培优点12概率、统计与其他知识的交汇问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

培优点12概率、统计与其他知识的交汇问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　概率、统计与数列的综合问题 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型． 【例题1】（2021·山西·二模）为了适应教育改革新形势，某实验高中新建实验楼、置办实验仪器、开设学生兴趣课堂，将分子生物学知识和技术引入其中，激发了广大学生的学习和科研热情．现已知该生物科研兴趣小组共有9名学生．在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名学生分成3组，每组3人． （1）若将实验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成．现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员成功率为．若任意过程失败，则该实验须重新开始．求一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率； （2）现某小组3人代表学校组队外出参加生物实验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注实验．该赛程规则为：三人同时进行灌注实验，但每人只有一次机会，每个队员成功的概率均为．若单个队员实验成功计2分，失败计1分． ①设小组总得分为，求的分布列与数学期望； ②主办方预计通过该赛程了解全国生物兴趣课程的开设情况．现从所有参赛队员中抽取人成绩计入总得分，若总得分大于的概率为，求数列的前15项和． 【变式1】（2022·山西太原·二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目． (1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望； (2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为．求证：数列为等比数列，并求． 【变式2】（2020·湖南长沙·二模）2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为，假设每位密切接触者不再接触其他患者. （1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望； （2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为. （i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列； （ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取） （结果保留整数，参考数据：） 【变式3】（2024·山西长治·模拟预测）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S. （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）； 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小. 题型二　概率、统计与导数的综合问题 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现． 【例题2】（2024·广东佛山·模拟预测）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分． (1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值； (2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【变式1】（2024·全国·模拟预测）近年来毕业旅行的热度明显上升．对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式．某平台对年毕业季毕业生购买飞机票的数量（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万张 30 36 51 60 78 (1)分析上述统计表可知与有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程． (2)通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行．某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名． （ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）． （ⅱ）用样本的频率估计概率．设女性毕业生中购买飞机票的概率为，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求的值． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 【变式3】（2024·江西新余·模拟预测）小郅同学的左、右口袋中分别装有3个糖果，每次取糖他都有的概率从右口袋中取，每次取糖过程相互独立.当他发现某个口袋中没有糖时停止取糖. (1)求当他右口袋为空时，左口袋中剩余2个糖的概率，并求出的值使最大. (2)若，求小郅最终发现其右口袋没有糖的概率. (3)对于，求证成立不等式：. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2023·江西鹰潭·一模）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 3．（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·山东·模拟预测）在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（    ） A． B．， C．的最大值为 D． 5．（2023·江苏南京·模拟预测）某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（    ） A． B． C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094 D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则 三、填空题 6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为 . 7．（2022·山西吕梁·二模）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ． 四、解答题 8．（2020·福建泉州·模拟预测）2019年泉州市农村电商发展迅猛，成为创新农产品交易方式、增加农民收入、引导农业供给侧结构性改革、促进乡村振兴的重要力量，成为乡村振兴的新引擎.2019年大学毕业的李想，选择回到家乡泉州自主创业，他在网上开了一家水果网店.2019年双十一期间，为了增加水果销量，李想设计了下面两种促销方案：方案一：购买金额每满120元，即可抽奖一次，中奖可获得20元，每次中奖的概率为（），假设每次抽奖相互独立.方案二：购买金额不低于180元时，即可优惠元，并在优惠后的基础上打九折. （1）在促销方案一中，设每10个抽奖人次中恰有6人次中奖的概率为，求的最大值点； （2）若促销方案二中，李想每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的八折，求的最大值； （3）以（1）中确定的作为的值，且当取最大值时，若某位顾客一次性购买了360元，则该顾客应选择哪种促销方案？请说明理由. 9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率. (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和； (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值. 10．（2024·四川·模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； (2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·陕西咸阳·三模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，甲同学回答第题时答错的概率为，，当时，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·一模）将三个分别标注有 ，x，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若 ，则在上单调递减的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·云南·阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的个.设当参与者手中有个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是（    ） A．， B．记参与者通关的局数，在前13局中，， C． D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为 4．（2024·河南·二模）单调递增数列满足：.在的条件下，的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·一模）甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2022·福建三明·模拟预测）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是 7．（2023·安徽淮北·二模）已知棋盘上标有第0，1，2，...，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（欢乐大本营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为，（    ） A． B． C． D． 8．（2023·海南·模拟预测）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 D．当时， 三、填空题 9．（2020·浙江舟山·模拟预测）2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员.若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率为且相互独立，则至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率为 ，当 时，此概率最大. 10．（2024·重庆开州·模拟预测）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则的数学期望 .（用表示） 11．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为 ． 四、解答题 12．（2024·浙江杭州·二模）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 13．（2024·广东广州·三模）甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 14．（2023·全国·模拟预测）某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 观点 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 (1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望； (2)若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 15．（2021·福建厦门·三模）每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有，，，四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币． （1）某员工活动前两天获得，，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ （2）通过抽调查发现：活动首日有的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率．记某员工第天选择“球类”的概率为． ①计算，，并求； ②该集团公司共有员工1400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？ 16．（2022·全国·模拟预测）为了开展中学生阳光体育运动，某校组织学生全员参与，并印制了“运动增智”校园纪念卡鼓励学生，该系列纪念卡背面分别标注不同数字1，2，3.每名同学每天自主选择“球操”和“啦啦操”中项进行运动.运动结束后将随机等可能地获得一张校园纪念卡. (1)学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字之和记为X，求； (2)通过数据统计发现：运动开展首日有的学生选择“球操”，其余学生选择“啦啦操”；在前一天选择“球操”的学生中，次日会有的学生继续选择“球操”，其余选择“啦啦操”；在前一天选择“啦啦操”的学生中，次日会有的学生继续选择“啦啦操”，其余学生选择“球操”，用频率近似估计概率，记某学生运动第n天选择“球操”的概率为，求. 17．（2024·河南信阳·模拟预测）设集合为的非空子集，随机变量X，Y分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值. (1)若的概率为，求； (2)若，求且的概率； (3)求随机变量的均值. 18．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 19．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·模拟预测）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述： ①； ②； ③ ④前天甲午餐总费用的数学期望为. 其中正确的是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、多选题 3．（2024·山西太原·模拟预测）某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检．已知每轮抽到A产品的概率为，每轮抽检中抽到B产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与B产品的件数的比例为k，单轮抽检中抽检的次数为x，则（    ） A．若，则 B．当时，取得最大值 C．若一轮抽检中x的很大取值为M， D．恒成立 三、填空题 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某公司加工一种芯片的不合格率为p，其中，若加工后的30颗这种芯片中恰有6颗不合格的概率为，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当取最大值时， ． 5．（2024·广东肇庆·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 . 四、解答题 6．（2020·河北衡水·三模）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图． 质量指标值 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 （1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值的件数的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件．求事件发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示；（） 质量指标值 利润 试确定的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：，，） 7．（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表： 质量指标值 质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图： (1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率； (2)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表： 质量指标值 利润（元） 试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：）. 8．（2023·全国·模拟预测）某国卫生与公共服务部门数据显示，在近两周里，该国某州新冠肺炎确诊病例数新增．在对确诊病例的密切接触者进行医学观察后发现，其中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该州120个密切接触者样本的医学观察结束后，统计了其疫苗接种与感染病毒情况，得到下面的列联表（单位：人）． 接种疫苗情况 感染病毒情况 感染 未感染 未接种 20 30 已接种 10 60 (1)是否有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关？ (2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人统计感染病毒的人数，求其中至少有2人感染病毒的概率． (3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行病毒检测，每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（）且相互独立，记该家庭至少检测了2名成员才被确定为“感染高危家庭”的概率为，求当p为何值时，最大． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 9．（2024·河北·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题： (1)若取出的小球不再放回， ①求最后取完的小球是黄球的概率； ②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率； ③设随机变量为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求； (2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取次球，设随机变量为取球次数，证明：. 10．（2024·浙江·模拟预测）浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取次.每次都有的概率抽中，的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算： 1.将玩家次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为的仅有01的序列. 2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为，那么得分即为. 3.序列的得分即为每一段连续的1的得分和. 例如:如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为.可能用到的公式：若为两个随机变量，则. (1)若，清照进行了一次游戏.记随机变量为清照的最终得分，求. (2)记随机变量表示长度为的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求. (3)若，清照进行了一次游戏.记随机变量为清照的最终得分，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点12概率、统计与其他知识的交汇问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　概率、统计与数列的综合问题 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型． 【例题1】（2021·山西·二模）为了适应教育改革新形势，某实验高中新建实验楼、置办实验仪器、开设学生兴趣课堂，将分子生物学知识和技术引入其中，激发了广大学生的学习和科研热情．现已知该生物科研兴趣小组共有9名学生．在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名学生分成3组，每组3人． （1）若将实验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成．现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员成功率为．若任意过程失败，则该实验须重新开始．求一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率； （2）现某小组3人代表学校组队外出参加生物实验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注实验．该赛程规则为：三人同时进行灌注实验，但每人只有一次机会，每个队员成功的概率均为．若单个队员实验成功计2分，失败计1分． ①设小组总得分为，求的分布列与数学期望； ②主办方预计通过该赛程了解全国生物兴趣课程的开设情况．现从所有参赛队员中抽取人成绩计入总得分，若总得分大于的概率为，求数列的前15项和． 【答案】（1）；（2）①分布列见解析；期望为5；②． 【分析】（1）一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率，即求一个组失误0次与仅第一步失误1次的概率之和； （2）①随机变量的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求得分布列和期望；②利用对立事件，可得总得分大于的概率为，再进行数列求和，即可得到答案； 【详解】解：（1）一个组失误0次的概率为； 仅第一步失误一次的概率为， 则一个组在不超过4小时完成任务的概率为． （2）①随机变量的可能取值为3，4，5，6， ，， ，． 则的分布列为： 3 4 5 6 ． ②总得分大于的概率为， 则的前15项和为． 【点睛】本题是概率与数列知识的交会，涉及二项分布、对立事件、相互独立事件的概率计算，求解时注意辨别概率模型. 【变式1】（2022·山西太原·二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目． (1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望； (2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为．求证：数列为等比数列，并求． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)证明见解析； 【分析】(1)根据二项分布可求解； (2)根据题意有，再根据递推关系可求解. 【详解】（1）每个点球能被守门员扑出球门外的概率为， 由题知， ，， ，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴． （2）由已知第次传球后球又回到甲脚下的概率为， ∴时， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴． 【变式2】（2020·湖南长沙·二模）2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为，假设每位密切接触者不再接触其他患者. （1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望； （2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为. （i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列； （ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取） （结果保留整数，参考数据：） 【答案】（1）；. （2）（i），证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要. 【解析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，则可求出概率及数学期望； （2）（i）根据第天被感染人数为，及第天被感染人数为， 作差可得可得，，可证，（ii）利用导数计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性. 【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：， 则,， 的数学期望. （2）（i）第天被感染人数为， 第天被感染人数为， 由题目中均值的定义可知， 则，且. 是以为首项，为公比的等比数列. （ii）令， 则. 在上单调递增，在上单调递减. . 则当，. . . 戴口罩很有必要. 【点睛】本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题. 【变式3】（2024·山西长治·模拟预测）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S. （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）； 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小. 【答案】(1)300 (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)证明见解析，， 【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案. （2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案. （ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案. （3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得，利用差比较法比较和的大小. 【详解】（1）. （2）（ⅰ）. （ⅱ））∵Z服从二项分布，∴. （3）当时，， . ∴是以为首项，为公比的等比数列， . . 累加得： . ∴ ∵，∴. 注：比较和的另一个过程：. 题型二　概率、统计与导数的综合问题 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现． 【例题2】（2024·广东佛山·模拟预测）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分． (1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值； (2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）将表示出来，利用导数求最值； （2）卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张，对应的的所有可能取值为8，2，，，由此可得分布列及数学期望． 【详解】（1）设连续三次测试结果为良好的概率为， 依题意得，， ，令得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当 时，取最大值为； （2）某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上， 卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张， 对应的的所有可能取值为8，2，，． 则，， ，， （或， 所以的分布列为： 8 2 数学期望为 【变式1】（2024·全国·模拟预测）近年来毕业旅行的热度明显上升．对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式．某平台对年毕业季毕业生购买飞机票的数量（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万张 30 36 51 60 78 (1)分析上述统计表可知与有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程． (2)通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行．某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名． （ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）． （ⅱ）用样本的频率估计概率．设女性毕业生中购买飞机票的概率为，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求的值． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由题意得，利用线性回归方程计算公式得关于的经验回归方程即可； （2）（ⅰ）样本中购买飞机票的毕业生中，男性所占比例，由（1）得2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中男性的人数，即可得出答案；（ⅱ）由题意得，其中，则，则，利用导数研究的单调性，即可得出答案． 【详解】（1）由题意得，， ， ， ， 所以关于的经验回归方程为． （2）（2）（ⅰ）由题意知，400名毕业生中男性有（名）， 故样本中购买飞机票的男性有（名）， 样本中购买飞机票的毕业生中，男性所占比例为， 所以估计一名购买飞机票的毕业生为男性的概率为． 因为2026年对应的年份代码，所以， 因此估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中男性的人数为． （ⅱ）由题意知，，，，则当时，取得最大值1，当时，取得最小值，即， 且． 设函数，， 则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减．故当时，取得最大值． 由上可知，当时，取得最大值，此时，得． 【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）先根据题意求出小明从甲口袋摸出一个白球的概率和从乙口袋摸出一个白球的概率，然后求出小明4次摸球中，摸出的都是红球的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得答案；（ii）的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求出的数学期望； （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，则，然后利用导数可求得其最大值. 【详解】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为. （i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且， 所以. （ii）的所有可能取值为， 由（i），得，， ，，， 所以. （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则. 因为， 所以当时，；当1时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，最大， 此时，解得， 故当时，最大. 【点睛】关键点点睛：此题考查对立事件的概率公式的应用，考查离散型随机变量的期望，考查独立重复试验的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据独立重复试验的概率公式表示出，然后利用导数可求出其结果，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 【变式3】（2024·江西新余·模拟预测）小郅同学的左、右口袋中分别装有3个糖果，每次取糖他都有的概率从右口袋中取，每次取糖过程相互独立.当他发现某个口袋中没有糖时停止取糖. (1)求当他右口袋为空时，左口袋中剩余2个糖的概率，并求出的值使最大. (2)若，求小郅最终发现其右口袋没有糖的概率. (3)对于，求证成立不等式：. 【答案】(1)，时，有最大值. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，且，求导，利用导数求原函数单调性和最值； （2）设所求概率为，可得，进而代入运算求解即可； （3）由题意可知：，分析可知，结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）由题意可知：，且， 则， 令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减， 所以当时，取到最大值. （2）设当他发现右口袋为空时左口袋剩个糖果的概率为，则， 所以 . （3）设初始左、右口袋均有个糖果， 则（2）中公式可化为：， 下证：，即证， 等价于， 等价于， 等价于， 依此类推等价于，这显然成立. 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 化简最终不等式得：， 又因为，当且仅当，即时等号成立， 可知，可得，所以 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2023·江西鹰潭·一模）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式以及对立事件的概率关系及组合数公式求解即可. 【详解】依题意可知，数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 其中偶数有3个， 所以从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项都是偶数的概率为， 所以至少有1项是奇数的概率为. 故选：D. 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【分析】设人数为，根据古典概型概率公式求出“至少有两个人在同一天生日”的概率，再进行化简计算即可. 【详解】设直播间进来了个人，则这个人生日的可能性有种，这个人中任意两个人都不在同一天生日的可能结果种数为， 设“这个人中任意两个不是同一天生日”，根据古典概型概率公式可得， 则其对立事件“这个人中至少有两个人的生日在同一天”的概率为. 由题意：，从而，得，化简得，即，故. 故选：C. 3．（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案. 【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以，即. 显然数列递减，所以当时，， 所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题 4．（2024·山东·模拟预测）在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（    ） A． B．， C．的最大值为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，服从二项分布，使用二项分布求解即可；对于B，服从“几何分布”，即表示进行了次，前次未发生，故；对于C，服从“几何分布”，即，通过导数判断单调性即可求出最大值；对于D，根据“几何分布”求数学期望，再根据公式计算数学期望即可. 【详解】对A项，因为，所以，故A错误； 对B项，表示进行了次，前次未发生， 所以，故B正确； 对C项，， 令，， 所以， 解得或（舍） 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以， 即的最大值为，故C正确； 对D项， 所以① 用代换得： ② 由①②得 ， 故D正确. 故选：BCD. 5．（2023·江苏南京·模拟预测）某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（    ） A． B． C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094 D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则 【答案】ABD 【分析】根据抽样方式可计算概率，判断A,C,根据概率计算可得分布列，进而得期望，用错位相减法求期望即可判断B，根据成本计算可求解D. 【详解】解：对于A，记检测到隐藏款的概率为，则，故正确； 对于B，由题意得的分布列为 且； 记, 则， 两式相减得 ， 所以，故正确 对于C，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误， 对于D，设总共有件盲盒，则成本为元，则定价才能保证获利，故正确 故选：ABD 三、填空题 6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为 . 【答案】/. 【分析】利用古典概率模型以及等差数列的定义即可求解. 【详解】由题意可知所有可能情况共有种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列， 可以按照公差为分类，其中公差为和的做法数对应相等. 公差为0的有共8种做法； 公差为1的有共6种做法，同公差为的； 公差为2的有共4种做法，同公差为的； 公差为3的有共2种做法，同公差为的； 所以三个数恰好构成等差数列的概率. 故答案为:. 7．（2022·山西吕梁·二模）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ． 【答案】/ 【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得. 【详解】至少射击4次合格通过的概率为， 所以，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时得最大值，故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用表示至少射击4次合格通过的概率，并利用导数研究在上的最值即可. 四、解答题 8．（2020·福建泉州·模拟预测）2019年泉州市农村电商发展迅猛，成为创新农产品交易方式、增加农民收入、引导农业供给侧结构性改革、促进乡村振兴的重要力量，成为乡村振兴的新引擎.2019年大学毕业的李想，选择回到家乡泉州自主创业，他在网上开了一家水果网店.2019年双十一期间，为了增加水果销量，李想设计了下面两种促销方案：方案一：购买金额每满120元，即可抽奖一次，中奖可获得20元，每次中奖的概率为（），假设每次抽奖相互独立.方案二：购买金额不低于180元时，即可优惠元，并在优惠后的基础上打九折. （1）在促销方案一中，设每10个抽奖人次中恰有6人次中奖的概率为，求的最大值点； （2）若促销方案二中，李想每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的八折，求的最大值； （3）以（1）中确定的作为的值，且当取最大值时，若某位顾客一次性购买了360元，则该顾客应选择哪种促销方案？请说明理由. 【答案】（1）；（2）20元；（3）选择方案一，理由见解析 【分析】(1) 依题意得：，利用求导，即可求出最值 (2) 设顾客一次购买水果的促销前总价为，当元时，有恒成立，利用参变分离法，把和分别放在不等式两边即可求解. (3)分别列出参加两种活动的方案，然后分别计算出减负金额即可判断应选择哪种促销方案 【详解】解：（1）依题意得：， 则， 当时，；当时，， 故在时取得最大值，所以. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为， 当元时，有恒成立， 即恒成立，所以，故的最大值为20元. （3）若参加活动一，顾客可抽奖三次.设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数， 由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则， 所以. 由于顾客每中一次可获得20元现金奖励， 因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元， 若参加活动二，顾客可得减负金额为元. 又因为，所以顾客应该选择活动二. 【点睛】本题考查利用导数求最值，参变分离法，以及二项分布的数学期望问题，属于基础题. 9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率. (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和； (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列。由期望公式，即可求得数学期望； （2）结合题意可知只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是可得到，利用错位相减法求和，即可求得答案； （3）设只游览冰雪大世界的人数为，由此可得游客得到纪念品的总个数，即可得到的表达式，结合题意列出不等式组，利用组合数的计算，即可求得答案. 【详解】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品； 既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品， 则的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以的分布列为 3 4 5 6 . （2）因为个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个， 则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人， 于是， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以. （3）设只游览冰雪大世界的人数为， 则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为， 因此游客得到纪念品的总个数， 此时， 假定取最大值，必有，于是， 即，整理得， 解得，而，则，则， 所以当取最大值时，. 10．（2024·四川·模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； (2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析. 【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望； （2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断. 【详解】（1）， 由Z服从正态分布，得 ，因此， 所以X的数学期望为. （2）①棋子开始在第0格为必然事件，， 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即， 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 因此，即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列. ②由①知，，，，， 将以上各式相加，得， 于是， 则闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为， ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率. 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·陕西咸阳·三模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，甲同学回答第题时答错的概率为，，当时，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再借助单调性求出的最小值即可得解. 【详解】依题意，，当时，由，得， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即，显然数列是递增数列， 当时，，而当时，恒成立，于是， 所以的最大值为. 故选：A 2．（2024·湖南常德·一模）将三个分别标注有 ，x，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若 ，则在上单调递减的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】若，由均为上的单调递增函数，且为正，故为上的单调递增函数， 若，则时，，故为上的单调递减函数， 若，则时，，故为上的单调递减函数， 故在上单调递减的概率为, 故选：D 3．（23-24高三下·云南·阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的个.设当参与者手中有个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是（    ） A．， B．记参与者通关的局数，在前13局中，， C． D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为 【答案】C 【分析】根据游戏规则可直接判定A；根据，可计算，，判断B；由全概率公式判断C；由选项C可得为等差数列，结合1数列通项公式可判断D. 【详解】对于A，当时，游戏币已经输光了，因此， 当时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率，故A正确； 对于B，由题意可得，， 所以，故B正确； 对于C，参与者有n个游戏币的状态，可能来源于有个游戏币再赢一局， 也可能来源于有个游戏币再输一局， 由全概率公式，，故C错误； 对于D，由C得， 所以为等差数列，其中首项， 设公差为，则，即，， 所以，当时，，故D正确. 故选：C． 4．（2024·河南·二模）单调递增数列满足：.在的条件下，的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】缩小样本空间，从这6个数字中任取3个共有种不同的结果，列出满足的共有6种结果，求得相应概率. 【详解】缩小样本空间，当时，从这6个数字中任取3个，并按照从小到大的顺序对应，共有种不同的结果. 因为，所以构成等差数列，满足条件有，，共计6种，所以概率为， 故选：B. 5．（2024·河南·一模）甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合全概率公式分析可得，进而可知是公比为的等比数列，利用累加法结合等比数列求和公式分析求解. 【详解】由题意可知：i的取值集合为，且， 在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为， 在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为， 在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为， 根据全概率公式可得， 整理得，变形得， 因为，则， 同理可得， 所以是公比为的等比数列， 所以， 各项求和得， 则，即，解得． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意利用全概率公式结合等比数列的定义可得是公比为的等比数列. 二、多选题 6．（2022·福建三明·模拟预测）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是 【答案】AC 【分析】依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而可判断各个选项. 【详解】依题意， 设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为， 对于第次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为， 对应，即，故B错误； 所以， 令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以， 故，所以，故选项A，C正确； 第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为， 第3次取出球是红球的概率为， 前3次取球恰有2次取到红球的概率是， 故D错误； 故选：AC． 7．（2023·安徽淮北·二模）已知棋盘上标有第0，1，2，...，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（欢乐大本营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为，（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意直接判断选项A和B；然后根据题意求出递推公式即可判断选项C，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，等比数列求和进而判断选项D. 【详解】根据题意，棋子跳到第1站则掷出正面，所以，故选项A正确； 棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在； 第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为； 第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，因此，故选项B错误； 由题意易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有， 则，故选项C正确； 因为，则有， 即. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 因此有. 由此得到， 所以，故选项D错误， 故选：AC. 8．（2023·海南·模拟预测）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 D．当时， 【答案】BC 【分析】确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D. 【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为， 星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 设，则， 令，则（舍去）或或， 当时，，当时，， 故时，取得最大值，即， 即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为， 此时，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为， 所以，故D错误， 故选：BC 【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题. 三、填空题 9．（2020·浙江舟山·模拟预测）2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员.若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率为且相互独立，则至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率为 ，当 时，此概率最大. 【答案】 【分析】由题意可知，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”包括两种情况：一是前3人均为阴性，第4个人为阳性，另一个是前4人为阴，第5个人为阳性，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式得，然后利用导数求其最大值. 【详解】解：由题意可知，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”包括两种情况：一是前3人均为阴性，第4个人为阳性，另一个是前4人为阴，第5个人为阳性，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式得， 令， 则， 令，则或， 解得，或，或， 当或时，， 当 或时， ， 又因为，所以当时，取最大值， 故答案为： ； 【点睛】此题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算能力，属于中档题. 10．（2024·重庆开州·模拟预测）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则的数学期望 .（用表示） 【答案】 【分析】一方面：利用已知条件求出，进一步推出，另一方面得出，由此可求出，进一步由期望公式即可求解. 【详解】一方面：由题意可知：，， 则；． 另一方面：由题意可知：， ， 两式相加可得， 则：时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. 11．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为 ． 【答案】 【分析】设，则，借助相互独立事件的乘法公式可表示出一次实验中成功运行的概率，则当该概率取的最大值时，需要最少的试验次数，借助导数研究单调性即可得该概率的最大值，结合二项分布期望公式即可得解. 【详解】设，则， 设一次实验中成功运行的概率为， 则 ， 令，， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 故， 由服从二项分布，故有，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取一次实验中成功运行的概率的最大值，结合二项分布期望公式得到最少需要进行的试验次数. 四、解答题 12．（2024·浙江杭州·二模）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 【答案】(1)（ⅰ）表格见解析；过程见解析（ⅱ）； (2)，答案见解析 【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项公布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值； （2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论. 【详解】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或； （ⅰ）当时，，， 当时，，， 表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）由上表可知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 所以； （2）由， 则， 令， 即， 故，即当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 13．（2024·广东广州·三模）甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布求出概率，写出分布列，根据期望计算公式求出期望即可； （2）当时，棋子跳到第格有两种可能：第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同；结合概率求得，变形为，利用等比数列定义证明，并结合等比数列前n项和公式，利用累加法求得的通项公式. 【详解】（1）根据题意可知，的所有可能取值为0，1，2， 则，， ， 可得的分布列如下： 0 1 2 期望值为； （2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能： 第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同， 第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同， 又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为， 摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为， 因此可得，， 所以， 因此可得，且，，， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 即， 所以 ， 由题意， 综上，. 14．（2023·全国·模拟预测）某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 观点 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 (1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望； (2)若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)分布列见解析，； (2)57． 【分析】（1）由题意可知，由二项分布即可求出分布列和期望； （2）由独立性检验可得到含的不等式，构造函数，利用导数即可求. 【详解】（1）由题意可知，高二学生热爱数学的概率为，热爱数学的学生人数， 则， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 的期望为． （2）因为根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关， 所以， 令，则， 所以， 因为的对称轴为， 且当时，， 所以在上恒大于0， 所以在上单调递增， 而， 所以实数的最小值为57． 15．（2021·福建厦门·三模）每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有，，，四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币． （1）某员工活动前两天获得，，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ （2）通过抽调查发现：活动首日有的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率．记某员工第天选择“球类”的概率为． ①计算，，并求； ②该集团公司共有员工1400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？ 【答案】（1）；（2）①，，；②“球类”为600人，“田径”为800人. 【分析】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 计算出基本事件总数和事件包含基本事件的个数由古典概型概率计算公式可得答案； （2）①由题可得、，当时，得，即， 所以是等比数列，由此得到； ②由①当足够大时，选择“球类”的概率近似于，用表示一天中选择“球类”的人数，则，由二项分布的期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 由题意，基本事件总数有个， 事件包含基本事件的个数为个， 所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率． （2）①由题可知：， ，所以， 当时，， 所以， 又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于， 假设用表示一天中选择“球类”的人数，则， 所以， 即选择“球类”的人数的期望为600，选择“田径”的人数的期望为800． 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列及其期望、样本估计总体等知识；关键点是学生要有较好的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识． 16．（2022·全国·模拟预测）为了开展中学生阳光体育运动，某校组织学生全员参与，并印制了“运动增智”校园纪念卡鼓励学生，该系列纪念卡背面分别标注不同数字1，2，3.每名同学每天自主选择“球操”和“啦啦操”中项进行运动.运动结束后将随机等可能地获得一张校园纪念卡. (1)学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字之和记为X，求； (2)通过数据统计发现：运动开展首日有的学生选择“球操”，其余学生选择“啦啦操”；在前一天选择“球操”的学生中，次日会有的学生继续选择“球操”，其余选择“啦啦操”；在前一天选择“啦啦操”的学生中，次日会有的学生继续选择“啦啦操”，其余学生选择“球操”，用频率近似估计概率，记某学生运动第n天选择“球操”的概率为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定X的所有可能取值，利用古典概型求出每个X取值对应的概率，再求出； （2）利用递推关系求出与之间的关系，构造等比数列，再求出. 【详解】（1）由题知，学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字共有种等可能结果，X的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9， 数学之和为3的仅有种，； 数字之和为4的有，，3种，； 数字之和为5的有，，，，，6种，； 数字之和为6的有，，，，，，7种，； 数字之和为7的有，，，，，6种，； 数字之和为8的有，，3种，； 数字之和为9的有1种，， ∴. 答：学生小明前三天获得的校园纪念卡背面数字之和X的数学期望为6. （2）由题知，， ， ∴，又， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，即. 17．（2024·河南信阳·模拟预测）设集合为的非空子集，随机变量X，Y分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值. (1)若的概率为，求； (2)若，求且的概率； (3)求随机变量的均值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用集合子集的运算，得到，列出方程，即可求解； （2）当时，集合的非空子集个数为个，结合题意，得到集合中一定含有和，将和绑定，得到满足且的集合得个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，利用集合子集的计算，求得和，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，集合的非空子集的个数为， 所以集合共有种可能， 当时，则最大元素为的子集可视为集合的子集与集合的并集， 而集合的子集为个，所以若时，集合共有种可能， 所以，可得，解得. （2）解：当时，集合的非空子集个数有个， 所以集合的所有可能情况有个， 若且，即集合中最大的元素为，最小元素为， 则集合中元素个数最少为，即， 集合中元素个数最多为，即， 因为集合中一定含有和，将和绑定与元素进行任意组合， 则满足且的集合可能情况有： 种， 所以，故当时，且的概率为. （3）解：集合的非空子集共有个，其中最大值为的子集可视为的子集与集合的并集， 而集合的子集有个，所以为的子集共有个， 同理可得：为的子集共有个；为的子集共有个， ，为的子集共有个， 所以， 最小元素为的子集可视为集合与集合的并集， 因为集合的子集为个，所以最小元素为的子集有个， 同理可得：元素为的子集有个；为的子集有个； ，为的子集共有个，所以， 由此可得： ，故. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，同时用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 18．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率. （2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； （ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可. 【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. （2）（i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 19．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）根据正态分布的区间的概率，以及对称性，即可求解； （2）首先分析得是等比数列，再利用累加法求，由此估计获得一等奖的人数. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为； （2）每一次摸到红球和白球的概率都是， 设积分为， ， ， ， 依次类推， ， 且，，， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， ， ， 则人， 所以估计获得一等奖的顾客人数为200人. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断数列是等比数列，从而利用累加法求和. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数没有极值点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数没有极值点，转化为的，再列举符合条件的基本事件,得出概率结果. 【详解】，若没有极值点， 则，即． 由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足的有，，，，，，，，，共有9个， 所以． 故选：A. 2．（2023·广东广州·模拟预测）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述： ①； ②； ③ ④前天甲午餐总费用的数学期望为. 其中正确的是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】先根据题意找到递推式，即可判断②，由递推式可求出，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断④． 【详解】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 所以第天选择米饭套餐的概率，故②正确； 因为，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以，故①正确； 由②得，，所以， 又由题意得，，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，故③错误； 前天甲午餐总费用的数学期望为，故④正确. 故选：B. 二、多选题 3．（2024·山西太原·模拟预测）某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检．已知每轮抽到A产品的概率为，每轮抽检中抽到B产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与B产品的件数的比例为k，单轮抽检中抽检的次数为x，则（    ） A．若，则 B．当时，取得最大值 C．若一轮抽检中x的很大取值为M， D．恒成立 【答案】AD 【分析】列出概率的函数表达式，代值求解判断A，合理构造函数，利用导数求解最值判断B，结合题意得到判断C，利用题意结合基本不等式判断D即可. 【详解】由题意知（前次为产品，最后一次为产品）， 当时，，故A正确； ，， 令，得，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取最大值，故B错误； 由A知，， 令①， 则②， ①②得，，故C错误； 由C知若一轮抽检出n件产品，则， 每轮抽检必会抽到B产品1次，则当时，， ，则，， ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题考查求概率，解题关键是利用极限思想得到当时，，然后利用基本不等式得到所要求的不等关系即可． 三、填空题 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某公司加工一种芯片的不合格率为p，其中，若加工后的30颗这种芯片中恰有6颗不合格的概率为，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当取最大值时， ． 【答案】/ 【分析】先根据独立重复实验的概率求出，再利用导数求函数的极值. 【详解】由题意， 设，， 则， 由得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有极大值. 即当时，取得最大值. 故答案为： 5．（2024·广东肇庆·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 . 【答案】 【分析】利用全概率公式求出；利用期望的计算公式求出有关的递推式，然后构造等比数列求通项即可. 【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得； 记取0，1，2，3的概率分别为，，，， 推导的分布列： ，，， 则 ， 则， 故 给合，可知. 故答案为： ;. 四、解答题 6．（2020·河北衡水·三模）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图． 质量指标值 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 （1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值的件数的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件．求事件发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示；（） 质量指标值 利润 试确定的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：，，） 【答案】（1）答案见解析；（2）0.973；（3），90万元． 【分析】（1）由频率分布直方图求出质量指标值所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望； （2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公式中求解即可； （3）根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润取值的概率，建立利润的函数模型，利用导数求函数的最值即可. 【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中， 的频率为； 的频率为； 的频率为． 故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，的有4件， 的有2件，的有1件． 从这7件产品中任取3件，质量指标值的件数的所有可能取值为0，1，2， 则； ； ． 所以的分布列为 0 1 2 故． （2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为，则根据频率分布直方图可得， 则． （3）由题意可得该产品的质量指标值与对应概率如下表所示（）： 质量指标值 利润 0.3 0.4 0.15 0.1 0.05 故每件产品的利润， 则，令，则， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， （元）． 所以当时，每件产品的利润取得最大值为0.9元 电已知，该生产线的年产量为100万件， 所以该生产线的年盈利的最大值为（万元）． 【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，超几何分布，数学期望的求解，二项分布，利用导数研究函数的最值等，考查数据分析、数学建模、数学运算等核心素养. 7．（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表： 质量指标值 质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图： (1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率； (2)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表： 质量指标值 利润（元） 试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：）. 【答案】(1)； (2)能盈利，. 【分析】（1）由给定的频率分布直方图，求出抽1件产品是废品的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答. （2）求出每件产品的平均利润的函数式，再借助导数求出最大值作答. 【详解】（1）由频率分布直方图得，抽1件产品为废品的频率为， 依题意，抽1件产品为废品的概率为，设事件的概率为，则， 所以事件A发生的概率. （2）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元）的关系如下表所示， 质量指标值 0 利润元 每件产品的平均利润：， 求导得，令，解得， 当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 因此，当时，取最大值， 所以生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大. 8．（2023·全国·模拟预测）某国卫生与公共服务部门数据显示，在近两周里，该国某州新冠肺炎确诊病例数新增．在对确诊病例的密切接触者进行医学观察后发现，其中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该州120个密切接触者样本的医学观察结束后，统计了其疫苗接种与感染病毒情况，得到下面的列联表（单位：人）． 接种疫苗情况 感染病毒情况 感染 未感染 未接种 20 30 已接种 10 60 (1)是否有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关？ (2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人统计感染病毒的人数，求其中至少有2人感染病毒的概率． (3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行病毒检测，每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（）且相互独立，记该家庭至少检测了2名成员才被确定为“感染高危家庭”的概率为，求当p为何值时，最大． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关； (2)； (3)当时，最大. 【分析】（1）利用独立性检验公式，代入计算比较即可； （2）利用二项分布概率公式计算出答案即可； （3）表示出，借助导数研究其单调性，从而确定为何值时，最大. 【详解】（1）， 所以有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关． （2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为， 设随机抽取的4人中感染病毒的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4， 设至少有2人感染病毒的为事件A． ，，， 则． （3），则， 令，则，（舍去）， 随着p的变化，，的变化如下表: p 0 增 极大值 减 综上，当时，最大. 9．（2024·河北·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题： (1)若取出的小球不再放回， ①求最后取完的小球是黄球的概率； ②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率； ③设随机变量为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求； (2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取次球，设随机变量为取球次数，证明：. 【答案】(1)①；②；③， (2)证明见解析 【分析】（1）①最后一次取出的是黄色小球，利用古典概率可求；②利用全概率公式可求答案；③求出的所有取值，利用期望公式，结合组合数的性质可求答案. （2）先求的分布列，写出期望，结合错位相减法可求答案. 【详解】（1）①最后取完的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄色小球，设事件A:第40次取球恰好为黄色小球. 则. ②设事件B:最后取完的小球是黄球，事件：最后取完的小球是绿球，事件D:红球比其余两种颜色更早取完. ; ③的可能取值为10,11,12，，40. ， . 因为，所以. （2）设，则的分布列为 1 2 3 两式相减可得 . 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用组合数的性质进行转化求解；二是利用数列的错位相减法求和. 10．（2024·浙江·模拟预测）浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取次.每次都有的概率抽中，的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算： 1.将玩家次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为的仅有01的序列. 2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为，那么得分即为. 3.序列的得分即为每一段连续的1的得分和. 例如:如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为.可能用到的公式：若为两个随机变量，则. (1)若，清照进行了一次游戏.记随机变量为清照的最终得分，求. (2)记随机变量表示长度为的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求. (3)若，清照进行了一次游戏.记随机变量为清照的最终得分，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，4，9，求出对应的概率即可得期望； （2）设所求为，由题意有以及，从而可构造等比数列进行求解； （3）设所求为，则由题意有，进一步有，结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）若序列为：0，0，0，则最终得分为0， 若序列为：1，0，0，或0，1，0，或0，0，1，则最终得分为1， 若序列为：1，0， 1，则最终得分为2， 若序列为：1，1，0，或0，1，1，则最终得分为4， 若序列为：1，1，1，则最终得分为9， ，，， ； （2）令表示长度为的序列，的答案，换言之. 则有递推关系，表示第位分别为1或0的答案. 显然， 设，则，所以，解得， 所以，解得：， 故所求为. （3）设表示进行次游戏后的期望得分，即. 则有递推关系， 解释：因为，考虑第位为1的时候对序列的额外贡献， 即为，如果为0的贡献即为0，特别的，， 直接累加得到:， 若，带入上式，于是得， 故所求即为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$