2025年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2025年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（特殊三角形问题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m，n（）分别是方程的两根．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴左侧），连接OD，AD． ①求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； ②当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 2．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．    (1)求抛物线及直线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值； (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； (3)求的最大值； (4)如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值． 4．已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)已知点满足，点M、N分别是x轴、直线AC上的动点，当的最小值为时，求n的值． 5．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴； (2)过点C作x轴的平行线l，点E在直线l上运动，在点E运动的过程中，试判断在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动点不与点和点重合，设运动时间为秒，过点作轴垂线交轴于点，交抛物线于点．          (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴垂线交轴于点，连接交于点，当时，求的值； (3)如图，连接交于点，当是等腰三角形时，求出的值． 8．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 10．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F (1)求抛物线的表达式； (2)求证：∠BOF＝∠BDF ： (3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长 11．已知抛物线与轴交于和两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与轴右侧的抛物线交于，两点，若，求直线的解析式； (3)设点是抛物线上任一点，点在轴上，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由． 12．如图1，点A为直线与抛物线在x轴上的一个交点，点为直线上一点，抛物线与y轴交于点C． (1)求的面积； (2)点P是直线l上方的抛物线上一点，过 P作轴交直线l于E，P作轴交直线l于F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，平移后的抛物线与原抛物线交于点Q，点M是新抛物线的对称轴上一点．若是以AQ为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 13．综合与探究 如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点D作与y轴的平行线的直线l，与交于点E，当是以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标． (3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式 (2)点P在下方的抛物线上，连接，若，求点P的坐标； (3)点N在线段上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值 15．如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（特殊三角形问题）》参考答案 1．(1)抛物线的解析式为：； (2)①面积有最大值为，点D的坐标为；②点P的坐标为或或． 2．(1)抛物线解析式为，直线BC的解析式为； (2)最大值为 (3)存在，或或 3．(1) (2)不在抛物线上 (3)当时，取最大值，最大值为 (4)，， 4．(1) (2)或 (3)或 5．(1)，对称轴为 (2)在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P坐标为或． 6．(1) (2)存在，点的坐标为 (3)、、或 7．(1) (2)的值为 (3)当是等腰三角形时，或 8．(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在，或 9．(1) (2)或 (3)①或3；②或或 10．(1) (2)见解析 (3)存在，或 11．(1) (2) (3)能，点的坐标为，，， 12．(1)7 (2)最大为， (3)，，， 13．(1) (2) (3)，，， 14．(1) (2)或 (3)， 15．(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为； (2)m的值为或5或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$