2025年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形问题

2025年中考九年级数学专题复习： 二次函数中的平行四边形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 2．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交于点E，过点P作的垂线，垂足为点F，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q为点P的对应点，点N为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M，使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 5．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 6．抛物线交轴于、两点，交轴于点．直线交轴于点，交抛物线于、两点．    (1)如图1，求，，的值； (2)如图2，为直线上方抛物线上一动点，轴交轴于点，交于点；过点平行轴的直线交于点，求线段的最大值及此时对应点的坐标； (3)如图3，将抛物线沿线平移一定的距离得新抛物线，使得抛物线过点，为新抛物线的顶点．点为抛物线上的一动点，点、为直线上的两个动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选一个点坐标，写出推理过程． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标； (3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知二次函数的图象经过点和． (1)求此二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标； (2)设点是函数图象上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形．求平行四边形的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当平行四边形的面积为24时，判断平行四边形是否为菱形？并判断是否存在点，使得平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是轴上方抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在直线上方运动时； ①若点的坐标为求的面积； ②如图（2），轴交直线于点，过点（不与点重合）作轴交直线于点，若四边形是平行四边形，求点的坐标；： (3)过点作轴于点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，且 (1)求A，B 的坐标； (2)若D到A，B，C距离相等，求点P，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形． 12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在轴上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，当时，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，作直线交轴于点，若，求的值； (3)如图3，点是线段上的点，且，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，是否存在合适的值，使四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与轴交于点和． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． (4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)连接，在拋物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形问题》参考答案 1．(1) (2) (3)①；② 2．(1) (2) (3)存在，或或或 3．(1)，，，抛物线对称轴为直线 (2)①，当时，四边形为平行四边形；②，时，S取得最大值 4．(1) (2)， (3)，， 5．(1) (2)当时，最大，且最大值为 (3)，， 6．(1)，，； (2)最大值，为，，； (3)，或，或或． 7．(1)y＝－x2－2x＋3 (2) (3)或或 8．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3)当平行四边形的面积为24时，点D坐标为或，且点D坐标为时，平行四边形为菱形；不存在点，使得平行四边形为正方形， 9．(1)抛物线表达式为 (2)存在， (3)或 10．(1) (2)①；② (3)存在， 的值为或 11．(1)， (2)或或 12．(1) (2) (3)存在， 13．(1)； (2)C的坐标是； (3)P的坐标为或或． 14．(1) (2) (3)存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形 (4) 15．(1)存在， (2)点M横坐标为2或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$