安徽省黟县中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷

黟县中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 时间：120分钟；满分：150分 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：集合，， 则． 2.下列说法正确的是(     ) A. 命题“，”的否定是“，” B. 是第二象限角的必要不充分条件是且 C. 函数的零点是 D. 的单调递增区间为 【答案】D  【解析】解：对于，根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对于，当且时，能推出是第二象限角， 反过来当是第二象限角，也能推出且， 所以是第二象限角的充要条件是且，故B错误； 对于，函数的零点满足，即， 所以零点是，不是，故C错误； 对于，函数， 结合对勾函数的图象，可知单调递增区间为，，故D正确． 3.已知某种蔬菜的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为(     ) A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C  【解析】解：由题意得：， 两式相除得：， 则， 即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时． 4.已知正数，满足，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为正数，满足， 由， 所以， 当且仅当时，即，时取等号． 5.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减， 则在上也是减函数，则在上为减函数，    ，  ，． 所以， 所以． 6.已知角，满足，，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为，， 所以， 则． 7.若函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，函数， 又对任意，都有， ，即函数的周期为， 又由函数且在上恰有个不同的零点，得函数与的图象在上有个不同的交点， ，当时，由图可得，解得； 当时，由图可得，解得． 8.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  解： 在 上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即在区间上的值域为． ， 令，得，解得或， 画出，的图象如图所示， 若，，使得成立， 则需要在上的值域包含在上的值域， 则，解得，即的取值范围是． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设，，，且，则下列不等式成立的是  (     ) A. B. C. D. 【答案】CD  对，当时不成立，故A错误； 对，当，时不成立，故B错误； 对，因为，两边同时减去有成立，故C正确； 对，因为，又为增函数，故成立，故D正确． 故选：． 10.关于函数的下述四个结论，正确的有(     ) A. 若，则 B. 的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称 【答案】ABD  【解析】解：由于函数，由知： 对于：点，是图象的两个对称中心， 则，故A正确； 对于：因为，所以点是的对称中心，故B正确； 对于：由，解得， 当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于：的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，，是偶函数，所以图象关于轴对称，故D正确， 11.已知函数则下列说法正确的是(     ) A. 函数有个零点 B. 关于的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与轴围成的图形的面积为 【答案】ACD  【解析】解：函数 当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的大致图象如图所示， 对于选项A，由，得， 令，由图象可知与的图象只有个交点， 函数有个零点，故A正确； 对于选项B，当时，，即，由图象可知与的图象只有个交点， 关于的方程有个不同的解，而当时，，故B错误； 对于选项C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，恒成立，故C正确； 对于选项D，当时，则，此时函数的图象与轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与轴围成的图形的面积为，， 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为________． 【答案】  【解析】解：设扇形的半径为，弧长为， 可得，扇形面积， 故有． 所以弧田的面积为． 13.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________． 【答案】，  【解析】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，即， 若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集； 若时，原不等式为，无解，不符合题意； 当时，即， 若的解集是空集，则有，解可得， 则当不等式的解集不为空集时，有或且， 综合可得：实数的取值范围为，． 14.已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为________． 【答案】  【解析】解：函数， 当时，由， 解得或舍去， 因为， 故； 当时， 则，即， 分别作出左右两边函数的图象， 从图象上可得出：方程在区间内有一个实根， 故方程在区间内有且仅有一个实根，此时， 下面证明：方程在区间内有一个实根， 等价于函数在区间和内各有一个零点， 因为时，， 故函数在区间是增函数， 又，， 即，由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点， 即方程在区间内有且仅有一个实根， 此时， 综上：的所有可能取值形成的集合为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，或． 当时，求； “”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】解：当时，， 所以 或， 由题可知，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以，可得，解得．  16.本小题分 已知，函数． 当时，解不等式； 若函数的值域为，求的取值范围． 【答案】解： 时，， 不等式  等价于 ， 所以 ，解得， 所以不等式  的解集为． 因为函数 的值域为， 即的值域为， 故 能取到一切正数， 当时，，不符合题意； 当  时，，不符合题意； 当  时，根据二次函数的图象和性质可得，解得或，所以； 综上所述：的取值范围是．  17.本小题分 已知函数为实数是奇函数． 求的值； 解不等式； 若实数满足，求的取值范围． 【答案】解：因为函数为实数是奇函数， 由奇函数的性质可得，， 所以，经检验符合题意； 由得， 整理得，，即， 故不等式的解集为； 因为为奇函数且实数满足，即， 因为在上单调递减， 所以， 解得， 故的范围为．  18.本小题分 已知函数． 求函数的最小正周期和单调递增区间； 若，求函数的值域； 若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值． 【答案】解：， 即，最小正周期为， 令 ，解得，， 故单调递增区间为； 因为， 所以， 所以， 即的值域为； 时，， 因为在上有两个不相等的实数根，， 所以， 则， 所以， 所以．  19.本小题分 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． 试问函数与是否互为“和幂函数”说明你的理由． 已知函数与互为“积幂函数”． 证明：函数存在负零点，且负零点唯一． 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围结果用含字母的区间表示． 【答案】解：与互为“和幂函数”，理由如下： 因为，， 所以与的定义域均为． 因为 ，且为幂函数， 所以与互为“和幂函数”． 证明：，则，即． 设，则为增函数，因为，所以， 令，得． 设函数，因为，， 易知的图象是连续不断的曲线，所以在上存在零点， 即存在负零点． 因为为减函数，所以的零点唯一，即存在负零点，且负零点唯一． 解：当时，，， 则 ， 因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以． 令，得． 因为，，， 且在上有两个零点，所以的取值范围为  1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黟县中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 时间：120分钟；满分：150分 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(     ) A. 命题“，”的否定是“，” B. 是第二象限角的必要不充分条件是且 C. 函数的零点是 D. 的单调递增区间为 3.已知某种蔬菜的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为(     ) A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 4.已知正数，满足，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 5.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，，，则(     ) A. B. C. D. 6.已知角，满足，，则的值为(     ) A. B. C. D. 7.若函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数且在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围是(     ) A. B. C. D. 8.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设，，，且，则下列不等式成立的是  (     ) A. B. C. D. 10.关于函数的下述四个结论，正确的有(     ) A. 若，则 B. 的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称 11.已知函数则下列说法正确的是(     ) A. 函数有个零点 B. 关于的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与轴围成的图形的面积为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为________． 13.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________． 14.已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，或． 当时，求； “”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知，函数． 当时，解不等式； 若函数的值域为，求的取值范围． 17.本小题分 已知函数为实数是奇函数． 求的值； 解不等式； 若实数满足，求的取值范围． 18.本小题分 已知函数． 求函数的最小正周期和单调递增区间； 若，求函数的值域； 若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值． 19.本小题分 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． 试问函数与是否互为“和幂函数”说明你的理由． 已知函数与互为“积幂函数”． 证明：函数存在负零点，且负零点唯一． 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围结果用含字母的区间表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$