精品解析： 江西省吉安市峡江县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024~2025学年第一学期九年级数学期末检测试题 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 4. 中，，在边上截取,连接，若点D恰好是线段的一个黄金分割点，则的度数是( ) A. B. C. D. 5. 如图，菱形的边在x轴上，边交y轴于点D，点B的横坐标为1，，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 6. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A. 75° B. 60° C. 54° D. 67.5° 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm． 8. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 9. 如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得与相似.（只需写出一个） 10. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为__________米． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）；⑤．其中错误结论的是________．（只填序号） 12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______． 三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）计算： 14. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值． 15. 如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，作线段，使得； （2）在图（2）中，作，使得． 16. 随机抛掷图1中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图2中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域内的数字之积为4的概率． 17. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且与轴交于点．试求上述反比例函数和一次函数的解析式； 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 19. 如图，在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量． （1）如图1，第一小组用一根木条斜靠在护墙上，使得与的长度相等，如果测量得到，求护墙与地面的倾斜角α的度数． （2）如图2，第二小组用皮尺量的为16米（E为护墙上的端点），的中点离地面的高度为米，请你求出E点离地面的高度． （3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为，求旗杆的高度（精确到米）． 备用数据：． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为． （1）填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________． （2）当t为何值时，的长度为？ （3）当t为何值时，的面积为？ 六、（本大题共1个小题，共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期九年级数学期末检测试题 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程移项化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：， 移项得，， 则二次项系数、常数项分别为：2、， 故选D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键． 2. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面可看，底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可. 【详解】根据题意得=30%，解得：n=30， 经检验：n=30符合题意， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键. 4. 中，，在边上截取,连接，若点D恰好是线段的一个黄金分割点，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到AD2=BD•AB，而AD=AC=BC，则BC2=BD•AB，根据相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，则∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，根据三角形外角性质得∠ADC=∠BCD+∠B=2x，所以∠ACD=∠ADC=2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可． 【详解】∵点D是线段AB的一个黄金分割点， ∴AD2=BD•AB， ∵AD=AC=BC， ∴BC2=BD•AB， 即BC：BD=AB：BC， 而∠ABC=∠CBD， ∴△BCD∽△BAC， ∴∠A=∠BCD， 设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x， ∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x， 而AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC=2x， ∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°， 即∠A=36°． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据黄金分割的定义得到三角形相似是解答此题的关键． 5. 如图，菱形的边在x轴上，边交y轴于点D，点B的横坐标为1，，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得点C的坐标是解题关键．过点B作于点E，由菱形的性质得出，，根据点B的横坐标为1，，得出，设菱形的边长为a，则，利用勾股定理求得菱形的边长，即可求得点C的坐标为，所以． 【详解】解：过点B作于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点B的横坐标为1，， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为a，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴ ． 故选：B． 6. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A. 75° B. 60° C. 54° D. 67.5° 【答案】B 【解析】 【详解】如图，连接BD， 由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC， ∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°， ∵∠BCM=∠BCD=45°， ∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°， ∴∠AMB=180°-∠BMC=60°， ∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上， ∴BM=DM， ∴∠AMD=∠AMB=60°， 故选B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长． 【详解】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6， ∵菱形的对角线互相垂直平分， 根据勾股定理可得菱形的边长=cm． 故答案为： 【点睛】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直． 8. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可． 【详解】解：设米 在中，，则 在中，，则 ，即，解得 即米 故答案为米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值． 9. 如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得与相似.（只需写出一个） 【答案】DF∥AC，或∠BFD=∠A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： DF//C，或∠BFD=∠A． 理由：∵，, ∴ 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴①当DF//AC时，△BDF∽△BAC， ∴△BDF∽△EAD． ②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED， ∴△FBD∽△AED． 故答案为DF//C，或∠BFD=∠A． 考点：相似三角形的判定 10. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为__________米． 【答案】38 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，据此解答即可． 【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例， 设祈年殿的高度为米， 则可列比例为， 解得． 所以祈年殿的高度为38米． 故答案为：38． 【点睛】本题考查了投影的知识，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所学知识解决实际问题的能力． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）；⑤．其中错误结论的是________．（只填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，与轴交点的位置可得，，再由对称轴为直线，得到，可判断①；当时，，可得，得到，可判断②；抛物线与轴的一个交点是，由二次函数的对称性可得与轴的另一个交点是，可判断③；当时，有最小值，可判断④；抛物线与轴有两个交点，可得，可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：由图象得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 由图象得，当时，， ， ， ， ， ，故②正确； 由图象得，抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 由二次函数的对称性得，抛物线与轴的另一个交点是， 代入得，，故③正确； 由图象得，当时，有最小值， （为实数）， ，故④错误； 由图象得，抛物线与轴有两个交点， ，即，故⑤正确； 综上所述，其中错误结论的是④． 故答案为：④． 12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______． 【答案】4或4或4 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可． 【详解】如图1，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OB=4， 又∵∠AOC=∠BOM=60°， ∴△BOM是等边三角形， ∴BM=BO=4， ∴Rt△ABM中，AM==； 如图2，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OA=4， 又∵∠AOC=60°， ∴△AOM是等边三角形， ∴AM=AO=4； 如图3，当∠ABM=90°时， ∵∠BOM=∠AOC=60°， ∴∠BMO=30°， ∴MO=2BO=2×4=8， ∴Rt△BOM中，BM==， ∴Rt△ABM中，AM==． 综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或或4．故答案为或或4． 三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和实数的混合运算，熟练运用运算法则以及找到合适的解题方法是解答本题的关键． （1）根据十字相乘法即可求出答案； （2）首先根据零指数幂的意义、特殊锐角三角函数的值、绝对值的意义分别求出其值，再依次计算加减即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2） ． 14. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值． 【答案】, 【解析】 【详解】试题分析：设另一根为x1,由根与系数的关系得,两根和为4,求得x1,,再根据两根积求得常数项c. 试题解析：设另一根为x1,由根与系数的关系得: 考点：根与系数的关系. 15. 如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，作线段，使得； （2）在图（2）中，作，使得． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了用无刻度线的直尺作图、中位线定理，全等三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，延长和交于点，由题意得，，所以，所以； （2）连接对角线和交于，连接，因为为的中点，为中点，所以，，又因为，所以，，，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 随机抛掷图1中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图2中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域内的数字之积为4的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了树状图法求概率，根据题意画出树状图，找到总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域内的数字之积为4的有3种情况，利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域内的数字之积为4的有3种情况，故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域内的数字之积为4的概率为． 17. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且与轴交于点．试求上述反比例函数和一次函数的解析式； 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，再求解点的坐标是，再进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可. 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ∵点在上， ∴， ∴点的坐标是． 设一次函数的解析式为， 则，解得， ∴一次函数的解析式为． 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 19. 如图，在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． 【小问2详解】 解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）①，②60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值； （2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式； ②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①依题意，得： ； ②依题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量． （1）如图1，第一小组用一根木条斜靠在护墙上，使得与的长度相等，如果测量得到，求护墙与地面的倾斜角α的度数． （2）如图2，第二小组用皮尺量的为16米（E为护墙上的端点），的中点离地面的高度为米，请你求出E点离地面的高度． （3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为，求旗杆的高度（精确到米）． 备用数据：． 【答案】（1） （2）米 （3）米 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合即可得出答案． （2）设的中点为M，过M作，垂足为点N，过点E作，垂足为点H，证明即可求出E点离地面的高度； （3）延长，交于点C，设，则，，根据，得出，求出x即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如答图1，设的中点为M，过M作，垂足为点N，过点E作，垂足为点H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴（米）． ∴E点离地面的高度是米． 【小问3详解】 解：如答图2，延长，交于点C， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴（米）． 答；旗杆的高度是米． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点B出发沿边以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为． （1）填空：__________，__________（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________． （2）当t为何值时，的长度为？ （3）当t为何值时，的面积为？ 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）利用勾股定理构建方程即可解决问题； （3）利用面积构建方程求解即可解决问题； 本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，多边形的面积，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【小问1详解】 解：根据题意， ， 综上所述： 【小问2详解】 当 时， ∵， ∴，整理得 ， 解得 (不合题意，舍去)， ∴当时， 的长度为． 【小问3详解】 当时， ， 整理得， 解得 (不合题意，舍去) ∴当时，的面积为． 六、（本大题共1个小题，共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）①②③④； （2）， 证明：连接， 连接，并延长交于点， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴； ， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④ （2）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $