精品解析：福建省福州市台江区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

台江区2024—2025学年第一学期期末适应性练习 八年级数学试卷 （全卷共6页，满分：150分．考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，满分40．每小题有且只有一个正确选项．） 1. 2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕，共设32个大项，329个小项，下列四种图案是巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意， D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C 2. 唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 直角三角形的性质 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性．构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：B． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．最简二次根式根号下不含有可开方的数，根号下不含有分母，分母不含有根号． 根据最简二次根式的定义即可进行解答． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，是最简二次根式，符合题意； C. ，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 5. 长方形的面积是，若一边为，则另一边为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，长方形面积等于相邻两边的乘积，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴另一边为， 故选：A． 6. 代数式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方法则，分别计算各个选项后，判断即可解答． 【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意． 故选：B． 7. 下列将多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 8. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，和各增加， ∵， ∴当增加时，减小， 故选：D ． 9. 社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ，  ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ，  ， 点到两小区送奶站距离之和最小．    故选：C． 10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(0，a)，B(b，12－b)，C(2a－3，0)，0＜a＜b＜12，若OB平分∠AOC，且AB＝BC，则a＋b的值为（ ） A. 9或12 B. 9或11 C. 10或11 D. 10或12 【答案】B 【解析】 【分析】由OB平分∠AOC可知，B点的横坐标和纵坐标数值相同，再根据AB＝BC分情况讨论即可. 【详解】∵OB平分∠AOC ∴B点的横坐标和纵坐标数值相同 即b=12－b 解得，b=6 因为AB＝BC 可分情况讨论， 若OA=OC，如图所示 则△OAB≌△OCB a=2a－3 解得，a=3 此时，0＜a＜b＜12， 故a+b=3+6=9 ②若OA＞OC，如图所示 过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点D，点E 因为B点的横纵坐标数值相同， 所以BD=BE ∵AB＝BC， ∴Rt△ADB≌Rt△CEB ∴AD=CE ∴a-6=6-(2a-3) 解得，a=5 此时，不满足OA＞OC， 故此种情况不存在 ③若OC＞OA，如图所示， 过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点D，点E 因为B点的横纵坐标数值相同， 所以BD=BE ∵AB＝BC， ∴Rt△ADB≌Rt△CEB ∴AD=CE 6-a=2a-3-6 解得，a=5 此时，0＜a＜b＜12， 故a+b=5+6=11 综上，a+b=9或11 【点睛】本题考查角平分线的性质和代数式的应用. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 13. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】解：∵关于x的二次三项式x2-4x+k是完全平方式， ∴4=2， 解得：k=4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2是解本题的关键． 15. 如图，E是矩形ABCD中AD边上一点，将△AEB沿BE折叠得到△FEB．若∠BED=119°，则∠CBF是__________度． 【答案】32 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得△ABE≌△FBE，则∠ABE=∠FBE．根据三角形外角的性质得到∠ABE的度数，即可得到结论． 【详解】根据折叠的性质，得△ABE≌△GBE，∴∠ABE=∠FBE． ∵∠BED=119°，∴∠ABE=∠BED－∠A=119°－90°=29°，∴∠CBF=90°－∠ABE－∠EBF=90°－29°－29°=32°． 故答案为32． 【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定及性质、三角形外角的性质．掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 若x满足，则代数式的的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，先求出的值， 进而利用完全平方公式求出的值，据此可得的值，再计算算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，二次根式的乘除法，同底数幂的乘法运算以及积的乘方混合运算，解题的关键是熟悉运算法则． （1）根据算术平方根的性质，二次根式的乘除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）先去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得 ， 解得， 当时，， 所以原方程的解为． 19. 如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ． ， ，即． 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用平行线的性质求得，由得，然后利用即可证明． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合计算，先根据乘法公式和单项式乘以多项的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的尺规作图等知识点． （1）直接作出的垂直平分线得出即可； （2）根据等边对等角求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，由此即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 一条笔直的公路经过相距10千米的A，B两地，甲、乙两人骑车从A地前往B地． （1）若乙骑车的速度是甲骑车的速度2倍，甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达B地，求甲骑车的速度； （2）若甲、乙两人同时从A地出发，甲骑车的速度为千米/时；乙骑车的速度为千米/时，其中．请判断谁先到达B地，并说明理由． 【答案】（1）甲骑车的速度为千米/分 （2）解：乙先到达B地， 理由如下： ， ∵， ∴， ∴甲的速度小于乙的速度， ∴乙先到达B地． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，整式加减的实际应用： （1）设甲骑车的速度为千米/分，则乙骑车的速度为千米/分，根据甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达B地建立方程求解即可； （2）两人的速度大的先到达B地，据此利用作差法比较出两人的速度大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲骑车的速度为千米/分，则乙骑车的速度为千米/分， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲骑车的速度为千米/分； 【小问2详解】 略 23. 综合与实践： 【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践探究】如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在、上的E点，折线交于点D，则． ∵（想一想为什么）， ∴． 请证明为什么有； 【类比探究】如图，在中，如果，请仿照如上折叠的方法，试证明． 【实践拓展】如图，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点D作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】问题情境：∵， ∴； 实践探究：∵，， ∴； 如图所示，折叠，使得，交于F，则， 在中，， ∴，即； ； 类比探究： 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形三边关系的应用： 问题情境：由三角形外角的性质可得； 实践探究：证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明； 类比探究：由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到． 【详解】解：问题情境：略 实践探究：略 类比探究：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 【答案】（1） 解：C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明如下： ∵，， ∴， ∴C为D的“雅中式”，且“雅中值”为； （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：整理可得：从而可得：，求出、的值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：关于的“雅中值”是1， ， ， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：， 的值为：， ； 【小问3详解】 解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， ∴， ∴， ∵式子恒成立： ， ∴， ∴． 25. 如图1，在中，，，以为边作等边（点C，D在边的同侧），连接． （1）若，，求的度数： （2）当时，请判断的形状并说明理由： （3）当等于多少度时，恒成立． 【答案】（1） （2）是等腰三角形． 理由如下：设，则，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）当时，恒成立 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、等腰三角形的性质． （1）先由等腰三角形三线合一的性质证明为的垂直平分线，从而可得到，则； （2）设，则，，，然后可证明，则，于是可得到； （3）当时，恒成立，如图所示：作等边，连接，则，．先证明，从而可得到，然后再证明，从而可得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，恒成立． 如图：作等边，连接，则，． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台江区2024—2025学年第一学期期末适应性练习 八年级数学试卷 （全卷共6页，满分：150分．考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，满分40．每小题有且只有一个正确选项．） 1. 2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕，共设32个大项，329个小项，下列四种图案是巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 直角三角形的性质 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 长方形的面积是，若一边为，则另一边为（ ） A. B. C. D. 6. 代数式可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列将多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 9. 社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(0，a)，B(b，12－b)，C(2a－3，0)，0＜a＜b＜12，若OB平分∠AOC，且AB＝BC，则a＋b的值为（ ） A. 9或12 B. 9或11 C. 10或11 D. 10或12 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________． 13. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度． 14. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是______． 15. 如图，E是矩形ABCD中AD边上一点，将△AEB沿BE折叠得到△FEB．若∠BED=119°，则∠CBF是__________度． 16. 若x满足，则代数式的的值为______． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 如图，点B，F，E，C在一条直线上，，，．求证：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 22. 一条笔直的公路经过相距10千米的A，B两地，甲、乙两人骑车从A地前往B地． （1）若乙骑车的速度是甲骑车的速度2倍，甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达B地，求甲骑车的速度； （2）若甲、乙两人同时从A地出发，甲骑车的速度为千米/时；乙骑车的速度为千米/时，其中．请判断谁先到达B地，并说明理由． 23. 综合与实践： 【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践探究】如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在、上的E点，折线交于点D，则． ∵（想一想为什么）， ∴． 请证明为什么有； 【类比探究】如图，在中，如果，请仿照如上折叠的方法，试证明． 【实践拓展】如图，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点D作的平行线交于点M，若，求的度数． 24. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 25. 如图1，在中，，，以为边作等边（点C，D在边的同侧），连接． （1）若，，求的度数： （2）当时，请判断的形状并说明理由： （3）当等于多少度时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $