精品解析：云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与以下哪个值相同（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”，是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 5. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是第二象限角，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是，2 B. 若定义在上的函数满足，则无解 C. 函数的值域为，则 D. 已知函数，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. C. 若，，且为第三象限角，则 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为________. 13. 已知，则______. 14. 已知函数有两个不同的零点，，则实数的取值范围为________；若，恰有一个在区间内，实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求点的坐标. 16. 已知为第二象限角，. （1）化简； （2）若，求的值. 17. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 18. 为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； （2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与以下哪个值相同（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式来求得正确答案. 【详解】由诱导公式易得. 故选：C. 2. 已知，则“”，是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对于充分性，直接把代入即可判断，对于必要性，根据余弦函数的对称中心即可判断. 【详解】判断充分性，当时，根据余弦函数的性质，.所以由“”能推出“”，充分性成立； 判断必要性，当时，，满足的不只是， 还有的情况.所以由“”不能推出“”，必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入，结合零点存在定理判断即可. 【详解】因为，，， 所以， 又函数在上单调递增，所以函数在存在唯一零点. 故选：B. 4. 已知函数的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法结合同角的三角函数关系和二次函数的性质求解即可； 【详解】， 令，所以， 该函数在上单调递增，所以. 故选：B. 5. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【详解】因为劣弧的长为，圆的半径为1，所以. 则， ， 所以阴影部分的面积为. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】由题意若，则，不符合题意， 所以， 即，解得， 故选：D 7. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出三角形及列出等式，由此可算，再由诱导公式可求. 【详解】如图，在中，，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以，， 所以， 所以. 故选：A. 8. 已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图像，令，由图象得到，的范围是，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】的图象如图： 方程有8个不同的根，令，则有两个不同的根，，且，的范围是，所以，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是第二象限角，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据象限角概念，写出其范围，再根据三角函数值符号逐个计算判定即可. 【详解】是第二象限角，有，由，有， 为偶数时，为第一象限角，，，； 为奇数时，为第三象限角，，，， 则选项A，B，D不一定成立. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是，2 B. 若定义在上的函数满足，则无解 C. 函数的值域为，则 D. 已知函数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由一元二次方程的解法可得A正确；由函数的单调性结合零点存在定理判断B错误；分与讨论，当时，二次项系数大于零，判别式大于等于零可得C错误；代入到分段式函数的解析式可得D正确； 【详解】A选项，令，解得，，所以函数的零点是，2，故A正确； B选项，函数的单调性不确定，由并不能确定函数是否存在零点，故B错误； C选项，函数的值域为， 当时，不符合题意， 当时，，解得，综上，，故C错误； D选项，，，故D正确. 故选：AD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. C. 若，，且为第三象限角，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用同角三角函数关系式，结合诱导公式和各象限角的三角函数值符号逐个计算判定即可. 【详解】对于A：因为，所以，，故A正确； 对于B：，当为第一象限的角，原式， 当为第二象限的角，原式，当为第三象限的角，原式，当为第四象限的角，原式，故B错误； 对于C：，，由，可得， 解得或.又为第三象限角，，，把的值代入检验得， ，，可得，故C正确； 对于D：，，则， ，所以，， 故， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由正切函数的定义结合诱导公式求解即可； 【详解】因为的终边经过点， 所以， 所以角的一个可能值为. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合角的关系根据诱导公式化简求值即可. 【详解】根据题意，由诱导公式可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数有两个不同的零点，，则实数的取值范围为________；若，恰有一个在区间内，实数的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由一元二次不等式与方程的性质列不等式组求解即可；令一元二不等式的判别式大于零，区间的两端点值小于等于零列不等式组求解即可； 【详解】由题设，得，可得. 由，恰有一个在区间内，所以， 解得， 当时，令，解得或-1（舍去）， 当时，令，解得或1（舍去）， 综上得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简，再结合三角函数的定义即可求解. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且，所以且，解得，即. 由三角函数定义知，，，， 故原式. 【小问2详解】 由题意，， 由三角函数定义知. 16. 已知为第二象限角，. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求解即可； （2）先利用同角三角函数基本关系化简已知求得，再利用平方关系求得，即可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为为第二象限角，所以, 所以， 因为，所以，所以， 代入得，，又，所以，所以. 17. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】（1），，. （2）最大值为1，此时；最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）由正弦函数性质求得周期与单调增区间； （2）由题意可求得的范围，然后由正弦函数性质得最值． 【小问1详解】 函数的最小正周期， 由，解得， 所以函数的单调递增区间是，. 【小问2详解】 由，得， 则当，即时，； 当，即时，， 所以函数在上的最大值为1，此时；最小值为，此时. 18. 为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，， （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； （2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 【答案】（1） 根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势； 再由一次函数性质可知成持续增大模式，由幂函数性质可知成持续减少模式； 只有符合题意； 将代入表达式可得， 解得 （2）最大车流量为千辆/小时,此汽车的平均速度千米/小时. 【解析】 【分析】（1）由基本初等函数模型性质并结合表中数据变化规律可得结论，代入计算可求得； （2）利用基本不等式计算即可得最大车流量为千辆/小时,此时平均速度千米/小时. 【小问1详解】 符合题意,理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 由基本不等式可得， 因此，当且仅当时，即时，等号成立； 因此该路段最大车流量为千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度千米/小时. 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）从存在性或唯一性来说明该函数不是“依赖函数”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判断答案； （2）根据函数单调性的性质，可得，代入可求解； （3）分类讨论，当时，明显不符题意；当时，利用函数单调性，可得，解得，代入后，利用不等式恒能成立的性质，可得答案. 【小问1详解】 对于函数的定义域内取， 则，，无解， 故不是“依赖函数”. 【小问2详解】 因为在上递增， 故，即，所以. 【小问3详解】 ①当时，取，则，此时不存在，舍去； ②当时，在上单调递减，从而， 由于，故.解得（舍）或， 且，所以. 由于存在实数，使得不等式能成立，故. 从而得到， 由于，所以， 综上，实数的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是：对函数单调性的理解，以及不等式恒能成立的用法，要充分利用数形结合对函数单调性进行充分剖析才可得到答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $