精品解析：上海市市北初级中学2024-2025学年八年级上学期期末数学练习卷

市北初级中学教育集团2024学年第一学期期末练习卷 八年级数学 （完卷时间：100分钟满分120分） 一、单选题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数为多项式，无法分解成含完全平方的因式，是最简二次根式，符合题意， D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2. 下列关于的方程中一定没有实数根的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式解答即可． 【详解】解：A.∵=4-0=4>0，∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意； B.∵=4-4=4=0，∴方程有2个相等的实数根，故不符合题意； C.∵=4-8=-4<0，∴方程没有实数根，故符合题意； D.∵=4+8=12>0，∴方程有2个不相等的实数根，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当<0时，一元二次方程没有实数根． 3. 已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵中，， ∴在每一个象限，随的增大而减小， 当时，； 当时，， 当时，， ∴与的大小关系不能确定， 故选：． 4. 为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴； ∴； 故选A． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 D. 三角形的内角和等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据全等三角形的性质、平行线的性质、对顶角、三角形内角和定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、全等三角形的面积相等，是真命题，则此项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，则此项不符合题意； C、相等的两个角不一定是对顶角，则此项是假命题，符合题意； D、三角形的内角和等于，是真命题，则此项不符合题意； 故选：C． 6. 如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7. 如果代数式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 8. 化简的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 9. 若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过第一、三象限，则得到，解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得， 故答案为： 11. 在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式进行配方，再运用平方差公式在实数范围内因式分解． 【详解】= 故答案为： 【点睛】考核知识点：在实数范围内分解因式，运用配方法和平方差公式进行因式分解是关键． 12. 已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 根据两点间的距离公式解答即可． 【详解】∵直角坐标平面内两点和， ∴A、B两点间的距离等于． 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式的灵活运用．过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可． 【详解】解：过点作，垂足为，   ，， ， 解得， 又平分，，， ． 故答案为：． 14. 经过点D，且半径等于的圆的圆心的轨迹是________． 【答案】以点D为圆心，长为半径的圆． 【解析】 【分析】本题考查了轨迹，理解几何语句并根据圆的定义，判断出圆心的轨迹是一个圆解题的关键．经过点D且半径等于的圆的圆心的轨迹也就是到定点D的距离等于定长的所有点的集合，然后根据圆的定义解答即可． 【详解】解：根据题意，圆心的轨迹是到定点的距离等于定长的所有点的集合， 根据圆的定义，即：以点D为圆心，长为半径的圆． 故答案为：以点D为圆心，长为半径的圆． 15. 如图，等腰中，，，的垂直平分线交于D，那么的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质．根据等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，推出，利用角的和差关系求解即可．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长，利用勾股定理列方程，然后再求出AB和BC的长． 【详解】解：∵小正方形的面积是25， ∴AC=5， ∵△ABC≌△CDE， ∴设AB=CD=x， ∵大正方形的面积为49， ∴BD=7， ∴BC+CD=7， ∴BC=7-x， 在Rt△ABC中：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理列方程，解一元二次方程，三角形全等的性质，掌握勾股定理列出方程是解题的关键． 18. 如图，在中，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 __________． 【答案】2或3或5 【解析】 【分析】求出，，设交于点G，连接．分三种情况，当经过的中点D时，．由旋转性质得到，，得到，得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到是等边三角形，得到，即得；当经过的中点E时，，求出，得到，得到，根据，求得，即得；当经过的中点F时， ，可得． 【详解】∵在中，， ∴， ∴， 的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况： 经过的中点D；经过的中点E；经过的中点F． 设交于点G，连接， 则． 当经过的中点D时，如图： ， 由旋转知，， ∴， ∴， 连接, ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当经过的中点E时，如图： ， ∵垂直， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当经过的中点F时，如图： ， ∵ ∴， ∴． 综上：的长为：2或5或3． 故答案为：2或3或5． 【点睛】此题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，分类讨论，是解题的关键． 三、简答题（本大题共4题，19-21题每题6分，22题8分，满分26分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】解 ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后运算即可． 【详解】解：原式= = = = =． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质是解题关键． 21. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， 22. 已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图所示，点P1和点P2即为所求． 【解析】 【分析】先利用尺规作图作出∠O的平分线，再以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，与角平分线的交点即为所求． 【详解】略 【点睛】考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 四、解答题（本大题共4题，23题8分，24-25题每题10分，26题12分，满分40分） 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 24. 如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：． 【答案】 证明：， ，， ， 在和中 又点、分别是、的中点 ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明． 【详解】略 25. 已知，如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线都经过点． （1）求与的值； （2）此双曲线又经过点，点是轴的负半轴上的一点，且点到轴的距离是2 ，联结、、， ①求的面积； ②点在轴上，为等腰三角形，请直接写出点的坐标. 【答案】（1）k=8，m=4；（2）①8；② 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值； （2）①由（1）可得出双曲线的表达式，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由点C的位置可得出点C的坐标，由点A，B，C的坐标可得出AB，AC，BC的长，由AB2＋BC2＝AC2可得出∠ABC＝90°，利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积； ②设点E的坐标为（0，a），由点A，C的坐标可得出AC2，AE2，CE2的值，分AE＝AC，CE＝AC，CE＝AE三种情况，可得出关于a的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵直线y＝2x经过点A（2，m）， ∴m＝2×2＝4， ∴点A的坐标为（2，4）． ∵双曲线经过点A（2，4）， ∴4＝， ∴k＝8． （2）①由（1）得：双曲线的表达式为y＝． ∵双曲线y＝经过点B（n，2）， ∴2＝， ∴n＝4， ∴点B的坐标为（4，2）． ∵点C是y轴的负半轴上的一点，且点C到x轴的距离是2， ∴点C的坐标为（0，−2）， ∴AB＝， BC＝， AC＝． ∵（）2＋（）2＝（）2， ∴AB2＋BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴S△ABC＝AB•BC＝××＝8． ②设点E的坐标为（0，a）， ∴AE2＝（0−2）2＋（a−4）2＝a2−8a＋20，CE2＝[a−（−2）]2＝a2＋4a＋4，AC2＝40． 分三种情况考虑，如图2所示． （i）当AE＝AC时，a2−8a＋20＝40， 解得：a1＝−2（舍去），a2＝10， ∴点E1的坐标为（0，10）； （ii）当CE＝AC时，a2＋4a＋4＝40， 解得：a3＝−2＋2，a4＝−2−2， ∴点E2的坐标为（0，−2＋2），点E3的坐标为（0，−2−2）； （iii）当CE＝AE时，a2＋4a＋4＝a2−8a＋20， 解得：a＝， ∴点E4的坐标为（0，）． 综上所述：点E的坐标为（0，10），（0，−2＋2），（0，−2−2）或（0，）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程（或一元一次方程），解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出k，m的值；（2）①利用勾股定理逆定理，找出∠ABC＝90°；②分AE＝AC，CE＝AC，CE＝AE三种情况，利用等腰三角形的性质求出点E的坐标． 26. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】（3）如图，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点，直接写出___________． 【答案】（1）延长至点，使，连接，则， 为中点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）如图，延长至，使，连接，则， 为中点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的定义，含角的直角三角形等知识点，掌握转化思想是解答本题的关键． （1）延长至点，使，连接，证明，得到，所以，进而得到，根据题意得到，所以，进而可证； （2）延长至，使，连接，则，证明， 得到，又，所以，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论； （3）在上方作，并交于点，由题意得且，则在中，，进而根据已知条件求出，所以，再经过转化即可得到的值． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，在上方作，并交于点， 则， 且， ， 则在中，， 又，， ， 则， ， 故， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市北初级中学教育集团2024学年第一学期期末练习卷 八年级数学 （完卷时间：100分钟满分120分） 一、单选题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中一定没有实数根的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 已知反比例函数的图像上有两点，如果，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 D. 三角形的内角和等于 6. 如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7. 如果代数式有意义，则x的取值范围是___________． 8. 化简的结果是___________． 9. 若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是_______________． 10. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 11. 在实数范围内分解因式：__________． 12. 已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于________． 13. 如图，在中，，平分．若，，则________． 14. 经过点D，且半径等于的圆的圆心的轨迹是________． 15. 如图，等腰中，，，的垂直平分线交于D，那么的度数为________． 16. 如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为__________． 17. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么________． 18. 如图，在中，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 __________． 三、简答题（本大题共4题，19-21题每题6分，22题8分，满分26分） 19. 计算：． 20. 计算： 21. 用配方法解方程：． 22. 已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 四、解答题（本大题共4题，23题8分，24-25题每题10分，26题12分，满分40分） 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：． 25. 已知，如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线都经过点． （1）求与的值； （2）此双曲线又经过点，点是轴的负半轴上的一点，且点到轴的距离是2 ，联结、、， ①求的面积； ②点在轴上，为等腰三角形，请直接写出点的坐标. 26. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】（3）如图，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点，直接写出___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $