,请在答题 卡中填涂符合题意的选项) 1．以下是汉、唐、明、清四个朝代的服装代表图，图中是轴对称图形的是 ( ) A． 汉朝 B． 唐朝 C． 明朝 D． 清朝 2．已知三角形的两条边长分别为 7cm和3cm ，则第三条边长可以是 ( ) A． 2cm B．3cm C． 6cm D．10cm 3．下列运算结果正确的是 ( ) A． 2 4 6a a a+ = B． 2 2 2( )a b a b+ = + C． 6 2 3a a a−  = − D． 2 3 6 3( 2 ) 8a b a b− = − 4．在代数式 2  ， 1 5 x+ ， 2 2 1x x − ， 3 3x − 中，分式有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．如图， AC 和 BD相交于O点，若OA OD= ，不能证明 AOB DOC   的是 ( ) A． AB DC= B．OB OC= C． A D =  D． B C = 6．若分式 2 2 1x x x − + 的值等于 0，那么 x的值等于 ( ) A．1 B．1 或 1− C． 1− D．0 或 1− 7．如图， D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E ，DE FE= ， / /FC AB， 5AB = ， 1BD = ，则CF 的长度为 ( ) 第2页（共14页） A．2 B．2.5 C．4 D．5 8．如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AD ，则 1 的度数为 ( ) A．30 B．36 C． 45 D．72 9．如图，在平面直角坐标系中，直线 l 过点 A且平行于 x轴，交 y 轴于点 (0,1)， ABC 关于直线 l 对称，点 B 的坐 标为 ( 1, 1)− − ，则点C 的坐标为 ( ) A． ( 2,1)− B． ( 1,3)− C． (1, 3)− D． ( 3,1)− 10．如图，边长为 a、 b 的长方形周长为 20，面积为 16，则 2 2a b ab+ 的值为 ( ) A．80 B．160 C．320 D．480 11．如图，作 AOB 的平分线方法如下：（1）以点O为圆心，适当长为半径，画弧，交OA于点M ，交OB 于点 N ．（2） 分别以点M 、N 为圆心，大于 1 2 MN 长为半径画弧，两弧在 AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ．射线OC 即为所求．由作法得 OMC ONC   的依据是 ( ) 第3页（共14页） A． SSS B． SAS C． ASA D． AAS 12．在平面直角坐标系 xOy 中，O为坐标原点，已知点 (2,3)A ，在坐标轴上找一点 P ，使得 AOP 是等腰三角形， 则这样的点 P 共有 ( )个 A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．用科学记数法表示 0.0001 是 ． 14．若二次根式 1x + 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ． 15．如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的 ． 16．已知 2ma = ， 3na = ，则 m na − = ． 17．已知 2( ) 13a b− = ， 6ab = ，则 2 2a b+ = ． 18．已知关于 x的分式方程 1 2 2 1 1 m x x − − = − − 的解是非负数，则m 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 66 分） 19．计算题： （1）化简： 2( 1)( 3) ( )x x x x x− − − −  ； （2）计算： 1 12 3 (1 2)(1 2) 9  − − − + ． 20．因式分解： 第4页（共14页） （1） 2 23 12x y− ； （2） 29 12 4m m− + ． 21．化简与解方程： （1）化简： 2 3 2 3 ( ) 1 1 1 a a a a a + −  − − − ； （2）解分式方程： 5 1 1 ( 1)( 2) x x x x − = − − + ． 22．近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息（如图），计算今年 4 月份汽油的价格． 23．如图，点 A， D ， B ， E 在同一直线上， AC EF= ， AD BE= ， 90C F = = ． （1）求证： ABC EDF   ； （2） 57ABC = ，求 ADF 的度数． 24．如图， 60ABN = ，点C 为射线 BN 上一定点，E 为线段 AB 延长线上一定点，且 12BE AB= = ，点 A 关于射 线 BN 对称点为D ，连接 BD，CD， DE ． （1）证明： BAC BDC = ； （2）若 P 为直线 BC 上一个动点，求 PDE 周长最小时， P 所在的位置，并求出 PDE 周长的最小值． 第5页（共14页） 25．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧 整式”．例如： 24 8 4 ( 2) 4 2 2 x x x x x x x − − = = − − ，则称分式 24 8 2 x x x − − 是“巧分式”， 4x 为它的“巧整式”．根据上述定义， 解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有 （填序号）； ① ( 1)(2 3)( 2) ( 1)( 2) x x x x x − − + − + ；② 2 5 3 x x + + ；③ 2 2x y x y − + ． （2）若分式 2 4 ( 3 x x m m x − + + 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 7x − ，求m 的值； （3）若分式 3 22 8 6x x x A − + − 的“巧整式”为1 x− ，①求整式 A ； ②当 5 3x = − 时，求整式 A的值的整数部分． 26．如图，已知 ( , )A a b ， AB y⊥ 轴交 y 轴于点 B ，且满足 22022 ( 2022) 0a b− + − = ． （1）求 A点坐标； （2）分别以 AB ，AO 为边作等边三角形 ABC 和 AOD ，如图 1，试判定线段 AC 和 DC 的数量关系和位置关系， 并说明理由； （3）如图 2，过点 A作 AE x⊥ 轴交 x轴于点 E ，点 F ，G 分别为线段OE ，AE 上的两个动点，满足 45FBG = ， 设OF a= ， AG b= ， FG c= ，试证明： 1 1 c a b ab + = ． 第6页（共14页） 答案与解析 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分。在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的,请在答题 卡中填涂符合题意的选项) 1．解： A，C ， D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，所以不是轴对称图形； B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图 形； 故选： B ． 2．解：设三角形的第三条边长为 x cm， 则 7 3 7 3x−   + ，即 4 10x  ， 第三条边长可以是 6cm， 故选：C ． 3．解： A．因为 2a 与 4a 不是同类项不能合并，所以 A选项运算错误，故 A 选项不符合题意； B ．因为 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + ，所以 B 选项运算错误，故 B 选项不符合题意； C ．因为 6 2 6 2 4a a a a−−  = − = − ，所以C 选项运算错误，故C 选项不符合题意； D ．因为 2 3 6 3( 2 ) 8a b a b− = − ，所以 D 选项运算正确，故D 选项符合题意． 故选： D ． 4．解： 2  、 1 5 x+ 是整式， 2 2 1x x − 、 3 3x − 是分式． 故选： B ． 5．解： A． AB DC= ，OA OD= ， AOB DOC = ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 AOB DOC   ， 故本选项符合题意； B ．OA OD= ， AOB DOC = ，OB OC= ，符合全等三角形的判定定理 SAS ，能推出 AOB DOC   ，故本选项 不符合题意； C ． AOB DOC = ， A D =  ，OA OD= ，符合全等三角形的判定定理 AAS ，能推出 AOB DOC   ，故本选 项不符合题意； D ． B C = ， AOB DOC = ，OA OD= ，符合全等三角形的判定定理 AAS ，能推出 AOB DOC   ，故本选 项不符合题意； 故选： A． 第7页（共14页） 6．解：根据题意得 2 2 1 0 0 x x x  − =  +  ， 解得 1x = ， 故选： A． 7．解： / /FC AB ， F ADE =  ， FCE A = ， 在 CFE 和 ADE 中， F ADE FCE A FE DE  =    =   = ， ( )CFE ADE AAS   ， CF AD = ， 5AB = ， 1BD = ， 5 1 4AD AB BD = − = − = ， 4CF = ， CF 的长度为 4， 故选：C ． 8．解： 五边形 ABCDE 是正五边形， AE DE = ， (5 2) 180 108 5 E −    = = ， AED 是等腰三角形， 1 1 1 (180 ) (180 108 ) 36 2 2 ADE E = =   − =   −  = ． 故选： B ． 9．解：根据题意得出点 A和点 B 是关于直线 1y = 对称的对应点，它们到 1y = 的距离相等是 2 个单位长度， 所以点C 的坐标是 ( 1,1 2)− + ，即 ( 1,3)− ． 故选： B ． 10．解： 边长为 a、b 的长方形周长为 20，面积为 16， 10a b + = ， 16ab = ， 2 2 ( )a b ab ab a b + = + 16 10=  160= ． 第8页（共14页） 故选： B ． 11．解：由作法得OM ON= ，CM CN= ， 而OC 为公共边， 所以根据“ SSS ”可判断 OMC ONC   ． 故选： A． 12．解：作出图形，如图，可知使得 AOP 是等腰三角形的点 P 共有 8 个， 故选：C ． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．解： 40.0001 1 10−=  ． 故答案为： 41 10− ． 14．解： 1 0x + ， 1x − ． 故答案为： 1x − ． 15．解：这款手机支架的设计原理是三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 16．解： 2 3 m m n n a a a − = = ． 故答案为： 2 3 ． 17．解： 2( ) 13a b− = ， 6ab = ， 2 2 2( ) 2 13 12 25a b a b ab + = − + = + = ． 故答案为：25． 第9页（共14页） 18．解：去分母得：1 2( 1) 2m x− − − = − ， 化简得： 2 5x m= − ， 5 2 m x −  = ， 分式方程的解为非负数，  5 0 2 m− ， 5m ， 又 5 1 2 m x − =  ， 3m  ， 故答案为： 5m 且 3m  ． 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 66 分） 19．解：（1） 2( 1)( 3) ( )x x x x x− − − −  2 4 3 1x x x= − + − + 2 5 4x x= − + ； （2） 1 12 3 (1 2)(1 2) 9  − − − + 1 2 (1 2) 3 = − − − 1 2 1 3 = − + 8 3 = ． 20．解：（1）原式 2 23( 4 )x y= − 3( 2 )( 2 )x y x y= + − ； （2）原式 2 2(3 ) 2 3 2 2m m= −   + 2(3 2)m= − ． 21．解：（1） 2 3 2 3 ( ) 1 1 1 a a a a a + −  − − − 3 2 3 1 [ ] 1 ( 1)( 1) a a a a a a + − = −  − + − 3 1 2 3 1 1 ( 1)( 1) a a a a a a a a − + − =  −  − + − 3 2 3 ( 1) a a a a + = − + 第10页（共14页） 3 3 2 3 ( 1) ( 1) a a a a a a + + = − + + 1 1a = + ； （2） 5 1 1 ( 1)( 2) x x x x − = − − + ， 方程两边同时乘 ( 1)( 2)x x− + 得 ( 2) ( 1)( 2) 5x x x x+ − − + = ， 整理得 2 22 2 5x x x x+ − − + = ， 解得 3x = ， 检验：当 3x = 时， ( 1)( 2) 0x x− +  ， 原方程的解为 3x = ． 22．解：设去年 10 月份汽油价格每升为 x元，则今年 4 月份的汽油价格每升为 (1 20%)x+ 元， 由题意得： 450 450 10 (1 20%)x x − = + ， 解得： 7.5x = ， 经检验， 7.5x = 是原方程的解，且符合题意， 则 (1 20%) (1 20%) 7.5 9x+ = +  = ， 答：今年 4 月份的汽油价格每升为 9 元． 23．（1）证明： AD BE= ， AB ED = ， 90C F = = ， ABC 和 DEF 是直角三角形， 在Rt ABC 和Rt EDF 中， AB ED AC EF =  = ， Rt ABC Rt EDF(HL)    ； （2）解： ABC EDF   ， 57ABC EDF = = ， 180 123ADF EDF = − = ． 24．（1）证明：连接 AD ，如图， 点 A关于射线 BN 对称点为 D ， BN 垂直平分 AD ， BA BD = ，CA CD= ， 第11页（共14页） 在 BAC 和 BDC 中， BA BD BC BC CA CD =  =  = ， ( )BAC BDC SSS   ， BAC BDC = ； （2）解： BAC BDC   ， 60DBN ABN = = ， BE BA= ， BA BD= ， BE BD = ， E BDE =  ， ABD E BDE =  + ， 60E BDE = = ， BDE 为等边三角形， 12DE BE = = ， BN 垂直平分 AD ， PA PD = ， PE PD PE PA + = + ， PE PA AE+ （当且仅当 P 、 A 、 E 共线时取等号）， 即点 P 点运动到 B 点时， PE PA+ 的最小值为 24，此时 PDE 周长的最小值为 36． 25．解：（1）① ( 1)(2 3)( 2) 2 3 ( 1)( 2) x x x x x x − − + = − − + ； ② 2 5 1 2 3 3 x x x + = − + + ； ③ 2 2x y x y x y − = − + ， 故答案为：①③； 第12页（共14页） （2）由题意得： 2 4 7 3 x x m x x − + = − + ， 2 2( 3)( 7) 4 21 4x x x x x x m + − = − − = − + ， 21m = − ； （3）①由题意得： 3 22 8 6 1 x x x A x − + − = − 2 ( 1)( 3) 1 x x x x − − = − 2 ( 3)x x= − 22 6x x= − ； ②当 5 3x = − 时， 2( 5 3)( 5 6)A = − − 2(5 18 9 5)= + − 46 18 5= − 46 1670= − ， 40 1670 41  ， 41 1670 40−  −  − ， 5 46 1670 6  −  ， A 的整数部分为 5． 26．（1）解： 2| 2022 | ( 2022) 0a b− + − = ， | 2022 | 0a − ， 2( 2022) 0b − ， | 2022 | 0a − = ， 2( 2022) 0b − = ， 2022a b = = ， 点 A坐标为 (2022,2022) ； （2）解：结论： AC CD= ， AC CD⊥ ． 理由： ABC 、 AOD 均为等边三角形， AB AC = ， AO AD= ， 60BAC OAD = = ， BAO CAO BAC + = ， CAD CAO OAD + = ， BAO CAD = ， 在 BAO 和 CAD 中， 第13页（共14页） AB AC BAO CAD AO AD =   =   = ， ( )BAO CAD SAS   ， 2CD OB = = ， 90ACD ABO = = ， AC CD = ， AC CD⊥ ； （3）证明：如图，在 FO的延长线上截取OM AG= ，连接 BM ， AB y⊥ 轴， AE x⊥ 轴， x轴 y⊥ 轴， (2,2)A ， 90ABO AEO BOE = = = ， 2AB AE= = ， 90A BOM = = ， 在 BOM 和 BAG 中， AB BO BOM A OM AG =   =   = ， ( )BOM BAG SAS   ， ABG MBO = ， BG BM= ， 45FBG = ， 90ABO = ， 45ABG OBF + = ， 45MBO OBF + = ， 45MBF FBG = = ， 在 MBF 和 GBF 中， BF BF MBF GBF BM BG =   =   = ， ( )MBF GBF SAS   ， FM FG = ， AG OM= ， OF AG FG + = ， a b c + = ，  a b c ab ab + = ，  1 1 c b a ab + = ，即 1 1 c a b ab + = ． 第14页（共14页）