精品解析：天津蓟州中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

天津蓟州中学2024-2025年第一学期高二第二次月考 数学试卷 一、选择题 （本大题共 9 个小题，每题5分，共 45 分） 1. 直线与平行,则（ ） A. B. 2 C. 或 2 D. 0 或 1 2. 已知圆，则其圆心和半径分别为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量,,若,则实数 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 设是等差数列的前n项和，若，则的值是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 5. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. 6. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第6项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第11项 7. 已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 9. 圆的圆心与抛物线的焦点 重合， 为两曲线的交点，则原点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 1 二、填空题 （本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 10. 直线的倾斜角为_____. （用弧度表示） 11. 已知抛物线的焦点为 ，点 在抛物线上，，则点的横坐标为_____. 12. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 13. 设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为_______________． 14. 已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为_____，弦长为_____. 15. 已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为_____. 三、解答题（本大题共 5小题， 共 75 分） 16. 已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于、两点， （i）若，求直线的方程； （ii）求弦最短时直线的方程. 17. 已知为等差数列的前项和，且 （1）求的通项公式： （2）若是等比数列，且，求的前项和 18. 如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知等差数列中，，且前项和为. （1）求数列的通项公式与数列的前项之和 . （2）若，若数列的前项和满足恒成立，求负整数的最大值. 20. 如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q． （i）当时，求直线的斜率； （i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津蓟州中学2024-2025年第一学期高二第二次月考 数学试卷 一、选择题 （本大题共 9 个小题，每题5分，共 45 分） 1. 直线与平行,则（ ） A. B. 2 C. 或 2 D. 0 或 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件列方程，由此解出的值，排除两条直线重合的情况，由此得出正确选项. 【详解】由于两条直线平行，所以，解得或，当时，两条直线方程都为，即两条直线重合，不符合题意，故，所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行求参数，考查两条直线重合，属于基础题. 2. 已知圆，则其圆心和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的特点确定圆心和半径. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为. 故选：C. 3. 已知空间向量,,若,则实数 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据时，，列方程求出的值． 【详解】解：向量，， 若，则， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 4. 设是等差数列的前n项和，若，则的值是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则. 故选：B. 5. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若△AF1B的周长为4, 由椭圆的定义可知,, ,, ， 所以方程为，故选A. 考点：椭圆方程及性质 6. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第6项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第11项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的特征求出通项，可得所在的位置. 【详解】数列，即，被开方数是首项为2公差为3 的等差数列， 可得原数列通项为， ，所以是这个数列的第7项. 故选：B 7. 已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案. 【详解】由两直线垂直得，解得， 所以原直线直线可写为， 又因为垂足为同时满足两直线方程， 所以代入得， 解得， 所以， 故选:D 8. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为, 由点到直线的距离公式可得. 故选：B 9. 圆的圆心与抛物线的焦点 重合， 为两曲线的交点，则原点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心的坐标，即可得到抛物线方程，联立圆和抛物线方程，求点坐标及直线的方程，利用点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 ∵圆的圆心为，抛物线的焦点的坐标为， ∴，即， ∴抛物线方程为. 由，得， 解得或（舍）， ∴， 当点的坐标为时，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， ∴原点到直线的距离为. 当点的坐标为时，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， ∴原点到直线的距离为. 故选：A. 二、填空题 （本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 10. 直线的倾斜角为_____. （用弧度表示） 【答案】## 【解析】 【分析】由直线方程求斜率，再根据倾斜角和斜率关系求倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，， 所以， 所以. 故答案为：. 11. 已知抛物线的焦点为 ，点 在抛物线上，，则点的横坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义求点的横坐标. 【详解】抛物线：的焦点，准线， 设点的横坐标为， 由抛物线定义得，解得， 所以点的横坐标为. 故答案为：. 12. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 13. 设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和的性质，结合二次函数性质确定最大值，即得结果. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以, 为开口向下的二次函数， 所以对称轴为, 因为，所以当且仅当6时， 取最大值， 故答案为：6. 14. 已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为_____，弦长为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，由两圆方程相减可得公共弦方程，求到公共弦的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， ，， 所以圆与圆相交， 将圆 和圆方程相减可得， 所以圆 与圆的公共弦所在的直线方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦的长为. 故答案为：；. 15. 已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答. 【详解】双曲线：的渐近线方程为：， 令直线的倾斜角为，则， 由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为，则， 于是得， 而双曲线的虚半轴长为， 即，显然四边形为矩形， 其面积，解得 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 5小题， 共 75 分） 16. 已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于、两点， （i）若，求直线的方程； （ii）求弦最短时直线的方程. 【答案】（1） （2）①或；②. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果； ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 17. 已知为等差数列的前项和，且 （1）求的通项公式： （2）若是等比数列，且，求的前项和 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，求公差，即可求解通项公式； （2）首先求等比数列的基本量，再代入求和公式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，得， 所以； 【小问2详解】 设等比数列的首项为，公比为， 所以，所以，， 所以， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：、分别为、的中点， 则， 平面，平面， 故平面. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为四边形为正方形，则， 又因为，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，得，取，可得， ，则， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 解：易知平面的一个法向量为，. 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知等差数列中，，且前项和为. （1）求数列的通项公式与数列的前项之和 . （2）若，若数列的前项和满足恒成立，求负整数的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式与数列的前项之和的表达式； （2）利用裂项相消法求出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 ①， 又因为②， 联立①②可得，，所以，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 因为，所以，， 因为二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 又因为，故当时，取最小值， 且其最小值为，则， 因此，负整数的最大值为. 20. 如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q． （i）当时，求直线的斜率； （i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）(i)； (ii)不存在，理由如下： 圆心(0,0)到直线的距离为， 则， 所以， 整理，得，显然，， 所以不存在直线，使得． 【解析】 【分析】(1)根据椭圆可知，由椭圆的离心率求出，由求出即可； (2)(i)设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为，联立椭圆方程消去y，利用韦达定理可得，结合弦长公式即可求得； (ii)根据垂径定理求出圆的弦长，把代入方程，解之即可得出结论. 【小问1详解】 因为椭圆的左顶点A在圆上，所以， 又离心率为，所以，所以， 所以，所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设点，显然直线存在斜率， 由，设直线的方程为， 得，消去y，得， 因为-4为方程的一个根，所以， 所以， 由， 代入得到，解得， 所以直线的斜率为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $