2025年九年级中考数学复习训练——四边形（能力提升）

中考数学复习之7——四边形（能力提升） 一．选择题（共12小题） 1．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝60°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（　　） A． B． C．3 D．6 第1题 第2题 第3题 4．如图，在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交边AD于点E，∠BCD的角平分线CF交边AD于点F，若AB＝5，BC＝8，则线段EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 第4题 第5题 5．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 6．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（　　） A．cm2 B．50cm2 C．cm2 D．25cm2 7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B．8 C．9 D．9 8．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝1，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF＝3，则△AEF的面积是（　　） A．12 B．15 C．7.5 D．6 第7题 第8题 第9题 9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE，BF相交于点G，连接EF，CG，给出以下结论，其中不正确的有（　　） A．∠BGD＝120° B．BC＝2EF C．BG+DG＝CG D．S四边形BCDGAB2 10．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 第10题 第11题 第12题 12．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC＝4，CD＝2，给出下列结论：①∠BAE＝∠CAD；②∠DBC＝30°；③AE；④AF＝2，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 13．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为 　 　． 14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．则DE的最小值为 　 　． 第13题 第14题 第15题 15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为 　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABOC，A（﹣4，4），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接CE，则CE的最小值为　 　． 第16题 第17题 第18题 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为 　 　． 18．如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　 　． 三．解答题（共10小题） 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． 21．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积． 22．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN； （2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN． 23．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值． 24．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE． （1）求证：△DCE≌△DAF； （2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC． ①求证：HD＝HB； ②若DK•HC，求HE的长． 25．已知：如图①长方形纸片ABCD中，AB＜AD．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②． （1）当AD＝10，AB＝6时，求线段FD的长度； （2）设AD＝10、AB＝x，如果再将△AEF沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若设线段FDDG，请根据题意画出图形，并求出x的值； （3）设AD＝a，AB＝b，△AEF沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH当时，求的值． 26．如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形ABCD中，若∠ADC＝∠ABC，且BD⊥AD，则四边形ABCD为等垂四边形． （1）如图2和如图3，已知四边形ABCD为等垂四边形，∠DAB＝∠DCB，AC⊥BC． ①在图2中，若∠B＝30°，∠ACD＝40°，则∠D的度数为 　 　°； ②在图3中，若CD∥AB，CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由． （2）如图4，在锐角△ABC中，∠C＝50°，∠A＝α，且α＜50°，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出∠D的大小（用含α的式子表示）． 27．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”． 如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是对补四边形． 【应用】 （1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝　 　； （2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，则BC＝　 　； （3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD． ①求证：BC＝CD； ②若∠BAD＝60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由． 28．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，联结EG． （1）如图1，如果PC＝2OP，求证：EG∥AC； （2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似，请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数． 中考数学复习之7——四边形（能力提升） 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A B D D B D D C C C 1．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8， ∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°． 在Rt△COB中，由勾股定理，得， ∴AC＝2OC＝2×3＝6， ∵， ∴，所以AE的长是． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE＝2：1， ∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝OC，∠BCE＝2∠DCE， ∴∠BCE+∠DCE＝2∠DCE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴∠DCO＝60°，∠DCE＝∠OCE， ∵∠ACE+∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝30°． 3．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝60°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【解答】解：连接AC、BD交于点O，如图所示： ∵∠ABC＝60°，菱形ABCD的边长为6， ∴AC⊥BD，BC＝6，∠OBC＝30°， ∴， ∴， ∴， ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴． 4．如图，在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交边AD于点E，∠BCD的角平分线CF交边AD于点F，若AB＝5，BC＝8，则线段EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DFC＝∠FCB， 又CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC， 同理可证：AE＝AB， ∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝10﹣8＝2． 5．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°， ∵F为AE的中点，H为BE的中点， ∴EHBE，FH是△ABE的中位线， ∴FHAB＝2，FH∥AB， ∴FH∥AB∥CD， ∵BE⊥AB， ∴FH⊥BE，CD⊥BE， ∴∠FHE＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°， ∴CEBC＝2， ∴BE2， ∴EHBE， ∴FH＝CE， 在△FHG和△CEG中， ， ∴△FHG≌△CEG（AAS）， ∴EG＝GHEH， 在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF． 6．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（　　） A．cm2 B．50cm2 C．cm2 D．25cm2 【答案】D 【解答】解： 图1连接AC， ∵菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵对角线AC＝10cm， ∴BC＝10cm， ∴CE＝BC＝10cm， 图3过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H， ∵△DCE是等边三角形， ∴∠DCE＝60°， ∴∠ECH＝30°， ∴EHCE＝5cm， ∴△BCE的面积25（cm2），故选：D． 7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B．8 C．9 D．9 【答案】B 【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O， ∵点E、F分别为AP、CP的中点，EF＝2， ∴AC＝2AE＝4， 在菱形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，AC⊥BD， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ADC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝2，AC⊥BD，∠ADO＝30°， ∴ODOA＝2， ∴BD＝2OD＝4， 则菱形ABCD的面积AC•BD4×48．故选：B． 8．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝1，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF＝3，则△AEF的面积是（　　） A．12 B．15 C．7.5 D．6 【答案】D 【解答】解：如图，延长AE和BC交于点G， 在平行四边形ABCD中， ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECG，∠DAE＝∠G， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△GCE中， ， ∴△ADE≌△GCE（ASA）， ∴AE＝EG， ∵AE平分∠DAF， ∴∠DAE＝∠FAE， ∴∠G＝∠FAE， ∴FA＝FG， ∴FE⊥AG， ∵BF＝1，CF＝2， ∴AD＝CG＝BC＝BF+FC＝1+2＝3， ∴FG＝FC+CG＝2+3＝5， ∵EF＝3， ∴， ∴△AEF的面积． 9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE，BF相交于点G，连接EF，CG，给出以下结论，其中不正确的有（　　） A．∠BGD＝120° B．BC＝2EF C．BG+DG＝CG D．S四边形BCDGAB2 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC，∠BCD＝∠A， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴DE⊥AB，BF⊥AD， ∴∠EGF＝360°﹣∠A﹣∠AEG﹣∠AFG＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°， ∴∠BGD＝∠EGF＝120°， 故A不符合题意； ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴BD＝2EF， ∴BC＝2EF， 故B不符合题意； ∵DC∥AB，ED⊥AB， ∴DE⊥CD， 同理：BF⊥BC， ∵DC＝BC，CG＝CG， ∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL）， ∴∠BCG＝∠DCG＝30°，DG＝BG， ∴DG＝BGCG， ∴BG+GD＝CG， 故C不符合题意； ∵CD＝BC，∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴△BCD的面积BC2AB2， ∴四边形BCDG的面积AB2， 故D符合题意． 10．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE＝4， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE＝4， ∵BC＝2AB＝8， ∴EC＝4， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠ACE， ∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°， ∴∠ACE＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确； ③∵BE＝EC，OA＝OC， ∴，OE∥AB， ∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°， 在Rt△EOC中，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠BAD＝120°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠ACD＝90°， 在Rt△OCD中，， ∴，故③错误； ②由③知：OE是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴，故②正确； ④∵BE＝EC＝2， ∴S△BOE＝S△EOC2，故④正确； 故正确的有①②④，故选：C． 11．如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AC，如图， ∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， 又∵点O是BD的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴OA＝OC， ∵OM＝2，AM⊥BC， ∴OA＝OC＝OM＝2， ∵BD＝8， ∴OB＝ODBD＝4， ∴BC2，tan∠OBC， ∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°， ∴∠MAC＝∠OBC ∴sin∠MAC＝sin∠OBC， ∴MC＝ACsin∠MAC， ∴BM＝BC﹣MC＝2， ∴MN＝BMtan∠OBC，故选：C． 12．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC＝4，CD＝2，给出下列结论：①∠BAE＝∠CAD；②∠DBC＝30°；③AE；④AF＝2，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADB， ∵∠CAD＝∠ADB， ∴∠BAE＝∠CAD，故①正确； ∵BC＝4，CD＝2， ∴tan∠DBC， ∴∠DBC≠30°，故②错误； ∵BD2， ∵AB＝CD＝2，AD＝BC＝4， ∵△ABE∽△DBA， ∴， 即， ∴AE；故③正确； ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝45°， ∴∠ACF＝45°﹣∠ACB， ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BAE＝∠ACB， ∴∠EAC＝90°﹣2∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ACF， ∵∠EAC＝∠ACF+∠F， ∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC， ∵AC＝BD＝2，∴AF＝2，故④正确；故选：C． 二．填空题（共6小题） 13．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为 　16cm2　． 【答案】16cm2． 【解答】解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，EF＝4cm， ∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8（cm）， ∵∠ECD＝30°， ∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°， ∴△CEF是等边三角形， 过点E作EG⊥CF于点G， 则EGEF4＝2（cm）， ∴矩形的面积＝8×216（cm2）． 14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．则DE的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】Q解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴CB10， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠PDA＝∠PEA＝90°， ∴四边形ADPE是矩形， ∴DE＝AP， 由垂线段最短可得，当AP⊥BC时，线段AP的值最小， ∵•BC•AP•AB•AC， ∴AP， ∴DE的最小值为 15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为 　6.5　． 【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC10， ∵P是线段EF的中点， ∴APEF＝3.5， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP， 当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3.5＝6.5， ∴GH的最小值是6.5． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABOC，A（﹣4，4），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE＝90°，连接CE，则CE的最小值为　　． 【答案】． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥x轴于点F，连接OE， ∵AD＝DE，∠ADE＝90°，∠DAE＝∠DEA＝45°， ∴∠ADC+∠EDF＝90°． ∵∠ACD＝∠DFE＝90°，AC＝OC， ∴∠DAC+∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠EDF， ∴△DAC≌△EDF（AAS）， ∴AC＝OC＝DF，CD＝EF， ∴CD＝OF， ∴EF＝OF， ∴△OEF为等腰直角三角形， ∴∠EOF＝45°，即OE平分∠BOF， ∴点E在∠BOF的平分线所在的直线上运动， ∴当CE⊥OE时，CE最小，如图． ∴OC＝4， ∴． 故答案为：． 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为 　2或　． 【答案】2或． 【解答】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况： ①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm， ∴BQ＝AP＝4cm； ∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动， ∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s， ∴v的值为：4÷2＝2cm/s； ②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm， ∵5÷2＝2.5s， ∴2.5v＝6， ∴v• 故答案为：2或． 18．如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　10　． 【答案】10． 【解答】解：连接BD， ∵E是AB的中点， ∴S△AEDS△ABDS菱形ABCD＝6， 连接EC， 同理可得S△BEC＝S△AED＝6， ∵S△BEF＝4， ∴S△BEFS△BEC，∴FCBC， ∴S△DFCS△BCDS菱形ABCD＝4， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10． 三．解答题（共10小题） 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC， ∴四边形BDCE为平行四边形， ∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线， ∴， ∴四边形BDCE为菱形； （2）解：连接DE交BC于O点，如图， ∵四边形BDCE为菱形，BC＝4， ∴， ∴∠ACB＝60°， ∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴DC＝2OC＝4，DOOC＝2， ∴． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13， ∵AE⊥BC， ∴S四边形ABCD＝BC•AE， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得： ∴， ∴BD＝2BO＝24， ∵S四边形ABCDAC•BD＝BC•AE， ∴， ∴． 21．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB， ∵DB平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝4，AD∥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠DAG＝90°， ∴DG5， ∵AB∥CD，DG⊥DC， ∴DG⊥AB， ∴S△ADGDG•AFAD•AG， ∴AF， ∴DF， ∴S菱形ABCD＝AB•DF＝4． 22．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN； （2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN． 【解答】解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH， ∵BM∥NH， ∴四边形MBHN为平行四边形， ∴MN＝BH， ∵四边形ABCD是正方形． ∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C， ∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°， ∴∠BAP＝∠CBH， ∴△ABP≌△BCH（ASA）， ∴BH＝AP， ∴MN＝AP； （2）如图2，连接FA，FP，FC ∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点， ∴FA＝FC， 又∵FE垂直平分AP， ∴FA＝FP， ∴FP＝FC， ∴∠FPC＝∠FCP， ∵∠FAB＝∠FCP， ∴∠FAB＝∠FPC， ∴∠FAB+∠FPB＝180°， ∴∠ABC+∠AFP＝180°， ∴∠AFP＝90°， ∴FEAP， 由（1）知，AP＝MN， ∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF， ∴EF＝ME+FN． 23．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值． 【解答】（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO＝45°， ∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°， ∴OB＝OQ， 在△AOB和△OPQ中， ∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ， ∴∠AOP＝∠BOQ＝90°， ∴OA⊥OP； （3）如图，过O作OE⊥BC于E． ①如图1，当P点在B点右侧时， 则BQ＝x+2，OE， ∴y•x，即y（x+1）2， 又∵0≤x≤2， ∴当x＝2时，y有最大值为2； ②如图2，当P点在B点左侧时， 则BQ＝2﹣x，OE， ∴y•x，即y（x﹣1）2， 又∵0≤x≤2， ∴当x＝1时，y有最大值为； 综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2． 24．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE． （1）求证：△DCE≌△DAF； （2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC． ①求证：HD＝HB； ②若DK•HC，求HE的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°， ∵CE＝AF， ∴△DCE≌△DAF（SAS）； （2）①∵△DCE≌△DAF， ∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF， ∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∴△DFE为等腰直角三角形， ∵DH⊥EF， ∴点H是EF的中点， ∴DHEF， 同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HBEF， ∴HD＝HB； ②∵四边形ABCD为正方形， 故CD＝CB， ∵HD＝HB，CH＝CH， ∴△DCH≌△BCH（SSS）， ∴∠DCH＝∠BCH＝45°， ∵△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DFE＝45°， ∴∠HCE＝∠DFK， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DKF＝∠HEC， ∴△DKF∽△HEC， ∴， ∴DK•HC＝DF•HE， 在等腰直角三角形DFH中，DFHFHE， ∴DK•HC＝DF•HEHE2， ∴HE＝1． 25．已知：如图①长方形纸片ABCD中，AB＜AD．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②． （1）当AD＝10，AB＝6时，求线段FD的长度； （2）设AD＝10、AB＝x，如果再将△AEF沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若设线段FDDG，请根据题意画出图形，并求出x的值； （3）设AD＝a，AB＝b，△AEF沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH当时，求的值． 【答案】（1）4； （2）图形见解答过程；x＝2或； （3）． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得AF＝AB＝6， ∵AD＝10， ∴FD＝AD﹣AF＝4； （2）若点G落在线段FD上时，如图1所示， 由折叠的性质可得：FG＝AF＝AB＝x， ∴FD＝AD﹣AF＝10﹣x， ∴DG＝FD﹣FG＝10﹣2x， ∵FDDG， ∴10﹣x（10﹣2x）， 解得：x＝2； 若点G落在线段FD的延长线上时，如图2所示， 由折叠的性质可得：FG＝AF＝AB＝x， ∴FD＝AD﹣AF＝10﹣x， ∴DG＝FG﹣FD＝2x﹣10， ∵FDDG， ∴10﹣x（2x﹣10）， 解得：x； 综上：x＝2或； （3）如图3所示，过点H作HM⊥EF于M， ∴HM＝FD， 由题意可知：AF＝AB＝b，EF＝AB＝b， ∴FD＝AD﹣AF＝a﹣b， ∴HM＝a﹣b， ∴S△HFEEF•HMb（a﹣b），S四边形ABCD＝AD•AB＝ab， ∵， ∴， 整理可得：3a＝5b， ∴． 26．如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形ABCD中，若∠ADC＝∠ABC，且BD⊥AD，则四边形ABCD为等垂四边形． （1）如图2和如图3，已知四边形ABCD为等垂四边形，∠DAB＝∠DCB，AC⊥BC． ①在图2中，若∠B＝30°，∠ACD＝40°，则∠D的度数为 　70　°； ②在图3中，若CD∥AB，CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由． （2）如图4，在锐角△ABC中，∠C＝50°，∠A＝α，且α＜50°，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出∠D的大小（用含α的式子表示）． 【答案】（1）①70； ②四边形CMAN是等垂四边形，理由见解析； （2）80°﹣α 或 50°﹣α 或130°﹣2α． 【解答】解：（1）①∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠DCB＝∠ACB+∠ACD＝130°， ∴∠DAB＝130°， ∴∠D＝360°﹣∠B﹣∠DAB﹣∠DCB＝360°﹣30°﹣130°﹣130°＝70°， 故答案为：70； ②解：四边形CMAN是等垂四边形， 理由如下：∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠CAB． ∵CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB， ∴，， ∴∠MCD＝∠BAN． ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠MCN＝∠MAN． ∵AC⊥CN， ∴四边形CMAN是等垂四边形． （2）若以B，C为顶点的一组对角相等时， ∴∠D＝360°﹣140°﹣140°﹣α＝80°﹣α； 若以B，A为顶点的一组对角相等时， ∴∠D＝360°﹣50°﹣2×（90°+α）＝130°﹣2α； 若以C，A为顶点的一组对角相等时， ∴∠D＝360°﹣（130°﹣α）﹣2×（90°+α）＝50°﹣α； 综上所述，∠D的大小为80°﹣α 或 50°﹣α 或130°﹣2α． 27．【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”． 如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是对补四边形． 【应用】 （1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A＝100°，则∠C＝　80°　； （2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，DC＝2，则BC＝　　； （3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD． ①求证：BC＝CD； ②若∠BAD＝60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由． 【答案】（1）80°； （2）； （3）①证明过程见解答； ②AD+ABAC，证明过程见解答． 【解答】（1）解：∵对补四边形一组对角互补，∠A＝100°， ∴∠C＝180°﹣100°＝80°； （2）如图2，连接BD， ∵∠A＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∵AB＝3，AD＝4， ∴BD5， ∵DC＝2， ∴BC； （3）①证明：如图3，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，CF⊥AB于点F， ∵AC平分∠BAD， ∴CE＝CF， ∵四边形ABCD是对补四边形， ∴∠CDA+∠B＝180°， ∵∠CDA+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠B， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CD＝BC； ②解：AD+ABAC，理由如下： ∵AC平分∠BAD， ∴∠EAC＝∠BACBAD＝30°， ∵∠CED＝∠CFB＝90°，CE＝CF， ∴△ACE≌△ACF（AAS）， ∴AE＝AF， 由①知：△CED≌△CFB， ∴ED＝BF， ∴AD+AB＝AE﹣ED+AF+BF＝2AE， 在Rt△AEC中，∠EAC＝30°， ∴AEAC， ∴AD+AB＝2AEAC． 28．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，联结EG． （1）如图1，如果PC＝2OP，求证：EG∥AC； （2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似，请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）72°． 【解答】（1）证明：∵PC＝2PO，PG∥CD， ∴， 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， ∴， 又∵PE∥AD， ∴， ∴， ∴EG∥OC； （2）解：如图2， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． ∴OC＝OD， ∴∠GDE＝∠PCE＝∠CPF， 又∵∠CFP＝∠ABC＝90°，且∠DEG＜90°， ∴只能∠DGE＝90°，∠DEG＝∠PGE＝∠PCF． ∴此时有：△DGE∽△PFC∽△ABC， 设CE＝4k，那么PE＝6k，PG＝9k， ∴EG3k，DE＝13k． ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵BA＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形． 设FB＝FG＝a，PF＝FC＝CE＝b， ∴GP＝a﹣b． ∵GP∥CE， ∴， ∴， ∴a2﹣ab﹣b2＝0， ∴， ∴（负根已舍）． ∴， ∴， ∴， 又∵∠ADG＝∠BDA， ∴△DGA∽△DAB． ∴设∠DAG＝∠DBA＝∠ADB＝α，那么∠BAG＝∠BGA＝2α． ∴5α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠ABC＝72°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$