精品解析：北京市海淀区教师进修学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

北京市海淀区教师进修学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷 考生须知 1.本卷共6页，包括三个大题，21小题，满分为150分.练习时间120分钟. 2.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，将答题纸交回. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 7. 如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在（ ） A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题（5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上） 11. 直线与直线之间的距离为__________. 12. 已知椭圆的一个焦点为，则__________. 13. 如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为，且，则___________（用，表示）. 14. 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则______；的大小为______. 15. 如图，正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论: ①三棱锥的体积为定值; ②存在点，使平面； ③存在点，使平面平面; ④设直线FG与平面所成角为，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号为____________________. 三.解答题（本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知点、． （1）求线段的垂直平分线的直线方程； （2）若点、到直线的距离相等，求实数的值． 17. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. （1）求证：是的中点； （2）求点到平面的距离. 18. 已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角的大小. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于A，B两点.若轴上一点满足，求直线斜率的值. 21. 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值； （3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市海淀区教师进修学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷 考生须知 1.本卷共6页，包括三个大题，21小题，满分为150分.练习时间120分钟. 2.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，将答题纸交回. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角． 【详解】直线的斜率为，因此倾斜角为， 故选：D． 2. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合截距的概念运算即可得解. 【详解】令，代入，得， 故选：B 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心的对称点坐后可得圆方程． 【详解】圆的圆心坐标为，它关于直线对称点为， 因此对称圆方程为， 故选：B． 5. 已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直得到，由点斜式可求直线的方程. 【详解】直线的方程为，则， 根据两直线垂直知所求直线的斜率为， 又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即. 故选：B. 6. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算即可得解. 【详解】长方体中平面，平面，所以， 则，又， 所以， 故选：C. 7. 如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，由此可确定，，的大小关系；或根据离心率的定义判断. 【详解】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为， 由题意得，， 则，，， 由，得，，故. 解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆， 由此可得. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】因为点在直线上，所以， 即，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 由题意直线OP的斜率存在，设直线OP方程为， 因为直线OP与圆有公共点， 所以圆心到直线OP的距离小于等于半径， 所以有 故选：B 9. 圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】d的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，分析圆心到直线距离的最小值即可得到结果. 【详解】由题意得，圆心，半径， 点和在变化过程中，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 圆心到直线的距离为， 由得，，故， 当时，. 故选：A. 10. 某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在（ ） A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设转播台建在处，可将表示为的形式，即，由此可确定当且时距离平方和最小，由此可确定转播台位置. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，. 设转播台建在处， 则， 当且时，最小， 转播台应建在处. 故选：A. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题（5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上） 11. 直线与直线之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直线方程化为一般式，利用两平行线间距离公式可得. 【详解】两直线方程化成一般式得：，距离为：. 故答案为： 12. 已知椭圆的一个焦点为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴知与的值，从而求得参数值. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以，，则，. 故答案为：. 13. 如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为，且，则___________（用，表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解． 【详解】因为， 所以， 故答案为：． 14. 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则______；的大小为______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，，∴， ∴，又，， ∴，在中，由余弦定理，得， ∴. 故答案为：2； 15. 如图，正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论: ①三棱锥的体积为定值; ②存在点，使平面； ③存在点，使平面平面; ④设直线FG与平面所成角为，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号为____________________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①选项，利用等体积法判断；对于②、③、④三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值， 又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故①正确． 对于②, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴,，建立空间直角坐标系, 则， ， 所以， 设，则， 所以，， 因为平面， 所以， 解得，当为线段上靠近的四等分点时，平面，故②正确. 对于③，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面的法向量为， 因为平面平面，所以， 设，即， 解得，又因为，不合题意， 线段上不存在点，使平面，故③错误． 对于④，平面的法向量为， 则， 因为， 所以， 所以的最大值为．故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】思路点睛：空间几何常常通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解空间面面，线面，线线的位置关系，以及求解空间角的有关问题. 三.解答题（本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知点、． （1）求线段的垂直平分线的直线方程； （2）若点、到直线的距离相等，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值. 【小问1详解】 解：线段的中点为，， 故线段的中垂线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行， 若线段的中点为在直线上，则，解得； 线段所在直线与直线平行，则，解得． 综上所述，或. 17. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点. （1）求证：是的中点； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，如图所示. 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以. 又，所以四边形为平行四边形，，. 又E是棱的中点，所以F是的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由面面平行的性质定理得到，进而得到，结合E是棱的中点，得到结论； （2）根据等体积法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，易求. 在中，由余弦定理可求，， . 设点到平面的距离为d. ，， . 18. 已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. 【小问1详解】 圆， 则圆心，因为圆与轴相切，则半径. 由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为2. 【小问2详解】 法一：设， 联立，得， ， 则， 所以. 法二：圆心到直线的距离， 则. 故. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角的大小. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 在中，分别为的中点，所以且， 在菱形中，因为且， 所以,所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）选①或②， 【解析】 【分析】（1）取中点，证得，得到四边形为平行四边形，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）选择条件①：根据题意，证得，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解；选择条件②：以为原点，连接，求得，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择条件①： 因为平面，平面， 所以. 连接，因为，且， 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为且. 又因为为正三角形且，所以， 则，则， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以，所以二面角的大小为. 选择条件②： 因为平面，且平面，所以. 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 连接，因为且，又因为又为中点，所以， 所以为正三角形且，所以， 则，则， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以，所以二面角的大小为. 20. 已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于A，B两点.若轴上一点满足，求直线斜率的值. 【答案】（1） （2）或或． 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义得，再由离心率求得，然后求出得椭圆方程； （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式求得中点坐标，由等腰三角形的性质求得． 【小问1详解】 由已知，， 又，所以，从而， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 已知，设直线的方程为，， 由得， 直线过椭圆的右焦点，必与椭圆相交， 所以， ， 所以的中点的坐标为， 当时，满足条件，此时的中垂线为； 当时，因为，所以， ，整理得，解得或， 综上，或或． 21. 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值； （3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 【答案】（1）是完美集合，不是完美集合，理由如下： 将分为、、满足条件，则是完美集合. 将分成个，每个中有两个元素，则，， 中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求， 故不是“完美集合”； （2）可能值为：、、中任一个； （3）中所有元素之和为 ， 因为，所以，， 所以，， 因为为正整数，则可以被整除， 所以，或，即或. 故集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 【解析】 【分析】（1）根据完美集合的定义，将分为集合、、符合条件，将分成个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可； （2）根据完美集合的概念直接求出集合，从而得到的值； （3）中所有元素之和为，根据，等号右边为正整数，可得等式左边可以被整除，从而证明结论. 【详解】（1）略 （2）若集合，，根据完美集合的概念知集合； 若集合，，根据完美集合的概念知集合； 若集合，，根据完美集合的概念知集合. 故的可能值为、、中任一个； （3）略 【点睛】关键点点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算，解本题的关键在于理解“完美集合”的定义，弄清集合、中的元素与集合中元素之间的关系，采取逻辑推证、列举法等方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $