精品解析：江苏省南京市秦淮科技高中2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年高二上学期南京市秦科高12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即， 所以，整理得，解得或（舍去）. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，并令求出的值，再利用导数的定义化简即可求解. 【详解】因为，则，所以，则， 故选：A 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当直线与垂直时，，即， 解得或， 所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 在数列中，，，则的值为（ ） A. 3071 B. 3072 C. 3073 D. 3074 【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法，可得数列是等比数列，可得，最后可得结果. 【详解】由，则 又，所以 所以可知： 数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以，则 所以 故选：A 【点睛】本题主要考查根据递推公式求，难点在于用配凑法求得，属基础题. 5. 已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，由题意可得为线段的中点，且，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线的对称性不妨设点在双曲线的右焦点， 如图，延长交于点， 因为为的角平分线，， 所以为线段的中点，且， 又为线段的中点， 所以. 故选：B. 6. 已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点为，连，CE，分析可得当共线时，有最大值，结合圆的对称性与正弦定理可得，即，转化为圆心到直线的距离即可得的取值范围，即可得所求. 【详解】如图，取中点为，连，CE， 已知，圆心，半径， 则当共线时，有最大值， 因为，则此时， 又由正弦定理得，故， 所以当的时，， 由于点在直线上，所以圆心到直线的距离， 整理解得， 故的最大值为. 故选：D. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，，令，则，可得出，利用参变量分离法可求出的最小值. 【详解】因为，则， 因为，令，则， 因为函数在上是增函数，则对任意的，恒成立， 即对任意的，，可得， 因为函数、在区间上为减函数， 所以，函数在上为减函数，则， 因此，实数的最小值为. 故选：B. 8. 已知抛物线，点为抛物线的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上，中，，当取最小值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知，根据抛物线定义以及正弦定理可知当直线与抛物线相切时，满足题意；再由直线与抛物线的位置关系可得或，由椭圆定义求得，计算可得离心率. 【详解】由抛物线可知， 作垂直于抛物线的准线，垂足为，连接，如下图所示： 在中，由利用正弦定理可得； 由以及抛物线定义可得， 当取最小值时可知最大，易知直线与抛物线相切时，满足题意， 设直线的方程为， 联立，整理可得， 易知，解得， 由对称性可得或； 又点恰好在以为焦点的椭圆上，由椭圆定义可得， 可得，又， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线定义以及正弦定理得出当直线与抛物线相切时，满足题意，求出点的坐标再由椭圆定义即可得出离心率. 二、多选题 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求导公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 10. 已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. C. 数列的通项公式为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求得公比的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算判断选项ABC，再运用裂项相消法求和可求得数列的前项和为判断D选项. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 所以，故A项正确； 所以，故B项正确； 所以，故C项错误； 因为， 所以， 由，，有， 又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 已知，，为双纽线上任意一点，则 C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线关于直线对称的曲线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，曲线C经过整点；B，，即可判定；C，将直线与曲线方程联立，根据方程的解可判断C；D，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线对称的曲线方程. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 令，解得，或； 当时，得，无解； 当时，得，无解； 所以曲线C经过整点，故A错； 对于B，由于，，则， 所以为双纽线上任意一点，则，B正确； 对于C，直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点， 所以，整理得无非零实数解， ，实数k的取值范围为，故C正确； 对于D，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线对称的曲线方程为 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题 12. 已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 13. 函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及导函数的符号与函数的单调性的关系，把问题转化为二次函数的零点分布问题求解. 【详解】函数求导， 因为在区间上不单调，所以在区间内有零点. 又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根. ，因为，， 所以. 故答案为： 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不妨令焦点在轴，设出椭圆和双曲线的方程，根据垂直关系得到，然后结合三角函数，利用换元法表示出，结合辅助角公式即可求出最终结果. 【详解】由题意不妨设双曲线方程为， 椭圆方程为，， 则，，， 则，， 又，则， 化简可得，即， 设，，则， 设，，， 因为，， 所以， 即，解得， 则， 又，则， 所以，， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1） （2）当时，函数在(0,+∞)上单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增 【解析】 【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程； (2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性. 【小问1详解】 当时，， ，所以，曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增； 当时，当时，函数单调递减 当时，函数单调递增； 当时，当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增 16. 已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）；或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由已知，得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 由题可设. 将代入，消去，得. 当，即时，有. 所以 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为， 此时直线的方程为或. 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 所以， 所以. 【小问3详解】 由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 18. 已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. （1）求的方程； （2）当斜率为1时，求直线的方程； （3）求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：由题意可知，的斜率不为0，设：，，. 由可得，. 所以，，，所以. 所以，所以. 同理可得：，. 令，得. 当，，时， 直线的斜率. 所以：， 化简得：，即为：. 所以到的距离， 所以到的距离， 所以. 由（2）知，当时，，所以. 【解析】 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）分别联立直线，直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （3）分别联立直线，直线与双曲线方程，表示出点坐标，即可得到直线的斜率以及直线的方程，再由点到直线的距离公式分别得到到的距离以及到的距离，即可得到结果. 【小问1详解】 由，得，又因为，所以， 所以，所以：. 【小问2详解】 由题知：，设，则， 联立，消去可得， 则，所以， 则， 又直线，互相垂直，则，设， 则， 联立，消去可得， 则，所以， 则，所以：. 【小问3详解】 略 19. 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 【答案】（1），，，， （2）（ⅰ）4950； （ⅱ）当为奇数时，逆序数为， 当为偶数时，逆序数为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【小问1详解】 由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或． 综上，符合条件的数列组合有： ，，，，． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． 【小问3详解】 在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二上学期南京市秦科高12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 在数列中，，，则的值为（ ） A. 3071 B. 3072 C. 3073 D. 3074 5. 已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，点为抛物线的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上，中，，当取最小值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. C. 数列的通项公式为 D. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 已知，，为双纽线上任意一点，则 C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线关于直线对称的曲线方程为 三、填空题 12. 已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 13. 函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是______. 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 四、解答题 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 16. 已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程. 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 18. 已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. （1）求的方程； （2）当斜率为1时，求直线的方程； （3）求证：为定值. 19. 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $